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高考数学(人教a版,理科)题库:分类加法计数原理与分步乘法计数原理(含答案)


第十章

计数原理

第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题 1.如图,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A,B,C,D 中,要求相邻的矩形涂 色不同,则不同的涂法有( ) A C D A.72 种 C.24 种 解析 B.48 种 D.12 种 B

先分两类:一是四种颜色都用,这时 A 有 4 种涂法,B 有 3 种涂法,C

有 2 种涂法, D 有 1 种涂法,共有 4×3×2×1=24 种涂法;二是用三种颜色,这时 A,B, C 的涂法有 4×3×2=24 种,D 只要不与 C 同色即可,故 D 有 2 种涂法.故不 同的涂法共有 24+24×2=72 种. 答案 A 2.如图,用 6 种不同的颜色把 图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域 不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( A.400 种 C.480 种 解析 ). B.460 种 D.496 种

从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D、A 同色 1 种,D、A

不同色 3 种,∴不同涂法有 6×5×4×(1+3)=480(种),故选 C. 答案 C

3.某省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展,某校高一新生 中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之

家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至 少参加一个社团且只能参加一个社团.且同学甲不参加“围棋苑”,则不同 的参加方法的种数为 A.72 解析 B.108 C.180 D.216 ( ).

设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊,由题意,如果甲不参加“围

棋苑”,有下列两种情况: (1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”,有 C1 4种方法,然后从 甲与丙、丁、戊共 4 人中选 2 人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个
3 1 2 3 社团中,有 C2 4A3种方法, 故共有 C4C4A3种参加方法;

(2)从乙、丙、丁、戊中选 2 人(如乙、丙)参加“围棋苑”,有 C2 4种方法,甲
3 2 3 与丁、戊分配到其他三个社团中有 A3 种方法,这时共有 C4 A3种参加方法; 2 3 2 3 综合(1)(2),共有 C1 4C4A3+C4A3=180 种参加方法.

答案 C 4.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每 位教师不能在本班监考,则监考的方法有( A.8 种 C.10 种 解析 分四步完成,共有 3×3×1×1=9 种. 答案 B 5.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个 城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游 览,则不同的选择方案共有 ( ). B.240 种 C.144 种 D.96 种 ) B.9 种 D.11 种

A.300 种 解析

甲、乙两人不去巴黎游览情况较多,采用排除法,符合条件的选择方

4 1 3 案有 C4 6A4-C2A5=240.

答案 B 6.4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同 选法有( A.12 种 ). B.24 种 C.30 种 D.36 种

解析

分三步,第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲.共有 C2 4种不同选

法,第二步给第 3 位同学选课程,有 2 种选法.第三步给第 4 位同学选课程, 也有 2 种不同选法.故共有 C2 4×2×2=24(种). 答案 B

二、填空题 7.将数字 1,2,3,4,5,6 按第一行 1 个数,第二行 2 个数,第三行 3 个数的形式 随机排列,设 Ni(i=1,2,3)表示第 i 行中最大的数,则满足 N1<N2<N3 的所 有排列的个数是________.(用数字作答) 解析 由已知数字 6 一定在第三行,第三行的排法种数为 A3A5=60;剩余的
1 2

三个数字中最大的一定排在第二行,第二
1 行的排法种数为 A1 2A2=4,由分步计数原理满足条件的排列个数是 240.

答案

240

8.数字 1,2,3,?,9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中, 要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大, 当数字 4 固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有 ________种. 解析 必有 1、4、9 在主对角线上,2、3 只有两种不同的填法,对于它们的 每一种填法,5 只有两种填法.对于 5 的每一种填法,6、7、8 只有 3 种不同 的填法,由分步计数原理知共有 22×3=12 种填法. 答案 12 9.如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.
1 解析 当相同的数字不是 1 时, 有 C1 当相同的数字是 1 时, 共有 C1 3个; 3C3个, 1 1 由分类加法计数原理得共有“好数”C1 3+C3C3=12 个.

答案 12 10.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着 色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种, 至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种.(结果用数值表示)

答案 21;43 三、解答题 11.如图所示三组平行线分别有 m、n、k 条,在此图形中 (1)共有多少个三角形? (2)共有多少个平行四边形? 解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法

是一一对应的,由分步计数原理知共可构成 m· n· k 个三角形. (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的,由分类
2 2 2 2 2 和分步计数原理知共可构成 C2 mCn+CnCk +Ck Cm个平行四边形.

12.设集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M. (1)P 可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P 可以表示多少个第二象限内的点? (3)P 可以表示多少个不在直线 y=x 上的点? 解 (1)分两步,第一步确定横坐标有 6 种,第二步确定纵坐标有 6 种,经检 验 36 个点均不相同,由分步乘法计数原理得 N=6×6=36(个). (2)分两步,第一步确定横坐标有 3 种,第二步确定纵坐标有 2 种,根据分步

乘法计数原理得 N=3×2=6 个. (3)分两步,第一步确定横坐标有 6 种,第二步确定纵坐标有 5 种,根据分步 乘法计数原理得 N=6×5=30 个. 13.现安排一份 5 天的工作值班表,每天有一个人值班,共有 5 个人,每个人都 可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有 多少种不同的排法? 解 可将星期一、二、三、四、五分给 5 个人,相邻的数字不分给同一个人.

星期一:可分给 5 人中的任何一人,有 5 种分法; 星期二:可分给剩余 4 人中的任何一人,有 4 种分法;星期三:可分给除去 分到星期二的剩余 4 人中的任何一人,有 4 种分法; 同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法,由分步计数原理共有 5×4×4×4×4=1 280 种不同的排法. 14.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原象,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原象,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个? 解 (1)显然对应是一一对应的, 即为 a1 找象有 4 种方法, a2 找象有 3 种方法,

a3 找象有 2 种方法,a4 找象有 1 种方法,所以不同的 f 共有 4×3×2×1=
24(个). (2)0 必无原象,1,2,3 有无原象不限,所以为 A 中每一元素找象时都有 3 种 方法.所以不同的 f 共有 34=81(个). (3)分为如下四类: 第一类,A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法; 第二类,A 中有两个元素对应 1,一个元素对应 2,另一个元素与 0 对应,有
1 C2 4·C2=12 种方法; 2 第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2 4·C2=6 种方法;

第四类,A 中有一个元素对应 1,一个元素对应 3,另两个元素与 0 对应,有
1 C1 4·C3=12 种方法.

所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个).


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