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高中数学必修4【备课资源】第1章1.2.3 三角函数的诱导公式(2)


1.2.3
一、填空题

三角函数的诱导公式(2)

1.已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10° )=________. 7 ? 1 ? ? 2.若 sin(3π+α)=- ,则 cos ? ? a ? =________. 2 2

? ? ?? 1 ?? ? ? 3.已知 sin ?

a ? ? = ,则 cos ? a ? ? =________. 3 4? 4? ? ? ?? ? ? 3? ? 4.若 sin(π+α)+cos ? a ? ? =-m,则 cos ? ? a ? +2sin(2π-α)的值为________. 2? ? ? 2 ? 3 π ?? ? 5.已知 cos ? ? ? ? = ,且|φ|< ,则 tan φ=________. 2 2 ?2 ?
6.sin21° +sin22° +…+sin288° +sin289° =________. 1 7.已知 cos(75° +α)= ,则 sin(α-15° )+cos(105° -α)的值是________. 3 8.已知 tan(3π+α)=2,则

sin( a ? 3? ) ? cos( ? ? a ) ? sin(

?
2

? a ) ? 2 cos(

?
2

? a)
=________.

? sin( ? a ) ? cos( ? ? a )
二、解答题 9.求证:

tan(2? ? a) sin(?2? ? a) cos(6? ? a) =-tan α. 3? 3? sin(a ? ) cos(a ? ) 2 2

10.已知 s sin( ?

?
2

? a) cos( ?

5? 60 π π ? a) =169,且4<α<2,求 sin α 与 cos α 的值. 2

1

11.已知 cos ?

sin 3 (? ? a) ? cos(a ? ? ) ?? ?? ? ? 的值. ? a ? =2sin ? a ? ? ,求 5? 7? 2? ?2 ? ? 5 cos( ? a) ? 3 sin( ? a) 2 2

三、探究与拓展

? ? ?sin(3? ? a) ? 2 cos( ? ? ) ? ? ?? 12.是否存在角 α,β,α∈ ? ? , ? ,β∈(0,π),使等式 ? 2 ? 2 2? ? 3 cos(?a) ? ? 2 cos(? ? ? ) ?
同时成立.若存在,求出 α,β 的值;若不存在,说明理由.

2

参考答案
1 1 1.- 2.- 2 2 1 3m 3.- 4.- 5.- 3 3 2 89 6. 2 2 7.- 3 8.2

9.证明 左边=



tan(?a) sin(?a) cos(?a) (? tan a)(? sin a) cos a = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?2? ? ( ? a)? cos?2? ? ( ? a)? sin ?? ( ? a)? cos?? ( ? a)? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 sin a sin2α sin α
? sin( ? a) cos( ? a) 2 2

?

?

= =- =-tan α=右边. cos α -cos α· sin α

∴原等式成立.

? ? ? ? a ? =-cos α, ? 2 ? 5 ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? a ? =cos ? 2? ? ? a ? =-sin α. 2 ? 2 ? ? ?
10.解 sin ? ? 60 120 ∴sin α· cos α= ,即 2sin α· cos α= .① 169 169 又∵sin2α+cos2α=1,② 289 ①+②得(sin α+cos α)2= , 169 49 ②-①得(sin α-cos α)2= . 169 又∵α∈ ?

?? ? ? , ? ,∴sin α>cos α>0, ?4 2?

即 sin α+cos α>0,sin α-cos α>0, 17 ∴sin α+cos α= ,③ 13 7 sin α-cos α= ,④ 13 12 5 ③+④得 sin α= ,③-④得 cos α= . 13 13 11.解 ∵cos ?

?? ?? ? ? ? a ? =2sin ? a ? ? , 2? ?2 ? ?

∴-sin α=-2cos α,∴tan α=2. ∴ -?sin3α+cos α? sin 3 (? ? a) ? cos(a ? ? ) ? sin 3 a ? cos a = = 5sin α-3cos α 5? 7? ? 5 cos( ? a) ? 3 sin( ? a) 5 sin a ? 3 sin( ? a ) 2 2 2

sin2α tan3α 23 · tan α + 1 + 1 +1 2 2 1+tan2α 1+22 sin3α+cos α sin2α· tan α+1 sin α+cos α 13 = = = = = =- . 35 3cos α-5sin α 3-5tan α 3-5tan α 3-5tan α 3-5×2

3

① ?sin α= 2sin β, 12.解 由条件,得? ? 3cos α= 2cos β. ② ①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2,③ 又因为 sin2α+cos2α=1,④ 1 2 由③④得 sin2α= ,即 sin α=± , 2 2 因为 α∈ ? ? π π ? ? ?? , ? ,所以 α=4或 α=-4. ? 2 2?

π 3 当 α= 时,代入②得 cos β= ,又 β∈(0,π), 4 2 π 所以 β= ,代入①可知符合. 6 π 3 当 α=- 时,代入②得 cos β= ,又 β∈(0,π), 4 2 π 所以 β= ,代入①可知不符合. 6 π π 综上所述,存在 α= ,β= 满足条件. 4 6

4


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