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数学必修4(人教A版)第二章章末复习提升课


章末复习提升课 平面向量的线性运算 向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘,向量的加法遵循三角形法 则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算,向量的加法满足交换律、结合律,数 乘向量满足分配律.利用向量证明三点共线时,应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (1)(2015· 高考全国卷Ⅱ)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ=________. → → → → → → → (2)(2015· 高考北京卷)在△ABC 中, 点 M, N 满足AM=2MC, BN=NC.若MN=xAB+yAC, 则 x=________;y=________. [解析] (1)因为 λa+b 与 a+2b 平行, 所以 λa+b=t(a+2b), 即 λa+b=ta+2tb, ?λ=t, ? 所以? ?1=2t, ? ?λ=2, 解得? 1 ?t=2. → → (2)因为 AM=2MC, → 2→ 所以AM= AC. 3 → → 因为 BN=NC, 1 → 1 → → 所以AN= (AB+AC), 2 → → → 1 → → 2→ 所以MN=AN-AM= (AB+AC)- AC 2 3 1→ 1 → = AB- AC. 2 6 1 1 → → → 又MN=xAB+yAC,所以 x= ,y=- . 2 6 1 [答案] (1) 2 1 (2) 2 1 - 6 向量线性运算的基本原则 向量的加法、 减法和数乘运算统称为向量的线性运算, 向量的线性运算的结果仍是一个 向量,因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 向量的夹角及垂直问题 (1)两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)垂直?a· b=0?x1x2+y1y2=0,利用这两个结论, 可以判断两个向量的位置关系. (2)两个向量的夹角公式: x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 (1)已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ=( A.-4 C.-2 B.-3 D.-1 ) (2)已知 a、b 都是非零向量,若-3a+b 与 5a+7b 垂直,16a+11b 与 2a-7b 垂直,试 求 a 与 b 的夹角. [解] (1)选 B.因为 m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),(m+n)⊥(m-n),所以(m +n)· (m-n)=(2λ+3,3)· (-1,-1)=-2λ-6=0,解得 λ=-3. (2)因为-3a+b 与 5a+7b 垂直, 所以(-3a+b)· (5a+7b)=0, 所以-15a2-16a· b+7b2=0.① 同样由 16a+11b 与 2a-7b 垂直, 得 32a2-90a· b-77b2=0.② 由 11×①+②,得-133a2-266a· b=0. 1 所以 a· b=- a2.③ 2 将③代入①,得 a2=b2, 所以|a|=|b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ, a· b a· b a· b 1 则 cos θ= = = =- . |a||b| |a|2 a2 2 又因为 θ∈[0° ,180° ], 所以 θ=120° . 解决两个向量垂直问题, 其关键在于将问题转化为它们的数量积为零, 与求夹角一样. 若 向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系),将它转化为“x1x2+y1y2=0”较为简单.

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