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正余弦定理推导过程


先利用单位圆(向量)推到两角和与差的余弦公式,再利用诱导公式推导正弦公式,最 后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。 如:sin(a+b)=cos[(pi/2-a)-b]=cos(pi/2-a)cosb+sin(pi/2-a)sinb=sinacosb+cosasinb 取直角坐标系,作单位圆 取一点 A,连接 OA,与 X 轴的夹角为 A 取一点 B,连接 OB,与 X 轴的夹角为 B OA 与 OB 的夹角即为 A-B A(cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) ... 在直角坐标系 xoy 中,作单位圆 O,并作角 α,β,-β,使角 α 的始边为 Ox 交⊙O 于 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边为 OP1,终边 交⊙O 于 P4.依三角函数的定义, 得 P1、 P2、 P3、 P4 的坐标分别为 P1 (1, 0) , P2 (cosα,sinα) 、 P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接 P1P3,P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式,得 ∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2, ∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 ∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 展开整理,得 2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角 α,β 均成立 在公式 Cα+β 中,用-β 替代 β. cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角 α,β 均成立.



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