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2.2.3 直线与椭圆的位置关系(1)


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姓名:

小组:

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主备人:

2.2.3 直线与椭圆的位置关系三 1、掌握点的轨迹的求法; 2、进一步掌握椭圆的定义及标准方程 学习重点:直线与椭圆的位置关系 学习难点:点与椭圆的位置关系和弦长的求法 自主预习案(15 分钟) 自学教材——阅读教材

,自主学习 复习: 1.点和圆的位置关系有哪些?如何判断的? _______________________________________________________________________________ 2.直线与圆的位置关系有哪些?如何判断的? ________________________________________________________________________________ 一、点与椭圆的位置关系

x2 y 2 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的位置关系: a b 点 P 在椭圆上 ? ___________________________; 点 P 在椭圆内 ? ___________________________ 点 P 在椭圆外 ? ___________________________
二、直线与椭圆的位置关系

? x2 y 2 将两个曲线的方程联立,即 ? 2 ? 2 ? 1 ,消去 x 或 得到关于 或 二次方程, ?a b ? y ? kx ? b ?
若 ? ? 0 ,有 三、相交弦长 推导过程 个公共点; ?

? 0 ,有

个公共点(相切) ? ;

? 0,

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与直线 y ? kx ? b 相交于 A,B,求线段 AB 的长度 a 2 b2

? x2 y 2 ? ? 1 ,则 A(x , y ), B( x , y ) 是该方程组的 设交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,联立二者方程得 ? a 2 b 2 1 1 2 2 ? ? y ? kx ? b ?
解,消去 y 得

ax2 ? bx ? c ? 0 , 二 次 方 程 的 形 式 , 与 椭 圆 的 (
? |a|
,则 AB =

a,b,c 意义不同) 则 ,

AB



1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
消去 x 得

思考:直线与椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断? 预习自测 1、直线 x=2 与椭圆 (A)0 个

x2 y 2 ? ? 1的交点个数为( 4 3
(B)1 个

) (D) 3 个

(C) 2 个

1

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x2 y 2 2、直线 y=1 被椭圆 ? ? 1截得的线段长为( 4 2
(A)4



2

(B)3

2

(C) 2

2


(D)

2
4 5

3、直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点,则 m2=( (A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4
.

(D)

4、直线 x-y+1=0 被椭圆

x2 y 2 ? ? 1截得的弦长为 16 4

合作探究案(30 分钟) 例 1. 已知椭圆 C :

x y ? ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? m ? 0 ,当 m ? 40 时,椭圆 C 上是否存在一点,它到 25 9

2

2

直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

变式 1: (1)若直线与椭圆有两个交点,则 m 的范围? (2)直线 l1 : (m ? 1) x ? (m ? 2) y ? m ? 0 ,求证:直线 l1 与椭圆 C 恒相交?

2

班级: 变式 2:若直线

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y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围. 5 m

例 2. 求椭圆

x2 ? y 2 ? 1截直线 y ? x 的弦长 2

变式:若 F1 , F2 分别为上述椭圆的左右焦点,过 F2 作倾斜角为 的面积

? 4

的直线交椭圆于

A, B 两点,求 ?ABF1

3

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2

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主备人:

x 3 拓展:1.若直线 l 与椭圆 C: +y2=1 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ,求△AOB 面积 3 2 的最大值.

x2 y2 2.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. a b (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN| 5 = |AB|,求椭圆的方程. 8

4


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