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2013级高二数学综合测试题(十二)(选修2-3、2-1)


2013 级高二数学综合测试题(十二)
(选修 2-3、2-1) 姓名___________ 班级编号___________ 总分_______________

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求) 1.命题“ ?x ? R, x ? ax ? 4a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的( ). A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

2.若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2 ( a, b 为有理数),则 a + b= ( ) A. 45 B. 55 C.70 D. 80 3.安排 6 名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的 种数是( ) A.180 B.240 C.360 D.480 4. 现有 6 人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘 4 人,则不同的乘车方案数为( ) A. 70 种 B. 60 种 C. 50 种 D. 40 种

1 ) ,则 P( ? =3)的值是( 2 5 3 5 3 A. 16 B. 16 C. 8 D. 8 6.已知 ? 的分布列为右表,设 ? ? 2? ? 3 ,则 E? 的值为( 7 A. B. 4 C. -1 D. 1 3
5. 设随机变量 ? 服从 B(6,





?
P

-1

0

1

1 2
)

1 3

1 6

7.在区间 ? ?3,3? 上随机取一个数 x ,使得 x ?1 ? x ? 2 ? 1 成立的概率为( A.

2 3

B.

1 4

1 C.2

D.

1 3

→ → → → 8.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 F 是侧面 CDD′C′的中心,若AF=AD+xAB+yAA′, 则 x-y 等于( ) 1 1 A.0 B.1 C.2 D.-2 1 9.已知椭圆的中心在原点,离心率 e=2,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则此 椭圆方程为( ) 2 2 x y x2 y2 x2 2 x2 2 A. 4 + 3 =1 B. 8 + 6 =1 C. 2 +y =1 D. 4 +y =1 2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : x ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于 10.已知抛物线 C1 : y ? 2p 3 第一象限的点 M 。若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ? ( )

A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

选择题答题卡 题号 答案 二、 填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答 ....... 错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.| a |=| b |=| c |=1, a + b + c =0,则 a c + b c + a b =________. 12.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验, 收集数据如下: 零件数 x(个) 加工时间 y(分钟) 10 64 20 69 30 75 40 82 50 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

由表中数据,求得线性回归方程 y ? 0.6 x ? a ,根据回归方程,预测加工 70 个零件所 花费的时间为________分钟. 13. 用五种不同的颜色,给右图中的(1) (2) (3) (4)各部分涂色,每部分 涂一种颜色, 相邻部分涂不同颜色, 则涂色的方法共有 种。 x2 y2 14.双曲线25- 9 =1 上一点 P 到它的一个焦点的距离为 8,则点 P 到另一 个焦点的距离为________. x2 y 2 15.已知椭圆 C: ? 若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合, 25 16 线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.( 12 分)已知 p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0 (a>0),若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

17.( 12 分) 已知 f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x?
m

n

(m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,求展

开式中含 x 2 项的系数最小值

王新敞
奎屯

新疆

18.( 12 分) 研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心),给 50 个患者服用此药,给另外 50 个患 者服用安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表: 有恶心 无恶心 合计 15 35 50 服药 A 4 46 50 服安慰剂 19 81 100 合计 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为此药物有恶心的副作用?

19. (12 分) 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误天数 Y

X ? 300
0

300 ? X ? 700
2

700 ? X ? 900
6

X ? 900
10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700, 900 的概率分别为 0.3, 0.7, 0.9. 求: (1)工期延误天数 Y 的分布列、均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

20. (13 分) 已知三棱锥 P-ABC 中, PA⊥面 ABC, AB⊥AC, PA=AC=AB/2, N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

21.(14 分) 若中心在原点的椭圆 C1:

x2 y2 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 x -y =2 有共同的焦点,且 a 2 b2

它们的离心率互为倒数,圆 C2 的直径是椭圆 C1 的长轴,C 是椭圆的上顶点,动直线 AB 过点 C 且与圆 C2 交于 A、B 两点,CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.

高二数学综合测试题(十二)参考答案
一.选择题:BCDCA 二.填空题: ? 三.解答题:
16 解:p:A={x|x<-2 或 x>10},q:b={x|x<1-a 或 x>1+a,a>0}

ADAAD 100 240 18 20

3 2

如图 依题意 p ? q,但 q ? p,说明 A ? B,则有 a>0 ? ? ?1-a≥-2 ? ?1+a≤10 17.解析: ∴ (2Cm
1

且等号不同时成立,解得 0<a≤3
m

∴实数 a 的取值范围是 0<a≤3
1 1 1 1 ? (2Cm ? 4Cn )x
2

?1 ? 2 x ?

? ?1 ? 4 x ?

n

展开式中含 x 的项为, Cm ? 2 x ? Cn ? 4 x
m n

1 ? 4Cn ) ? 36 ,即 m ? 2n ? 18 , ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ?

展开式中含 x 的项的系数为

2 2 2 2 2 ? Cn 4 ? 2m2 ? 2m ? 8n2 ? 8n ,∵ m ? 2n ? 18 , ∴ m ? 18 ? 2n , t ? Cm 2 2 2 ∴ t ? 2(18 ? 2n) ? 2(18 ? 2n) ? 8n ? 8n ? 16n ? 148n ? 612

? 16( n 2 ?


37 153 37 * n? ) ,∴当 n ? 时, t 取最小值,但 n ? N , 8 4 4 2 n ? 5 时, t 即 x 项的系数最小,最小值为 272 ,此时 n ? 5, m ? 8 .
k? 100? ?15 ? 46 ? 35 ? 4? ? 7.862 ? 6.635.因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为此药物有 50 ? 50 ? 19 ? 81
2

18.

恶心的副作用。 19.解: (Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:

P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 , P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 . P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 . 所以 Y 的分布列为
于是,

Y P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

E (Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3)2 ? 0.1 ? 9.8 . 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ? P( X ? 300) 0.7 7 6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7
20. (Ⅰ)证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图。 则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0,

1 2

) ,N(

1 2

,0,0) ,S(1,

1 2

,0).……4 分

因为 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? 所以 CM⊥SN

1 2

1 1 1 1 , ? , 0) , CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , 2 2 2 2

……6 分

1 (Ⅱ) NC ? ( ? ,1, 0) , 2
设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

1 ? x ? y ? z ? 0, ? ? 2 则? 令x ? 2,得a=(2,1,-2). 1 ?? x ? y ? 0. ? ? 2
因为

……9 分

1 。 ……12 分 2 ? 2 ,所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45° cos a, SN ? 2 2 3? 2 ?1 ?

21. (本大题满分 14 分)
2 2 (1)解:双曲线 x -y = 2 的焦点为(± 2,0),离心率为 2

2分

c 2 由题意,c = 2, ? ,解得: a ? 2 2 a 2 y2 x2 2 2 2 ∴b = a -c = 45 ∴椭圆方程为 ? ?1 8 4
(2)解:1)当直线 AB 斜率不存在时,不符合题意 2)当 AB 斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y = kx + 2,直线 CD 的方程为 y ? ? 圆心(0,0)到直线 AB 的距离为 d ?

4分

1 x?2 k

2 k ?1
2

5分

∴直线 AB 被圆 C2 所截得的弦长 | AB | ? 2 8 ? d

2

?

4 2k 2 ? 1 k2 ? 1

6分

? x2 ? ? ? 由? 8 ?y ? ? ? ?
故 | CD |?

y2 ?1 8k 1 8k 2k 2 ? 4 2 2 4 得: (k ? 2) x ? 8kx ? 0 ∴ xD ? 2 7分 ,yD ? ? ? 2 ?2? 2 1 k k ?2 k ?2 k ?2 x?2 k

(

8k 2 2k 2 ? 4 8 k2 ?1 2 ) ? ( ? 2) ? k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2

8分

1 4 2k 2 ? 1 8 k 2 ? 1 16 2k 2 ? 1 ? ? 2 ? 9分 2 k ?2 k2 ? 2 k2 ? 1 t2 ? 1 2 2 2 令 t ? 2k ? 1 ,则 k ? (t ? 1) 2 16t 32t 32 32 16 3 故 S?ABD ? 2 11 分 ? 2 ? ≤ ? 3 3 t ?1 t ?3 2 3 t? ?2 t 2 3 当且仅当 t ? ,即 t ? 3 时,等号成立,此时 2k 2 ? 1 ? 3 ? k ? ?1 12 分 t
∴ S?ABD ?

3) 当直线 AB 斜率为 0,即 AB∥x 轴时, S?ABD ? 8 ? ∴△ABD 面积的最大值为

16 3 3
14 分

16 3 ,这时直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1 . 3


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