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2.2.1


第二节

用样本估计总体

调查时: 1.通过抽样来收集数据 2.数据被收集后,必须分析数据,找出数据规律, 从中寻找所包含的信息,对总体作出相应的估计。 估计一般分成两种: 1.用样本的频率分布估计总体的分布 2.用样本的数据特征(如平均数,标准差等)估计总体 的数字特征.

2.2.1

用样本的频率分布估计 总体的分布

用样本的频率分布估计总体的分布
探究:我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题
较为突出.某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生 活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超 过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部 分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢? 你认为,为了较为合理的确定出这个标准,需要做那些工作?

2000年全国主要城 市中缺水情况排在 前10位的城市

某市100名居民的月均用水量(单位:t)
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6

3.4 3.2 3.3 3.2 3.0 2.5 2.6 2.5 2.8

2.6 2.7 2.8 2.9 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5

2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2

2.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.3 2.1 2.1 2.0

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5

1.2 1.2 1.3 1.4 1.3 1.3 1.4 1.0 1.0

0.2 3.7 3.6 3.5 1.4 1.3 1.2 1.0 1.2

0.4 1.5 1.7 1.9 1.8 1.6 1.5 1.7 1.8

0.3 0.5 0.6 0.8 0.7 0.9 0.5 0.8 0.6

0.4 3.8 4.1 4.3 2.0 2.3 2.4 2.4 2.2

将一批数据按要求分为若干组,各组内的数据的个数,叫做 该组数据的频数,各个小组数据在样本容量中所占的比例的大小, 叫做该组数据的频率。

为了解数据分布的规律,可利用频率分布表和频率分布图来分析, 具体做法如下:
1.求极差(即一组数据中最大值和最小值的差) 例如, 4.3-0.2=4.1, 这说明这些数据的变化范围大小是4.1t。 2.决定组距和组数

极差 4. 1 例如,若取组距为0.5,则 组数 = = = 8. 2 组距 0. 5
故可将数据分成9组。

注:一般样本容量越大,所分组数就越多,当样本容量不超过100 时,按照数据的多少,常分成5~12组。

3.将数据分组 以组距0.5将数据分组如下: [0,0.5), [0.5,1),……,[4,4.5 ]. 4.列频率分布表:
分组 频数 频率

[0,0.5)
[0.5,1)

4
8

0.04
0.08

[1,1.5)
[1.5,2) = 第几组频率 [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5)

15

0.15
0.22 0.25 0.14 0.06

第几组频数 22 样本容量 25
14 6

[3.5,4)
[4,4.5] 合计

4
2 100

0.04
0.02 1.00

5.画频率分布直方图 用横轴表示月均用水量,纵轴表示频率与组距的比值,以 每个组距为底,以频率除以组距的商为高,分别画出矩形,这 样得到的直方图就是频率分布直方图。

频率分布直方图
0.6 0.5
频率/组距

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0-0.5 0.5-1 1-1.5 1.5-2 2-2.5 2.5-3 3-3.5 3.5-4 4-4.5

用水量范围

思考:小矩形的面积与哪些量有关?如何表示?

横轴表示:月均用水量,纵轴表示:频率/组距

小长方形的面积=组距*(频率/组距)=频率
各小长方形的面积总和等于1
频率分布直方图
0.6 0.5

频率/组距

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0-0.5 0.5-1 1-1.5 1.5-2 2-2.5 2.5-3 3-3.5 3.5-4 4-4.5

用水量范围 频率分布直方图的特征: (1)从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势. (2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成 直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.

频率分布直方图 频率分布折线图
0.6 0.5
频率/组距

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0-0.5 0.5-1 1-1.5 1.5-2 2-2.5 2.5-3 3-3.5 3.5-4 4-4.5

用水量范围

连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点,频率分布折线图
随着样本容量的增加,作图时所分的组数也会增加,相应的频 率折线图会越来越接近于一条光滑的曲线,统计学中称这条光滑的 曲线为总体密度曲线

总体密度曲线

阴影部分的面积表 示总体在区间(a,b) 内取值的百分比.

思考:什么情况下频率折线图才会接近于一条光滑的曲线? 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线,它反映了总体 在各个范围内取值的百分比.

茎叶图
甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下: 甲得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39 乙得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36, 39 甲 乙
8 4 6 3 3 6 8 3 8 9 1 0 1 2 5 5 4 1 1 6 6 7 9 4 9 0

2
3 4 5

茎叶图的特征:

(1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没 有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图 中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加, 方便记录与表示; (2)茎叶图只便于表示两位(或一位)有效数字的数据, 对位数多的数据不太容易操作;而且茎叶图只方便记录 两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有 表示两个记录那么直观,清晰; (3)茎叶图对重复出现的数据要重复记录,不能遗漏.

在本赛季的NBA比赛中,我国著名篮球运动员姚明所在的休 斯敦火箭队战绩骄人,下面是火箭队在最近10场比塞中,姚明与 队友麦迪各自的得分情况:
场次 姚明 麦迪 一 20 22 二 12 21 三 14 26 四 11 24 五 14 10 六 22 35 七 27 38 八 17 22 九 14 20 十 13 19

茎叶图
姚明 麦迪 姚明 麦迪

3 4 7 4 1 4 2
7 2 0

1
2 3

0 9
2 1 6 4 2 0 5 8

7 4 4 4 3 2 1 7 2 0

1 2

0 9 0 1 2 2 4 6

3

5 8

练习:某市对上、下班交通情况做抽样调查,上、下班时间各抽 取了12辆机动车行使时速如下:(单位:km/h) 上班时间:30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20 下班时间:27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30 用茎叶图表示上面的样本数据,并求出样本数据的中位数。 解:依题意,茎叶图如下
上班 下班

8

1

9 6 7

0 8 1 8 6 7
5 2 3 0 0

2
3 4

7 9 9 2 5
2 6 0 0

练习1:
已知样本10, 8, 6, 10, 8,13,11,10,12,7,8,9,12,9, 11,12,9,10,11,11, 那么频率为0.2范围的是( D )

A. 5.5~7.5 C. 9.5~11.5
分组 5.5~7.5 7.5~9.5 9.5~11.5

B. 7.5~9.5 D. 11.5~13.5
频数 2 6 8 频率 0.1 0.3 0.4

11.5~13.5
合计

4 20

0.2 1.0

练习2:有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下:

[12.5, 15.5) 3

[15.5, 18.5) 8 [18.5, 21.5) 9 [21.5, 24.5) 11 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图估计,数据落在 [15.5, 24.5)的百分比是多少?

[24.5, 27.5) 10 [27.5, 30.5) 5 [30.5, 33.5) 4

解:组距为3
分组 频数 频率 频率/ 组距

[12.5, [15.5, [18.5, [21.5, [24.5, [27.5, [30.5,

15.5) 3 18.5) 8 21.5) 9 24.5) 11 27.5) 10 30.5) 5 33.5) 4

0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08

0.020 0.053 0.060 0.073 0.067 0.033 0.027

1.求极差(即一组数据中最大值 与最小值的差) 364.41-362.51=1.90说明样 本数据的变化范围大小是 1.90cm) 2.决定组距与组数 取组距为0.4cm,那么组数= 极差÷组距=1.90÷0.4=4.75 因此可以将数据分成5组,即 组距为0.4,组数为5 3.将数据分组 [362.51,362.91), [362.91,363.31), [363.31,363.71), [363.71,364.11), [364.11,364.51]

4.列频率分布表
分组 频数 频率

[362.51,362.91) [362.91,363.31) [363.31,363.71) [363.71,364.11) [364.11,364.51)
合计

8 17 33 16 6
80

0.10 0.2125 0.4125 0.20 0.075
1.00

5.画频率分布直方图

25

20

15

10

5

0 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5

连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点,频率分布折线图 随着样本容量的增加,作图时所分的组数也会增加,相应的频 率折线图会越来越接近于一条光滑的曲线,统计学中称这条光滑的 曲线为总体密度曲线

25

20

15

10

0.16 0.18 0.06

0.20

0.22 0.18

5

0.10

0 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5

黄色部分取值的百分比为0.20+0.22=0.42 总体密度曲线反映了总体在各个范围内的百分比


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