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数列教案


第2讲
【2013 年高考会这样考】

等差数列及其前 n 项和

1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题. 2.考查等差数列的性质、前 n 项和公式及综合应用. 【复习指导】 1.掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等. 2.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法.

基础梳理 1.

等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做 等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果 A=

a+b
2

,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.

4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N ). (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N )是公差为 md 的等差数列. (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= ; 2 若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项). 5.等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn= 前 n 项和公式为 Sn=na1+
* * *

nd

n? a1+an?
2

,或等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其

n? n-1?
2

d.

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n,数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn(A,B 为常数).
2

?

2?

7.最值问题 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值,若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值. 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式:

Sn=a1+a2+a3+?+an,① Sn=an+an-1+?+a1,②
①+②得:Sn= 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,?. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-3d,a-d,a+d,a+3d,?,其 余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N )都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An +Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列. 课堂自测 1.(人教 A 版教材习题改编)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C ).
2 *

n? a1+an?
2

.

解析 a2+a8=2a5,∴a5=6.

2.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,则 S8 等于 ( A.31 B.32 C.33 D.34 26 ? ?a = 3 , 解得? 4 ? ?d=-3.
1

).

? ?a1+5d=2, 解析由已知可得? ?5a1+10d=30, ?

8×7 ∴S8=8a1+ d=32.答案 B 2

3. (2011·江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn+Sm=Sn+m, 且 a1=1.那么 a10=( A.1 B.9 C.10 D.55 A

).

解析 由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10? a10=S10-S9=S1=a1=1. 答案

4.(2012·杭州)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D.63

).

7? 解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,∴S7=

a1+a7?
2

=49.

答案 C

5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 解析 设公差为 d. 则 a5-a2=3d=6,∴a6=a3+3d=7+6=13. 答案 13 考向一 等差数列基本量的计算 【例 1】? (2011·福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. [审题视点] 第(1)问,求公差 d; 第(2)问,由(1)求 Sn,列方程可求 k. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3. 解得 d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. 所以 Sn=

n[1+? 3-2n? ]
2

=2n-n .
2

2

进而由 Sk=-35 可得 2k-k =-35. 即 k -2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N ,故 k=7 为所求. 等差数列的通项公式及前 n 项和公式中,共涉及五个量,知三可求二,如果已知 两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体 现了用方程思想解决问题的方法. 【训练 1】 (2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下 各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积 为________升. 考向二 等差数列的判定或证明 1 【例 2】? 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:? ?是等差数列; ?Sn?
* 2

[审题视点] (1)化简所给式子,然后利用定义证明. (2)根据 Sn 与 an 之间关系求 an. (1)证明 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2),又 an=-2Sn·Sn-1,

1 1 ∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0,∴ - =2(n≥2).

Sn Sn-1

?1? 1 1 由等差数列的定义知? ?是以 = =2 为首项,以 2 为公差的等差数列. ?Sn?

S1 a1

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法, 而对于通项公式法和前 n 项和 公式法主要适合在选择题中简单判断. 【训练 2】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2,a2=2,S3=6. (1)求 Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列. 考向三 等差数列前 n 项和的最值 【例 3】? 设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. [审题视点] 第(1)问:列方程组求 a1 与 d; 第(2)问:由(1)写出前 n 项和公式,利用函数思想解决. 解 (1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得
?a1+2d=5, ? ? ? ?a1+9d=-9,

可解得?

?a1=9, ? ? ?d=-2.

数列{an}的通项公式为 an=11-2n. (2)由(1)知,Sn=na1+
2

n? n-1?
2

d=10n-n2.

因为 Sn=-(n-5) +25,所以当 n=5 时,Sn 取得最大值. 求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的最值. (2)利用等差数列的前 n 项和 Sn=An +Bn(A、 B 为常数)为二次函数, 根据二次函数的性质求 最值. 【训练 3】 在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,
2

Sn 取得最大值,并求出它的最大值.
考向四 等差数列性质的应用 【例 4】 ? 设等差数列的前 n 项和为 Sn, 已知前 6 项和为 36, Sn=324, 最后 6 项的和为 180(n >6),求数列的项数 n. [审题视点] 在等差数列 {an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N )用此 性质可优化解题过程. 解 由题意可知 a1+a2+?+a6=36①
*

an+an-1+an-2+?+an-5=180②

①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+?+(a6+an-5)=6(a1+an)=216. ∴a1+an=36.又 Sn= ∴18n=324. ∴n=18. 本题的解题关键是将性质 m+ n= p+ q? am+ an=ap + aq 与前 n 项和公式 Sn =

n? a1+an?
2

=324,

n? a1+an?
2

结合在一起,采用整体思想,简化解题过程.

【训练 4】 (1)设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2(n∈N+),则 a1+a2+?+a17 =________. (2)等差数列{an}中, a1+a2+a3=-24, a18+a19+a20=78, 则此数列前 20 项和等于________. 【试一试】 已知在正整数数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足:

Sn= (an+2)2.
(1)求证:{an}为等差数列. 1 (2)若 bn= an-30.求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2 1 2 [尝试解答] (1)证明:当 n=1 时,S1=a1= (a1+2) , 8 ∴(a1-2) =0,∴a1=2. 1 1 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an+2) - (an-1+2) , 8 8 ∴an-an-1=4, ∴{an}为等差数列. (2)由(1)知:an=a1+(n-1)4=4n-2, 1 31 由 bn= an-30=2n-31≤0 得 n≤ . 2 2 ∴{bn}的前 15 项之和最小,且最小值为-225.
2

1 8

等 比 数 列
一、基础知识 1.定义与定义式 从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.

a n ?1 ? q(q为不等于零的常数) an
2.通项公式 a n ? a1 q
n ?1

,推广形式: a n ? a m q

n?m

,变式 q ?

n?m

an ( n ? m, m, n ? N ? ) am

? na1 (q ? 1) ? n 3.前 n 项和 S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 0且q ? 1) ? 1? q ? 1? q
注:应用前 n 项和公式时,一定要区分 q ? 1与q ? 1 的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4.等比中项:若 a、b、c 成等比数列,则 b 是 a、c 的等比中项,且 b ? ? ac 5.在等比数列 ?a n ?中有如下性质: (1)若 m ? n ? p ? q, m, n, p, q ? N 则a m ? a n ? a p ? a q (2)下标成等差数列的项构成等比数列 (3)连续若干项的和也构成等比数列. 6.证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若
?

a n ?1 ? q (n ? N ? ) ? 数列?a n ?为等比数列 an
2 ?

为等比数列 (2)等比中项法:若 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 (n ? N 且a n a n ?1 a n ? 2 ? 0) ? 数列?a n ? 为等比数列 (3)通项法:若 a n ? cq (c, q均是不为0的常数,n ? N ) ? 数列?a n ?
n ?

为等比数列 (4)前 n 项和法:若 S n ? Aq ? A( A, q为常数, 且q ? 0, q ? 1) ? 数列?a n ?
n

7.解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想 ①运用等比数列的求和公式时,需要对 q ? 1和q ? 1 讨论 ②当

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1时, 等比数列?an ?为递增数列

( a n ?1 ? a n ? a1 q

n ?1

(q ? 1) )

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1时, 等比数列?an ?为递减数列
二、范例剖析 1.关于基本公式的运用 例 1. 已知等比数列 ?a n ?中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an。 解答略。 变式:将该题中的等比数列改为等差数列,结果是多少? 例 2.已知数列 ?a n ?为等差数列,公差 d≠0, ?a n ?的部分项组成下列数列:

ak , ak
1

,?,
2

ak

,恰为等比数列,其中 k1=1, k2=5, k3=17,求 k1+k2+k3+?+kn。
n

解答略。 2.关于等比数列的证明 例 3.数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式分别是 a n ? 2 , bn ? 3n ? 2, 它们公共项由小到大排列的数
n

列是 ?cn ? ,①写出 ?cn ? 的前 5 项

②证明 ?cn ? 是等比数列

思维分析:容易证明 ?cn ? 是等比数列,由定义式,只需找出 ?cn ? 中任意相邻两项关系即可. 解(1) ?cn ? 的前 5 项为:8、32、128、512、2048 (2)设 a m ? b p ? c n ,? c n ? 2
m

? 3 p ? 2, 而a m?1 ? 2 ? 2 m ? 2(3 p ? 2) ? 3 ? (2 p ? 1) ? 1

? a m?1不在?b n ? 中, 又a m? 2 ? 4 ? 2 m ? 4 ? (3 p ? 2) ? 3 ? (4 p ? 2) ? 2,? a m? 2 在?bn? 中

? am? 2是?cn ? 中的项即cn?1项,? cn?1 ? 4cn , 故?cn ?是等比数列
3.数学应用题----数列建模 例 4.一个球应从 100 米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第 10 次着地 时,共经过了多少米? 思维分析:数列建模过程中,关键是建立递推关系式,然而求出 a n ,再结合数列相关性质解题。 解:球第一次着地时经过了 100 米,从这时到球第二次着地时,一上一下共经过了

100 ? 100 米? ,因此球第十次着地时共经过的路程为 2 1 100[1 ? ( ) 9 ] 100 100 100 2 100 ? 100 ? ? 2 ? ? ? 8 ? 100 ? ? 300 米 1 2 2 2 1? 2 2?
练习 变式 4:一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年

生日,到银行储蓄 a 元,一年定期,若年利润率为 r,保持不变,且每年到期时,存款(含利息) 自动转为新的一年定期,当孩子 18 岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回总钱 数为多少? 解: a(1 ? r )18 ? a(1 ? r )17 ? ? ? a(1 ? r ) ?

a [(1 ? r )19 ? (1 ? r )] r

4.等比数列综合题 例 5 设各项均为正数的数列 ?a n ?和 ?bn ? 满足 a n , b n , a n ?1 成等比数列, lgbn, lgan+1, lgbn+1

5

5

5

成等差数列,且 a1=1,b1=2,a2=3,求通项 an,bn。 解答略。 备用题: (01 年全国高考)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并 以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 ,本年度 5

当地旅游收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每 年会比上年增加

1 4

(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业收入为 bn 万元,写出 an、bn 的表 达式。 (2)至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入? 思维分析:建立等比数列模型 解: (1) a n ? 800 ? 800 (1 ? ) ? ? ? 800 (1 ? )

1 5

1 5

1 1 bn ? 400 ? 400 (1 ? ) ? ? ? 400 (1 ? ) n?1 4 4
(2) bn ? a n ? 0 ? n ? 5 ,至少经过 5 年。

4 ? 400[1 ? ( ) n ] 5 5 ? 1600[( ) n ? 1] 4
n ?1

三、课堂小结 1.等比数列的定义、通项、中项、求和; 2.方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想; 3.适当注意等比数列性质的应用,以减少运算量而提高解题速度。 四、课后作业 相约在高校

高三数学数列部分复习专题
一. 教学目的: 1. 数列部分方法与技巧解析 2. 数列部分易错题剖析 二. 知识分析 (一)方法技巧 方法一:通项常见的求法。 1. 观察法 例 1. 写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:

2 4 6 8 10 1 9 17 33 (1) , , , , ,…; (2) ? 1, ,? , ,? ,…; 3 15 35 63 99 3 35 63 99 1 1 1 (3) 1,0,? ,0, ,0,? ,0 ,…; (4)7,77,777,7777,…; 3 5 7 (5)1,3,6,10,15,…; (6)a,b,a,b,…。
解析: (1) a n ?

2n (2n ? 1)(2n ? 1)

(2)数列的前 5 项可改写为:

?

3 5 9 17 33 , ,? , ,? 1 ? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 9 ? 11
2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1)

a n ? (?1) n ?

1 0 ?1 0 1 0 (3) 原数列直接写不能看出通项公式, 但改写之后, , , , , , ,分母依次为 1, 1 2 3 4 5 6 n n ?1 2, 3, 4, …, 分子为 1, 0, -1, 0, 呈周期性变化, 可以用 sin ? 表示, 当然也可以用 cos ? 2 2 表示。

n n ?1 sin ? cos ? 2 或a ? 2 an ? n n n
(5)由观察可知,a 1 ? 1, a 2 ? 1 ? 2, a 3 ? 1 ? 2 ? 3, a 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, a 5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ∴ an ?1? 2 ? 3 ? ?? n ? 此题亦可这样考虑:

n (n ? 1) 2

a 2 ? a1 ? 2 a3 ? a2 ? 3 a4 ? a3 ? 4
……,

a n ? a n ?1 ? n

以上 n ? 1 个式子左边相加为 a n ? a 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 又 a1 ? 1 ∴ a n ?1 ? 2 ? 3 ? ?? n ?

n (n ? 1) 2

a?b b?a (6) 这是摆动数列。 要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。 平衡位置: , 振幅: , 2 2
用 ?? 1? 或?? 1?
n n ?1

去调节,则所求数列的通项公式

an ?

a?b b?a ? (?1) n 2 2
?a , n为奇数 an ? ? ?b, n为偶数

也可以用分段函数形式来表示 2. 累差法

例 2. 已知数列 ?a n ? 的前几项依次是:6,9,14,21,30,…,求其通项公式。 解析:设 b n ? a n ?1 ? a n ,则有

b1 ? a 2 ? a 1 ? 9 ? 6 ? 3 b 2 ? a 3 ? a 2 ? 14 ? 9 ? 5 b 3 ? a 4 ? a 3 ? 21 ? 14 ? 7
……,

b n ?1 ? a n ? a n ?1 ? 2n ? 1
以上各式相加得:

a n ? a 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?

(n ? 1)(3 ? 2n ? 1) ? n2 ?1 2

又 a1 ? 6 ∴ a n ? a1 ? n 2 ? 1 ? n 2 ? 5 3. 待定系数法 例 3. 已知{an}为等差数列, a 2 ? 3, a 6 ? 23 ,求 an。 解析:∵{an}为等差数列,故可设 a n ? kn ? p 又 a 2 ? 3, a 6 ? 23

?3 ? 2k ? p ∴? ?23 ? 6k ? p
4. 公式法

?k ? 5 解得 ? ? p ? ?7

∴ a n ? 5n ? 7

例 4. 如果数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ?

3 a n ? 3 ,求这个数列的通项公式 a n 。 2

解析: (1)当 n=1 时,由 S1 ?

3 a1 ? 3 ? a1 ? a1 ? 6 2
a 3 3 a n ? a n ?1 ? n ? 3 2 2 a n ?1

(2)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

∴数列 ?a n ? 当 n ? 2 时,是以 3 为公比,以 a 2 ? 18 为首项的等比数列 ∴ a n ? a 2 ? 3 n ?1 ? 18 ? 3 n ?2 ? 2 ? 3 n (n ? 2) 而当 n=1 时,显然也成立 5. 叠代法 故 a n ? 2 ? 3 n (n ? N * )

n ? a n , a 1 ? 1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式 a n 。 n ?1 n 解析:∵ a n ?1 ? ?an n ?1 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ? 3 ∴an ? a n ?1 ? ? a n ?2 ? ? ? a n ?3 ? … n n n ?1 n n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ? 3 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? a 1 ? a 1 ∵a1=1 ∴ a n ? n n ?1 n ? 2 2 n n 方法二:解递推关系式常见方法 1. 公 式 法 : 利 用 熟 知 的 公 式 求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 公 式 法 。 常 用 的 公 式 有
例 5. 已知 a n ?1 ?

a n ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ,等差数列和等比数列的通项公式。
2. 归纳法:由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式,再用数学归纳法证明 其正确性。这种方法叫做归纳法。 3. 累加法:利用恒等式 a n ? a 1 ? (a 2 ? a 1 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) 求通项公式的方法称为累加 法。累加法是求型如 a n ?1 ? a n ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法(其中数列 {f(n)}可 求前 n 项和) 。 例 2. 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2, a n ?1 ? a n ? 2n, n ? N * ,求 an。 解析: (累加法) ∵ a n ?1 ? a n ? 2n ∴ a n ?1 ? a n ? 2n

? 2 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2(n ? 1) (n ? 1)(2 ? 2n ? 2) 2 2 ?n ?n?2 5. 转化法:通过变换递推关系,将非等差(等比)数列转化为与等差或等比有关的数列 而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有:
∴ a n ? a 1 ? (a 2 ? a 1 ) ? (a 3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 ) ? 2 ? (1)凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式 a n ?1 ? qa n ? d (q、d 为常数,q ? 0 ,

。通过凑配变成 a n ?1 ? q ? 1)

? d d ? ? ,或消常数项转化为 ? q? an ? ? q ?1 q ? 1? ? ?

a n ? 2 ? a n ?1 ? q(a n ?1 ? a n ) ;
(2)倒数变换——如将一阶分式递推公式 a n ?1 ?

ca n (c、d 为非零常数)取倒数得 an ? d

1 a n ?1

?

d 1 1 ; ? ? c an c
p

( 3 ) 对 数 变 换 — — 如 将 一 阶 递 推 公 式

a n ?1 ? ca n (a n ? 0, c ? 0, p ? 0, p ? 1) 取对数得 lg a n ?1 ? p lg a n ? lg c
(4) 换元变换——如将一阶递推公式 a n ?1 ? qa n ? d n(q、 d 为非零常数,q ? 1 ,d ? 1 ) 变换成

a n ?1 d
n ?1

?

qa n dd
n

?

a 1 ,令 b n ? n ,则转化为一阶线性递推公式。 d dn

例 4. 已知数列 ?a n ? 中,a1=1, a n ? 2a n ?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?a n ? 的通项公式。 解析: 解法一: (转化法) ∵ a n ? 2a n ?1 ? 1 ∴ a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) 又 a1+1=2 故数列 ?a n ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 ∴ a n ? 1 ? 2n 即 a n ? 2n ? 1

解法二: (转化法) ∵ a n ? 2a n ?1 ? 1 ∴ a n ?1 ? 2a n ? 1 (1) (2)

(2) ? (1) 得 a n ?1 ? a n ? 2(a n ? a n ?1 )(n ? 2)
故 ?a n ?1 ? a n ? 是首项为 a 2 ? a 1 ? 2 公比为 2 的等比数列,即 a n ?1 ? a n ? 2 n 解法四: (迭代法) 再用累加法得 a n ? 2 n ? 1

a n ? 2a n ?1 ? 1 ? 2(2a n ?2 ? 1) ? 1 ? 2 2 a n ?2 ? 2 ? 1 ? ? 2 n ?1 a 1 ? 2 n ?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 n ? 1
例 5. 已知数列 ?a n ? ( n ? N * )中, a 1 ? 1, a n ?1 ? 解析: (倒数变换)

an ,求 an。 1 ? 2a n

? a n ?1 ?

an 1 1 1 1 ,两边取倒数,得 ? ?2 ∴ ? ?2 1 ? 2a n a n ?1 a n a n ?1 a n

?1 ? 1 ∴ ? ?是公差为2的等差数列 ,首项 ?1 a1 ?a n ?

?

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 an 1 2n ? 1
2

?a n ?

例 6. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2, a n ? a n ?1 (n ? 2) ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 解析: (对数变换) 由题意 a 1 ? 2 ? 0, a n ? a n ?1 (n ? 2) ∴ a n ? 0 ∴ lg a n ? 2 lg a n ?1 ∴ ?lg a n ?是以 2 为公比的等比数列,首项为 lg a 1 ? lg 2 ∴ lg a n ? 2 n ?1 lg 2 ? lg 2 2
n ?1

2

∴ a n ? 22

n ?1

方法三:数列求和常见的方法 1. 公式法 例 1. 求和: ?1 ; (1) S n ? 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 11 ? ? ? n个

1? 1 ? 1 ? ? ? ? (2) S n ? ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? ? ? x n ? n ? x? x ? x ? ? ? ?

2

2

2

?1 ? 1 ? 10 ? 10 2 ? ? ? 10 k ? 1 (10 k ? 1) 解析: (1)因为 11 ? ? ? 9 n个 ?1 ? 所以 1 ? 11 ? ? ? 11 ? ? ?
n个

1 ?9) (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99 ? ? ? 9 n个

1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1) 9 1 ? (10 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? n 9 ? 1 ?10(10 n ? 1) ? ? ? n? 9? 9 ? ?

? ?

?

?

?

10 n ?1 ? 9n ? 10 81

1? 1 ? 1 ? ? ? ? (2)当 x ? ?1 时, S n ? ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? ? ? x n ? n ? x x ? x ? ? ? ? ?

2

2

2

1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? x 2 ? 2 ? 2 ? ? ? x 4 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? x 2n ? 2 ? 2n ? x ? ? x ? x ? ? ? 1 1 ? ? 1 ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? 2n ? ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? x x ? ?x ? x 2 ( x 2 n ? 1) x2 ?1 1 ? x ?2 ( x 2 n ? 1)( x 2 n ? 2 ? 1) ? ? 2n x 2 n ( x 2 ? 1) 当x ? ?1时, S n ? 4n
2. 错位相减法 3. 裂项相消法求和 例 3. 求数列

?

x ? 2 (1 ? x ? 2 n )

? 2n

1 1 1 1 , , , ?, , ? 的前 n 项和 Sn。 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n (n ? 2)

解析:∵

1?1 1 ? 1 ? ? ? ? n (n ? 2) 2 ? n n ? 2 ?

∴ Sn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ? 1 1 ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? n n ? 2 ??

1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? 2? 2 n ?1 n ? 2? 3 1 1 ? ? ? 4 2n ? 2 2n ? 4 ?
4. 并项求和 例 4. 求 12 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? (?1) n ?1 n 2 解析:当 n 是偶数时

S n ? (12 ? 2 2 ) ? (3 2 ? 4 2 ) ? ? ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? ??3 ? 7 ? 11 ? ? ? (2n ? 1)? n (3 ? 2n ? 1) 2 ?? 2 n ( n ? 1) ?? 2 当n是奇数时

?

?

S n ? 12 ? ( ?2 2 ? 3 2 ) ? (?4 2 ? 5 2 ) ? ? ? ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? 1 ? ?5 ? 9 ? 13 ? ? ? (2n ? 1)? n ?1 (5 ? 2n ? 1) ?1? 2 2 ( n ? 1)(n ? 2) ?1? 2 n (n ? 1) ? 2 n (n ? 1) 综上, S n ? ( ?1) n ?1 2

?

?

5. 倒序相加求和 课本引例 方法四:等差数列的设项 (1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…, x ? 2d, x ? d, x, x ? d, x ? 2d ,…,此 时公差为 d; (2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为…, a ? 3d, a ? d, a ? d, a ? 3d ,…,此 时公差为 2d。 例:有四个数,其中前三个成等差数列,后三个成等比数列,并且第一个与第四个数的 和为 16,第二个与第三个数的和为 12,求这四个数。 解析:设前三个数依次为 a ? d, a, a ? d ,则第四个数为

(a ? d ) 2 a

? (a ? d ) 2 ? 16 ?(a ? d) ? ∴? a ?a ? (a ? d) ? 12 ?
?a ? 4 ?a ? 9 解之得 ? 或? ?d ? 4 ?d ? ?6
所以这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1 方法五:等比数列的设项 (1)对于连续奇数项的等比数列,通常可设为…,

a a , , a , aq, aq 2 ,…,此时公比仍 q2 q

为 q; (2)对于连续偶数项的等比数列,通常可设为…,

a a , , aq, aq 3 ,…,此时公比为 q3 q

q2 ? 0 。
例:已知一个等比数列 ?a n ? 前四项之积为 列的公比(其中 a n ? 0 ) 。 解析:设等比数列 ?a n ? 的前四项依次为

1 ,第二、三项的和为 2 ,求这个等比数 16

a a , , aq, aq 3 q3 q

? 4 1 a ? ? 16 ? 则由已知得 ? a ? ? aq ? 2 ? ?q

(1) (2)

1? 1? 由(1)得, a ? ? ? 舍去 ? ? 2? 2?

代入(2)并整理,得 q 2 ? 2 2q ? 1 ? 0 故原等比数列的公比为 q 2 ? 3 ? 2 2

解之得, q ? 2 ? 1

易错题一:设数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n ? 3(n ? N ? ) ,求数列 ?a n ? 的通项公式。 解题思路:n=1 时, a 1 ? S1 ? 6 。 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (n 2 ? 2n ? 3) ? [(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 3] ? 2n ? 1 。

(n ? 1) ?6 因此数列的通项公式为 a n ? ? ?2n ? 1(n ? 2)
失分警示:由 S n ? S n ?1 求 a n 时,必须考虑条件: n ? 2 ,因为 n=1 时, Sn ?1 无意义。数

(n ? 1) ?S1 列的通项 a n 与前 n 项和 S n 的关系是: a n ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
此公式在数列中经常用到,应引起重视。 易错题二:已知等差数列 ?a n ? , S n 为前 n 项和,若 S 4 ? 30, S8 ? 90 ,求 S12 。 解题思路:∵ ?a n ? 是等差数列 ∴ S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 也是等差数列。 ∴ 2(S8 ? S 4 ) ? S 4 ? (S12 ? S8 )

即 2(90 ? 30) ? 30 ? (S12 ? 90)

∴ S12 ? 180

失分警示:由 ?a n ? 是等差数列,得出 S 4、S8、S12 也是等差数列是错误的,实际上,若 设公差为 d,则 S4 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 , S8 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 8 ∴ S8 ? S4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? a 8 , S12 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 12 ∴ S12 ? S8 ? a 9 ? a 10 ? a 11 ? a 12 ∴ S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 成等差数列,且公差为 16d。 等差数列的前 n 项和也构成一个等差数列,即 S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,…为等差数列, 公差为 n 2 d 。 易错题三:等差数列 ?a n ? ,?b n ? 的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 于______________。 答案:

S n 3n ? 1 a ,则 11 等 ? Tn 2n b11

32 21

a 1 ? a 21 ? 21 a 11 2a 11 a 1 ? a 21 S 3 ? 21 ? 1 32 2 解题思路: 。 ? ? ? ? 21 ? ? b11 2b11 b1 ? b 21 b1 ? b 21 T21 2 ? 21 21 ? 21 2 错因分析:对等差数列前 n 项和的结构特征认识模糊,容易导致错误。如设
Sn ? 3n ? 1, Tn ? 2n 是错误的。
易错题四:设等比数列 ?a n ? 的首项为 a,公比为 a (a ? 0) ,若其前 10 项中最大的项为 1024,求 a 的值。 解题思路: ?a n ? 的通项公式为 a n ? a n 。 ( 1 ) 当 a ? 1 时 , 数 列 ?a n ? 为 递 增 数 列 , 所 以 前 10 项 中 第 10 项 为 最 大 , 即

a 10 ? a 10 ? 1024 ,∴a=2。
(2)当 0 ? a ? 1时, ?a n ? 为递减数列,前 10 项中第一项为最大,即 a=1024,矛盾, 故此时无解。 (3)当 a=1 时, ?a n ? 为常数数列,此时各项均为 1,显然与题设矛盾。 综上可知,a=2。

失分警示:解此类问题易出现概念性的错误。如仅凭 a ? 0 则得出 ?a n ? 为递增数列,从 而得到 a 10 ? 1024 ,则会得到错误结论。 对含参问题一般需要对参数进行分类讨论。 易错题五:已知等比数列 ?a n ? 中, a 3 ?

3 1 , S3 ? 4 ,求 a 1 。 2 2 1 ,适合题意。 2

解题思路:当 q ? 1 时, a 1 ? a 2 ? a 3 ,此时正好有 S3 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? 4

? 2 3 ?a 1q ? 2 ? 当 q ? 1 时,依题意有 ? , 3 ? a 1 (1 ? q ) ? 4 1 ? 2 ? 1? q

1 3 , a 1 ? 6 ,综上得 a 1 ? 或 a 1 ? 6 。 4 2 失分警示:等比数列前 n 项和公式中一定要考虑公式适用条件 q ? 1 或 q ? 1 ,否则导致
解之,得 q 2 ? 失误。若 q=1,则 S n ? na 1 ;若 q ? 1 ,则 S n ?

a 1 (1 ? q n ) 。 1? q
n

易错题六:一个数列 ?a n ? ,当 n 为奇数时, a n ? 5n ? 1 ;当 n 为偶数时, a n ? 2 2 。这 个数列的前 2m 项之和为___________。 答案: S 2 m ? 5m 2 ? m ? 2 m?1 ? 2 解题思路:当 n 为奇函数时,相邻两项为 a n 与 a n ? 2 由 a n ? 5n ? 1 得 a n ? 2 ? a n ? 5(n ? 2) ? 1 ? (5n ? 1) ? 10 ,且 a 1 ? 6 所以 ?a n ? 中的奇数项构成以 a 1 ? 6 为首项,公差 d=10 的等差数列。
n 22
n?2

当 n 为偶数时,相邻两项为 a n 与 a n ? 2

由an ?

a 2 2 得 n ? 2 ? n =2,且 a 2 ? 2 an 22

所以 ?a n ? 中的偶数项构成以 a 2 ? 2 为首项,公比 q=2 的等比数列。

m(m ? 1) 2(1 ? 2 m ) ? 10 ? ? 5m 2 ? m ? 2 m?1 ? 2 。 2 1? 2 错因分析:将原数列分成由奇数项和偶数项组成的两个数列来处理的思路是正确的,
由此得 S 2 m ? 6m ? 但如果把奇数项组成的数列的相邻两项认为是 a n 与 a n ?1 ,把偶数项组成的数列的首项认为 是 a 1 ,且相邻两项认为是 a n 与 a n ?1 ,则会导致错解。


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