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空间点线面之间的位置关系(一)


一、空间点线面之间的位置关系 考试要求:
1、 2、 熟练掌握点、线、面的概念; 掌握点、线、面的位置关系,以及判定和证明过程;

知识网络:

空间图形的关系

空间基本关系与公理

平行关系

垂直关系

公理

点、线、面的位

置关系

判定

性质

应用

判定

性质

应用

知识要点:
1、公理 (1)公理 1:对直线 a 和平面α ,若点 A、B∈a , A、B∈α ,则 (2)公理 2:若两个平面α 、β 有一个公共点 P,则α 、β 有且只有一条过点 P 的公共直线 a (3)公理 3: 不共线的三点可确定一个平面 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ 的范围是 00<θ ≤900

? 例题解析 例 1、三个平面将空间分成 k 个部分,求 k 的可能取值. 分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论,按条件可将三个平面位置情况分为 5 种: (1)三个平面相互平行 (2)两个平面相互平行且与第三个平面相交 (3)三个平面两两相交且交线重合 (4)三个平面两两相交且交线平行 (5)三个平面两两相交且交线相交

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例 2、如图, A 是平面 B C D 外的一点 G , H 分别是 ? A B C , ? A C D 的重心, 求证: G H
// B D

A



G B M
例 3、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则棱 A1B1 所在直线与面对 角线 BC1 所在直线间的距离是

H D N C

? 能力提升训练 1.已知 A、B 表示点,b 表示直线, 、 (A) (C) 表示平面,下列命题和表示方法都正确的是( ).

(B) (D) ).

2.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是( (A)平行或异面 (B)异面 (C)相交

(D)相交或异面

3.如图,空间四边形 ABCD 中,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,若 BD=m,则 MN =__________.

4. 下列命题中正确的个数是(
① ② ③ ④



若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥ ? . 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点.
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A. 0

B.1

C.2

D.3
??

5. 若直线 a 不平行于平面 ? ,且 a A. ? 内的所有直线与 a 异面 C. ? 内存在唯一的直线与 a 平行

,则下列结论成立的是(



B. ? 内不存在与 a 平行的直线 D. ? 内的直线与 a 都相交 .

6. 已知 a , b , c 是三条直线,角 a ∥ b ,且 a 与 c 的夹角为 ? ,那么 b 与 c 夹角为 7. 如图, A A ? 是长方体的一条棱,这个长方体中与 A A ? 垂直的棱共
D [来源:Zxxk.Com] ?
C?

条.

A?
D

B?
C

A

(第 7 题图)

B

(第 10 题图)

8. 如果 a , b 是异面直线,直线 c 与 a , b 都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个. 9. 已知两条相交直线 a , b , a ∥ 平 面 ? 则 b 与 ? 的位置关系是 .

10. 如图,三条直线两两平行且不共面,每两条确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条 直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面? 11. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:
① BM

N

与 E D 平行. 与 B M 成 6 0 ?角.

② CN

与 B E 是异面直线. 与 B N 垂直.
E

D

C

M

③ CN

④ DM

以上四个命题中,正确命题的序号是( A. ① , ② , ③ B. ② , ④ )

) C. ③ , ④

A

B

D. ② , ③F , ④

12. 下列命题中,正确的个数为(

①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行; ②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变; ③过空间四边形 A B C D 的顶点 A 引 C D 的平行线段 A E ,则 ? B A E 是异面直线 A B 与 C D 所成的角; ④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形 A.0 B.1 C.2 D.3
? CD

13. 在空间四边形 A B C D 中, N , M 分别是 B C , A D 的中点,则 2 M N 与 A B
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的大小关系

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14. 已知 a, b 是一对异面直线,且 a, b 成 7 0 ? 角, P 为空间一定点,则在过 P 点的直线中与 a, b 所 成的角都为 7 0 ? 的直线有 条.

15. 已知平面 ? / / ? , P 是平面 ? , ? 外的一点,过点 P 的直线 m 与平面 ? , ? 分别交于 A, C 两点, 过点 P 的直线 n 与平面 ? , ? 分别交于 B , D 两点,若 P A 则 B D 的长为 .
? 6, A C ? 9, P D ? 8 ,

16. 空间四边形 A B C D 中, E , F , G , H 分别是 A B , B C , C D , D A 的中点,若 A C 且 A C 与 B D 所成的角为 9 0 ? ,则四边形 E F G H 的面积是 17. 已 知 正 方 体
A1 C 1 ? E F ? Q A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1

? BD ? a




D 1C 1

中,

E



F

分别为



C 1 B1

的中点,

AC ? BD ? P


C1

.求证:
A1

E
Q

(1) D , B , F , E 四点共面; (2)若
A1 C

F

交平面 D B F E 于 R 点,则 P , Q , R 三点共线.
R
D

B1

C

A

P B

二、直线与平面平行、平面与平面平行 考试要求:
1、 掌握线面、面面平行的性质 2、 掌握线面平行的证明方法 3、 掌握面面平行的证明方法

知识要点:
1、直线与平面的位置关系:平行、相交、在平面内 2、直线和平面平行的判定及性质 (1) 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平 行。 (简述为线线平行 线面平行) (2) 性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 直线就和交线平行。(简述为线面平行 线线平行) 3、两个平面的位置关系:平行、相交
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4、两个平面平行的判定与性质 (1) 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (2) 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分.叫 做这两个平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离 ? 例题解析 例 1、如图,在三棱锥 P-ABC 中,点Ο 、D 分别是 AC、PC 的中点, 求证: OD//平面 PAB
A O P

D

C

B

例 2、如图在四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行 四边形,求证:MN//平面 PAD

P

j E N

D

C

A

M
D1

B
C1

例 3、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 求证:平面 A1BD//平面 CB1D1
A1

B1 D C

A

B

例 4、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,其棱长为 1.求证:平面 AB1C∥平面 A1C1D.

变式拓展:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点. 求证:平面 AMN∥平面 EFDB.

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例 5、已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,面对角线 AB′、BC′的中点分别为点 E、F,且 B′E=C′F. 求证:(1)EF∥平面 A′ACC′;(2)平面 ACD′∥平面 A′BC′.

例 6、已知平面α ∥β ,P ?α 且 P ?β ,过点 P 的直线 m 与α 、β 分别交于 A、C,过点 P 的直线 n 与α 、β 分别交于 B、D,且 PA=6,AC=9,PD=8,求 BD 的长.

提示:

例 7、在正方形 中,已知正方体的棱长为 上,若 AM=BN=x。 (1)求证:MN//平面 CDD1C1; (2)设 MN=y,求 y=f(x)的表达式; (3)求 MN 的最小值,并求此时 x 的值; (4)求 AD1 与 BD 所成的角。

,M、N 分别在其对角线 AD1 与 DB

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? 能力提升训练 1. ? , ? 是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定 ? // ? 的是:__________(填序号) (1).a,b 是平面 ? 内的直线,且 a// ? ,b// ? ; (2). ? 内不共线的三点到平面 ? 的距离相等; (3). ? , ? 都垂直于平面 ? ; (4).a,b 是两条异面直线,且均与平面 ? , ? 平行; 2. 下列命题正确的是:__________(填序号) (1)平行于同一条直线的两个平面平行; (2)平行于同一平面的两个平面平行; (3)垂直于同一直线的两个平面平行; (4)与同一直线成等角的两个平面平行; 3.下列命题,其中真命题的个数为 .

①直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l∥ ? ; ②若直线 a 在平面 ? 外,则 a∥ ? ; ③若直线 a∥b,直线 b ? ④若直线 a∥b,b ?
? ?

,则 a∥ ? ;

,那么直线 a 就平行于平面 ? 内的无数条直线.

4.设 l,m,n 是三条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 l∥n 且 m∥n,则 l∥m; ③若 n∥α 且 n∥β ,则α ∥β ; ②若 l∥α 且 m∥α ,则 l∥m; ④若α ∥γ 且β ∥γ ,则α ∥β ;

其中正确命题的序号是________.(把正确命题的序号都填上). 5.下列条件中,不能判断两个平面平行的是 ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 (填序号). ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面

6. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点, 求证:平面 MNP//平面 A1BD.

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7.如图,在正三棱锥 S ? A B C 中, D 、 E 、 F 分别是棱 A C 、 B C 、 S C 上的点, 且 C D ? 2 D A ,C E ? 2 E S ,C F ? 2 F B ,G 是 A B 的中点. ? 1 ? 求证:平面 S A B ∥平面 D E F ;? 2 ? 求证: S G ∥平面 D E F
S

E

8. 已知 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G, 过 G 和 AP作平面交平面BDM于GH, 求证: AP // GH
G

A

D?

C

F B

P

M G D H A B C

三、直线与平面垂直、平面与平面垂直 考试要求:
4、 掌握线面、面面垂直的性质 5、 掌握线面垂直的证明方法 6、 掌握面面垂直的证明方法

知识要点:
1、线线垂直 判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条,必垂直于另一 条。 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和
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P
O A

这个平面的一条斜线

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a

?

的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这 条斜线的射影垂直。 推理模式:
PO ? ? ,O ? ? ? ? PA ? ? ? A ? ? a ? AO a ? ? ,a ? AP ? ?



注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直
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的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用。
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2、线面垂直的定义 如果直线 l 和平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 垂直,记作 l⊥α 。 3、线面垂直的判定及性质 (1)判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面。 (2)性质 垂直于同一平面的两条直线平行。 4、线面角 直线和平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线 和这个平面所成的角。 特别地,如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角;一条直线和平面平行,或在 平面内,我们说它们所成的角是 0°的角, 5、二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两 个半平面叫做二面角的面,如图所示,即为一个二面角 α —l—β 。二面角的取值范围是 。

6、面面垂直的判定及性质 (1) 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直。 简述为 “线 面垂直,则面面垂直” 。 (2) 性质 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。 ? 例题解析
例 1、已知,如图正方体 ABCD
? A1 B 1 C 1 D 1 中

D1 A1 B1

C1

求证: A 1 C

? 平面 A B 1 D 1

D A
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C B
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例 2、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BC1D.
B

A C

D

A1 B1 C1

D1

例 3、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; (III)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

例 4 、 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 直 角 梯 形 , AB ∥ DC , ? DAB PA=AD=DC=
1 2 AB

? 90 , PA ?

?

底 面 ABCD , 且

=1,M 是 PB 的中点。

证明:面 PAD⊥面 PCD

例 5、已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 是菱形,

? DAB ? 60 ? , PD ?

平面 ABCD,PD=AD,点 E 为 AB

中点,点 F 为 PD 中点.(1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P—AB—F 的平面角的余弦值.

例 6、 如图所示,在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过 A 作 PA⊥平面 ABC,AM⊥PB 于 M,AN⊥PC 于 N。
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(1)求证:BC⊥面 PAC;(2)求证:PB⊥面 AMN; (3) 若 PA=AB=4,设∠BPC=θ ,试用 tanθ 表示△AMN 的面积,当 tanθ 取何值时,△AMN 的面 积最大?最大面积是多少?

? 能力提升训练 线面垂直练习
1、下列命题中正确的序号是: (1)若 a // ? , a ? b ,则 b ? ? (2)若 a // ? , b ? ? ,则 a ? b (3)若 b ? ? , a ? b ,则 a // ? 2、与两条异面直线同时垂直的平面有________个. 3、若 m、n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为________. ① m∥n? ? ??n⊥α; ? m⊥α? ② m⊥α? m⊥α? ? ? ??m∥n;③ ??m⊥n; ? ? n⊥α ? n∥α ? ④ m∥α? ? ??n⊥α. ? m⊥n? (4)若 a ? ? , a // b ,则 b ? ? (5) 、若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b

4、 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面, 为圆上异于 A, 的任一点, PA C B 则下列关系正确的是________(填序号). ①PA⊥BC;②BC⊥平面 PAC; ③AC⊥PB;④PC⊥BC. 5、P 为△ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 内的射影. (1)若 P 到△ABC 三边距离相等,且 O 在△ABC 的内部,则 O 是△ABC 的________心; (2)若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 O 是△ABC 的______心; (3)若 PA,PB,PC 与底面所成的角相等,则 O 是△ABC 的________心. 6、如图所示,在正三棱柱
A B C ? A1 B 1 C 1

中,底面边长和侧棱都是 2,D 是侧棱

C C1

上任意一点.E 是

A1 B 1

的中

点. (1)求证: A 1 B 1 // 平面 ABD (2)求证: AB ? CE

7、已知正方 形 ABCD 的边长为 1, A C ? B D ? O .将正方形 ABCD 沿对角线 B D 折起,使 A C ? 1 ,得到三棱
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锥 A—BCD,如图所示. 求证: A O ? 平 面 B C D ;

8、 (2011 江苏高考改编)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD ⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB∥DC,∠BCD=900 , 求证:PC⊥BC

9、如图,在四面体 SABC 中,SA=SB=SC,∠ASC=90°,∠ASB=∠BSC=60°,若 O 为 AC 中点,求证:
BO ? 平面 SAC
P

S

A

D

C C B

A

B

10、(2011.湖北高考第 18 题)如图,已知三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中, ? ABC 和 ? A 1 B 1 C 1 为边长 2 正三角形,侧棱 垂直于底面,侧棱长为 3 2 ,点 E 在侧棱 AA 1 上,点 F 在侧棱 BB 1 上,且 AE ? 2 2 , BF ?
CF ? C 1 E

2

求证:

A1 B1

C1

E

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黄冈名师教材研发中心系列教材 F

A B

C

11、如图,PA=BC=6,AC=8,PC=AB=10,点 E 在线段 AB 上,CE⊥平面 PAB,F 是线段 PB 上一点,CF= (1)求证:PC⊥BC; (2)求证:PB⊥平面 CEF。 12、如图,四边形 ABCD 为矩形, BC ? 平面 ABE ,
F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE .

15

34

17



P

D A A E N F C

C

F B

(1)求证: AE ? BE ; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 的中点. 求证: MN // 平面 DAE .

M E

B

13、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面 ABCD,E,F 分别是 AB,PC 的中 点。 P (1)求证:CD⊥PD; (2)求证:EF∥平面 PAD; (3)直线 PD 与平面 ABCD 成多大角时,直线 EF⊥平面 PCD? B E A C F D

14、如图,四面体 ABCD 中,CD⊥平面 ABC,AC⊥BC,H 为 C 点在面 ABD 内的射影,P 为棱 BC 的中点,连 结 AH 并延长交 BD 于 M。 (1)求证:AC⊥BD; (2)求证:点 H 为△ABD 的垂心; (3)试过点 P 与点 M 作四面体 ABCD 的一个截面,使之与 CH 平行。 A
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M H C P . B

? 能力提升强化训练 题型 1:线线垂直问题 1.如图 1 所示,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H、L、M、N 分别为 A1D1, A1B1,BC,CD,DA,DE,CL 的中点,求证:EF⊥GF。

题型 2:线面垂直问题 2. (2006 北京文,17)如图,ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,求证:BD⊥平面 ACC1A1。 (1)
D1 A1 B1 C1

D A

C B

(2) (2006 天津文,19)如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点, 面 CDE 是等边三角形,棱 E F ∥ (I)证明 F O∥ 平面 C D E ; ;
A D M C

1 2

BC


F

E

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黄冈名师教材研发中心系列教材 O
B

(II)设 B C

?

3 C D , 证明 E O ?

平面。

3.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 =

2

,D 是 A1B1

中点. (1) 求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2) 当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ? 并证明你的结论。

题型 3:面面垂直问题 4.如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,M 是 EA 的中点,求证: (1)DE =DA ; (2)平面 BDM ⊥平面 ECA ; (3)平面 DEA ⊥平面 ECA。

5. (2003 京春理,19)如图所示,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长 为 4.E,F 分别为棱 AB,BC 的中点,EF∩BD=G。 (Ⅰ)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (Ⅱ)求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d; (Ⅲ)求三棱锥 B1—EFD1 的体积 V。

题型 4:射影问题
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6. (1)如图, SA
E

?

正方形 ABCD 所在平面,过 A 作与 SC 垂直的平面分别交 SB 、 SC 、 SD 于

、K、 H ,求证: E 、 H 分别是点 A 在直线 SB 和 SD 上的射影.

(2)2006 湖北理, 如图, ( 18) 在棱长为 1 的正方体 A B C D 中, P 是侧棱 C C 1 上的一点, C P
? m

? A1 B 1 C 1 D 1

。 ;

(Ⅰ)试确定 m ,使直线 A P 与平面 B D D 1 B 1 所成角的正切值为 3

2

(Ⅱ)在线段 A1 C 1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m ,D1Q 在平面 A P D 1 上的射影垂直 于 A P ,并证明你的结论。
D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

7.如图 1 所示,已知 A1B1C1—ABC 是正三棱柱,D 是 AC 的中点。 (1)证明 AB1∥DBC1; (2)假设 AB1⊥BC1,BC=2,求线段 AB1 在侧面 B1BCC1 上的射影长。

题型 5:垂直的应用
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8. 已知 A 是边长为 a 的正三角形 BCD 所在平面外一点,AB
CD

? AC ? AD ? a

, 求异面直线 AB 与

的距离。 A E D B C
图⑴

A E D B C
图⑵

A E D B C
图⑶

F

F

F 9.如图,在 A E D B F H G C

空间四边形 ABCD 中, E 、 F 、 G 、 H 分别是边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中 点,对角线 AC
? BD ? a ? HF

且它们所成的角为 30 ? 。

⑴求证: EG

,⑵求四边形 EFGH 的面积。

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