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1111111三角函数的定义及诱导公式


中小学 1 对 1 课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义
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三角函数的定义及诱导公式

授课日期及时段 教学目的 1、理解角的概念,掌握角度和弧度之间的转换。 2、掌握特殊角的三角函数值,灵活应用诱导公式。
教学内容 一、 上节课知识回顾及作业检查 二、 知识梳理 1.有关角的概念 (1)按逆时针旋转而成的角叫做正角;按顺时针方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,我们也把它看成 一个角,叫做零角. (2)象限角:当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴正半轴重合时,角的终边在第几象限,就把这个角叫做第 几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限. (3)终边相同的角:所有与角α 终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合 S={β|β = α + 360°× k, k ∈ Z}。即任一 个与角终边相同的角,都可以表示成角α 与周角的整数倍的和。 2.弧度制 (1)定义:长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做 1 弧度 。1 弧度记作 1 rad ;1 弧度(1rad) ? 57.3? .
2 (2) 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R

2

2

(3)常有结论: ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ;

? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? ? k? ? , k ? Z ; ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ?
2
3.三角函数的定义: 设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) ,它与原点的距离是 r ?

?

k? ,k ?Z . 2

x 2 ? y 2 ? 0 ,那么

sin ? ?

x y x y , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? , cot ? ? ( y ? 0) , y r r x
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中小学 1 对 1 课外辅导专家 4. 诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x
sin(? ? x) ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? x) ? ? tan x ? cot( ? x) ? ? cot x ?

sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x

sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? x) ? tan x ? cot( ? x) ? cot x ?

sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2

1 tan( ? ? ? ) ? cot? 2

1 tan( ? ? ? ) ? ? cot? 2
1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2

三、 例题讲解 题型一:有关角的象限问题 1、如果 ? 为第一象限的角,试问:

1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2

?
2

是第几象限的角?

2、已知 ? 是第三象限角,问

? 是哪个象限的角? 3

3、如果 ? 为第一象限的角,试问: ? ? , ? ? ? , ? ? ? 分别是第几象限角?

4、与 610°角终边相同的角表示为

.

5、A={小于 90°的角},B={第一象限的角},则 A∩B= ①{小于 90°的角} ③{第一象限的角} ②{0°~90°的角} ④以上都不对

(填序号).

题型二:角度和弧度之间的转换 1、已知一扇形的圆心角是 ? ,所在圆的半径是 R。 (1) 若 ? =60 度,R=10 厘米,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积。 (2) 若扇形的周长是一定值 C(C>0) ,当 ? 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 2、一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇形的面 积是多少?

3、已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的中心角的弧度数是

2

.

题型三:三角函数值的符号判断 1、判断下列各式的符号: ① sin 340 ? ? cos 265 ? ② sin 4 ? tan(? 2、函数 y ?

23? ) 4


sin x cos x tan x cot x ? ? ? 的值域是 sin x cos x tan x cot x

题型四:诱导公式的应用 17 17π 1、cos(- π )-sin(- )的值是( 4 4 A. 2 B.- 2 C.0 ) D. 2 2 )

1 π π 3 2、已知 sinθ =- ,θ ∈(- , ),则 sin(θ -5π )sin( π -θ )的值是( 3 2 2 2 A. 2 2 9 2 2 B.- 9 1 C.- 9 1 D. 9 )

sin(π -α )cos(2π -α ) 31π 3、已知 f(α )= ,则 f(- )的值为( cos(-π -α )tanα 3 A. 1 2 1 B.- 2 C. 3 2 D.- 3 2

4、已知 sin(x ?

?
6

)?

1 7? 5? ,求 sin( ? x) ? cos2 ( ? x) 的值。 4 6 6

5、已知 sin ? 是方程 6 x ? 1 ?

x 的根,求

cos( ? 5? ) tan(2? ? ? ) ? 的值。 3? cos( ? ? ) cot(? ? ? ) 2

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?-cosπ x,x>0, ? 6、若函数 f(x)=? ? ?f(x+1)+1,x≤0.

4 则 f(- )的值为________. 3

7、已知函数 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),且 f(2009)=3,则 f(2010)的值是( A.-1 B.-2 C.-3 D.1

)

8、化简:

sin 2 (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(?? ? 2? ) tan(? ? ? ) ? sin3 (

?

=

.

2

? ? ) ? sin(?? ? 2? )

题型:三角函数的定义 1、已知角 ? 的终边在 y 轴上,求 sin ? 、cos ? 、tan ? 的值.

2、已知角 ? 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin ? ,cos ? ,tan ? 的值.

4 3、已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30°),且 cosα =- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 3 2 D. 3 2 .

)

4、已知角 ? 终边上一点 P 的坐标是(2sin2,-2cos2),则 sin ? = 四、家庭作业 1、若 sin ? ? 0 且 tan? ? 0 ,则 ? 是( ) A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角

2、已知 ? 为第三象限的角,则 A 第一或第二象限

?
2

所在的象限是( ) C 第一或第三象限 D 第二或第四象限

B 第二或第三象限

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 3、 sin 585 ? 的值为( ) A. ?

2 2

B

2 2

C ?

3 2

D

3 2

π 4、若- <α <0,则点(tanα ,cosα )位于( 2 A.第一象限 5、 ? ? “ B.第二象限

)

C.第三象限 D.第四象限

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的( ) 2

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

sin(kπ +α ) cos(kπ +α ) 6、已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sinα cosα A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} )

α α α 7、已知角 α 是第二象限角,且|cos |=-cos ,则角 是( 2 2 2 A.第一象限角 C.第三象限角 8、sin210°= . B.第二象限角 D.第四象限角

9、已知点 P(tan ? ,cos ? )在第三象限,则角 ? 的终边在第 10、已知角 ? 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上,则
sin? sin? ? cos? cos? ?

象限. .
2 x ,则 sin ? = 4

11、 ? 是第二象限角,P(x, 5 )为其终边上一点,且 cos ? = 12、已知角 ? 的终边与角

.

? ? 终边相同,在[0, 2? )内哪些角的终边与 的终边相同? 3 3

13、一扇形的周长为 20,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?

14、已知扇形 OAB 的圆心角 ? 为 120 ? ,半径长为 6, (1)求弧 AB 的长; (2)求弓形 OAB 的面积。

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? ?
2 的符号. 2

15、设 ? 为第三象限角,试判断

sin cos

16、求下列函数的定义域: (1) y ?
2 (2) y ? lg(3 ? 4 sin ? ) ; 2 cos? ? 1 ;

3? ? tan(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin? ? ? ? 2 ? 17、化简 cos(?? ? ? ) sin(?? ? ? )

? ? ?.

1 18、已知 sin(π +α )=- . 3 3π π 计算:(1)cos(α - );(2)sin( +α );(3)tan(5π -α ). 2 2

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