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2015年北京朝阳高三一模理科数学答案及解析


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2015 年高三朝阳区一模理科数学试卷解析
学而思高考研究中心-赵铭雪、杨明英、武洪姣、张剑 曲丹、季晓蕊、陈书杰、成文波 1. C 【解析】 根据集合的互异性, m ? 1, ? 2 , B ? A ? m ? 2 或 m ? m2 ,解得 m ? 0 , 1 , 2 均 可,根据集合的互异性, m ? 1, ? 2 ,所以 m ? 0 或 2 2. C
?p 【解析】 抛物线焦点为: ? , ?2 ? ?p ? 0 ? ,点 A 1 , ? 2 p ,它们的距离为 ? ? 1? ? 2 p ? 3 , ? ?2 ?

?

?

2

即 ? p ? 4?? p ? 8? ? 0 ,因为 p ? 0 ,所以 p ? 4 ,所以 y0 ? 2 p ? 2 2 3. B 【解析】 cos B ?

6 3 ,所以 sin B ? 1 ? cos2 B ? , 3 3 BC 6 3 ? sin B ? ? ?4 根据正弦定理: AC ? sin A 3 3 2

4. A 【解析】 若 ?x ? R , x2 ? ax ? 1≥ 0 成立,则等价于 ? ? a2 ? 4 ≤ 0 ,则等价于 a ≤ 2 . 5. D 【解析】 当 t ? 18 时,判断为是,进入循环, t ? t ? 1 ,则变为 19,将 18 点到 19 点的人数 统计完成,当 t ? 19 时,判断为否,输出 S ,D 选项符合要求. 6. A x ?1? 【解析】 画图,从右边从上往下分别是 y ? ? ? , y ? log3 x , y ? log2 x , y ? log2 ? x ? 1? ,所 ? 3? 以根据图象可看出 x1 ? x3 ? x2 .

7.B 【解析】 ?BOP ? 90? ,所以 P 点在 y ? ? x 这条直线上运动,因此可假设 P ? x , ? x ? ,
2 ?x ? 1 ? k 1 所以有 ? ,所以 x ? ,所以 OP ? 2 2 ?? x ? k

8.C 【解析】 当 x0 ? 0 时, y0 ? 0 , ? 1, ? 2 , ? 3 , ? 4 , 当 x0 ? ?1 时, y0 ? 0 , ? 1, ? 2 , ? 3 , ? 4 , 当 x0 ? ?2 时, y0 ? 0 , ? 1, ? 2 , ? 3 , ? 4 , 当 x0 ? ?3 时, y0 ? 0 , ? 1, ? 2 , ? 3 , 当 x0 ? ?4 时, y0 ? 0 , ? 1, ? 2 .
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9.

?1 ? 3i 2

【解析】 原式 ?
n ?1 10. 3

?1 ? 2i ??1 ? i ?
1?1

?

?1 ? 3i 2

a3 ? a8 S3 ? 1 3 ?1 【解析】 S3 ? 3a2 ? 1 ? a2 ? ,所以 d ? 2 3?8 3 3 ?2 2 π? ? 11. ? 2 , ? 2? ? 【解析】 ? ? 2 表示圆心为 1,半径为 2 的圆, ? sin ? ? 2 表示 y ? 2 这条直线,所以他们的
π? ? 交点为原点正上方距离为 2 的点,所以极坐标为 ? 2 , ? . 2? ?

12. 72 【解析】 假设球队为 A 队和 B 队, 要求同一种队服不能相邻, 则必然是 ABABAB 或 BABABA 3 的排列,所以共有 2 ? A3 . ? A ? 72 3 3 13. 2; ?1 【解析】 如图所示:若 z 的最大值为 ,则图象必为下图阴影部分,因此 t ? 2 此时 z 的最小值在 x ? ?1, y ? 2 时取到,为 ?1

y (1,2)

(-1,2)

x

1 1 14. ;1 ? n 2 2 【解析】 先考虑第一次挖, 挖去以后几何体剩余四部分一样的形状, 并且每一部分的高为原 1 1 1 1 1 来的 ,底面积为原来的 ,所以总体积变化为原来的 4 ? ? ? , 2 4 2 4 2 1 1 同理,每次挖去之后剩余部分的体积都将是挖之前的 ,因此最终剩余 n , 2 2 1 所以总共挖去了 1 ? n 2

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15. 【解析】 (Ⅰ) f ? x ? ?
1 ? cos 2 x 3 1 3 1 1 π? ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? 2 2 2 2 2 2 6? ? 2π 2π ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? ?1 ? 2 π π 3π 当 ? 2kπ ≤ 2 x ? ≤ ? 2kπ , k ? Z 时, f ? x ? 单调递减, 2 6 2 π 2π 即当 ? kπ ≤ x ≤ ? kπ , k ? Z 时, 6 3 2π ?π ? ? kπ ? , k ? Z ? 单调递减区间为 ? ? kπ , 3 ?6 ? (Ⅱ) x ? m 是 f ? x ? 的对称轴,
? 2m ? π π ? ? kπ 6 2 π kπ ?m? ? , k ?Z 6 2 2 3 ? 4π ? ? sin 4m ? sin ? ? 2kπ ? ? sin π ? 6 3 2 ? ?

16. 【解析】 (I)由茎叶图知分数在 ?50,60 ? 的人数为 4 人; ?60,70 ? 的人数为 8;

?70,80? 的人数为 10
4 ? 32 人 0.0125 ? 10 ? 分数在 ?80,100? 的人数为 32 ? 4 ? 8 ? 10 ? 10 人

? 总人数为

10 5 ? 32 16 (II)分数在 ?80,90 ? 的人数为 6 人,分数在 ?90,100? 为 4 人

? 频率为

X 的取值可能为 0,1, 2,3

P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ?

C3 20 1 6 ? ? 3 C10 120 6
2 1 C6 C6 60 1 ? ? 3 C10 120 2 4 1 C6 C6 36 3 ? ? 3 C10 120 10

C3 4 1 4 ? ? 3 C10 120 30

? 分布列为 X
P

0
1 6

1
1 2

2
3 10

3
1 30

E( X ) ?

6 5

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17. 【解析】 (I)证明:过 B 作 EF 的平行线交 CD 于 N 点,如图 1 BN ∥ AD ∥ EF , 且B , ? 所以四边形 EFBN 是平行四边形, ? BF ∥ EN N E ? F ? FB ∥ EN ? ? EN ? ECD ? FB ∥面CDE ? FB ? ECD ?
E F D A 图1 B N C

(II)以 D 为原点,以 DA, DC, DE 为 O ? xyz 建立直角坐标系,如图 2,设 AD ? AB ? a 所以 D(0,0,0) A(a,0,0), B(a, a,0), F (a,0, a) C (0, 2a,0)

DF ? (a,0, a), DB ? (a, a,0)
设面 BDF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z )
?ax ? az ? 0 令 x ?1, ? ?ax ? ay ? 0

所以 n1 ? (1, ?1, ?1)
AD ? 面 EDC ,所以 DA 为面 EDC 的法向量 DA ? (a,0,0)

cos ? n1 ? DA ??

n1 ? DA n1 DA

?

a 3a

?

3 ,由观察可知角度为锐角,所以所求余弦 3

3 3 (III)假设存在点 M

值为

EC ? (0, 2a, ?a) ,则 EM ? ? EC ? (0, 2a? , ?a? ) ,
DM ? DE ? EM ? (0,0, a) ? (0,2a? , ?a? ) ? (0,2a?, a ? a? )
设面 BDM 的法向量为 n2 ? ( x, y, z )
?ax ? ay ? 0 ?2? 令 x ? 1 , n2 ? (1, ?1, ) ? ? ?1 ?2a? y ? (a ? a? ) z ? 0

面 BDF 的法向量为 n1 ? (1, ?1, ?1) 2? 1 n1 ? n2 ? 2 ? ? 0 ,所以 ? ? ? ?1 2 EM 1 所以 ? EC 2

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z E F D A x B 图2 M

C

y

18. 【解析】⑴ f ? x ? ? ? ln x ?

x2 1 x2 ? 1 , f ?? x? ? ? ? x ? ,x?0 2 x x 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;
当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; 所以, f ? x ?min ? f ?1? ? ? ln1 ?

1 1 ? . 2 2 x 2 ? ? a ? 1? x ? a ? x ? 1?? x ? a ? a ⑵ f ? ? x ? ? ? x ? ? a ? 1? ? ,x?0 ? x x x ⒈当 a ≤ 0 时, 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减;

当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增. 所以此时 f ? x ?min ? f ?1? ?
1 1 ? a ?1 ? ? ? a . 2 2

1 ① a ? ? 时, f ? x ?min ? 0 , f ? x ? 的零点个数为 0 ; 2 1 ② a ? ? 时, f ? x ? 的零点个数为 1 ; 2 e2 e2 1 ③ 0 ? a ? ? 时,f ? x ?min ? 0 , 且 f ? e ? ? a ? ? ? a ? 1? e ? ? e ? a ?1 ? e ? ? 0 , 2 2 2 e?2 k a ?1 ?0, 取自然数 k ,使得, kek ? ,则 f ? e? k ? ? ?ka ? ? a ? 1? e? k ? 2 ?a 所以此时 f ? x ? 有两个零点.

④当 a ? 0 时, f ? x ? ?

⒉当 0 ? a ? 1 时, 当 0 ? x ? a 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当 a ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.

x2 ? x , x ? 0 ,只有 x ? 2 一个零点. 2

a2 1 ? a ? 0 ,极小值 f ?1? ? ? a ? 1 ? 0 , 2 2 4 2 e e 又 f ? e2 ? ? 2a ? ? ? a ? 1? e2 ? 2a ? ? e2 ? 2a ? 2 ? ? 0 ,所以此时 f ? x ? 的零点 2 2 个数为 1 . ⒊当 a ? 1 时,
极大值 f ? a ? ? a ln a ?
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f ? ? x ? ≥ 0 恒成立, f ? x ? 单调递增,

e4 e2 ? 2e2 ? 2 ? ? e2 ? 4 ? ? 0 , 2 2 ?2 e e?1 ?1 f ? e?1 ? ? ?1 ? ? 2e?1 ? ?1 ? ?e ? 4? ? 0 2 2 所以此时 f ? x ? 的零点只有 1 个.
因为 f ? e2 ? ? 2 ?
1 综上所述,当 a ? ? 时, f ? x ? 的零点个数为 0 ; 2 1 当 a ? ? 时, f ? x ? 的零点个数为 1 ; 2 1 当 0 ? a ? ? 时, f ? x ? 有两个零点. 2 当 a ? 0 时,只有一个零点. 当 0 ? a ? 1 时,此时 f ? x ? 的零点个数为 1 .

当 a ? 1 时,此时 f ? x ? 的零点只有 1 个. 19. 【解析】(1)由题意得 c ? 2 , e ?

c 6 ,从而 a ? 6 ? a 3 x2 y 2 所以椭圆方程为 ? ?1 6 2 (2) (i)当直线 AB 的斜率 k 不存在时, 2 6 直线 AB 为 x ? 2 ,则 AB ? MN ? 2 6 3 1 则 S AMBN ? AB MN ? 4 2

1 AB MN ? 4 3 2 (iii)当直线 AB 的斜率 k 存在且 k ? 0 时,设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 直线 AB 为 y ? k ( x ? 2)
(ii)当 k ? 0 时, AB ? 2 6, MN ? 2 2 , S AMBN ?
? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ? 6 2 ? y ? k ( x ? 2) ?

得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12k 2 x ? 6(2k 2 ? 1) ? 0

2 6(1 ? k 2 ) 12k 2 6(2k 2 ? 1) 2 AB ? 1 ? k | x ? x | ? 则 , x x ? 1 2 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y 设 M ( x0 , y0 ) 则 N (? x0 , ? y0 ) , kMN ? 0 x0
所以
x1 ? x2 ?

根据点 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 在椭圆上,有
? x12 y12 ? ?1 ? x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? 6 2 ? ?0 作差可得 ? 2 2 6 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 6 x y 1 化简可得 k 0 ? ? 即 y0 ? ? 0 , 3k x0 3

又点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆上,所以将 M ( x0 , y0 ) 带入椭圆方程得
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x0 2 ?

18k 2 3k 2 ? 1

M 到直线 AB 的距离 d1 ?

| kx0 ? y0 ? 2k | 1? k2

(k ? ?

1 ) x0 ? 2k 3k

, ? 1? k2 1? k2 ? 1 ? 3k 2 ? 1 ? 3k 2 x0 ? 2k | ? | x0 ? 2k | ? 2 ?| 1 6(1 ? k ) 3k S AMBN ? AB (d1 ? d 2 ) ? ? 3k ? 2 2 1 ? 3k 2 ? ? 1? k ? ? ? ? 2 36(1 ? k ) S 2 AMBN ? 1 ? 3k 2 2 (k 2 ? 0) 则 S AMBN ? 2 3 1 ? 2 1 ? 3k

N 到直线 AB 的距离 d 2 ?

| ?kx0 ? y0 ? 2k |

1? k2 1 (k ? ) x0 ? 2k 3k



S AMBN ? (2 3, 4 3)
综上可得,当 k ? 0 时取得最大值 S AMBN ? 4 ? 20. 【解析】⑴由 f ?1? ? 1 知, a1 ≤1 .

或者为 1, 都有 b1 ? 1 , 所以 a1 ? 0 或 1 . 2, 3, 4 , 时, 2, 3, 4 , 时, ?an ? 为 0 , ⑵ f ?1? ? 1 ,而不超过 1 的自然数只有两个,所以 b1 ? 0 , 1 或 2 . 当 b1 ? 2 ? a1 时,由 ?an ? 单调增知,an ? 1 恒成立,此时 b1 不可能为 2 ,不成立; 当 b1 ? 1 ? a1 时,此时成立, a1 ? 1 可以; ⑶ f ? m ? ? m2 , 当 b1 ? 0 ? a1 时,因为 a1 ? 0 ,此时 b1 至少为 1 ,所以这种情况也不成立.

m2 m2 ,所以 bm ? ; 2 2 m2 m2 ? 1 当 m 为奇数时,由 2n ≤ m2 ,得 n ≤ ,此时 bm ? . 2 2 存在 g ? n ? 满足要求.
当 m 为偶数时,由 2n ≤ m2 ,得 n ≤ 由 题 意 , 不 超 过 g ? n ? ? pn2 ? qn ? r 的 ?bm ? 的 项 有 2n 项 , 又 b2n ? 2n2 ,
b2n?1 ? 2n2 ? 2n ,

问题等价于求 g ? n ? 满足 b2n ≤ g ? n ? ? b2n?1 对所有 n ? N* 成立. 先说明必定有 p ? 2 . 若 p ? 2 ,当 n 足够大时,不难知道有 pn2 ? qn ? r ? 2n2 ? 2n ,不行; 若 p ? 2 ,当 n 足够大时,同样有 pn2 ? qn ? r ? 2n2 ,此时也不行. 所以 p ? 2 . 类似于对 n 2 的系数的分析, q 不能超过 b2 n ?1 的 n 的系数, q 只能为 0 , 1 或 2 . 2, 4, 8, 12 , 18 , 24 , 32 , ,单调增. ?bm ? 为 0 , ① q ? 0 时, g ? n? ? 2 n2 ? r ,由 2 ? b2 ≤ g ?1? ? 2 ? r ? b3 ? 4 ,得 r ? 0 , 1 ,即

g ? n? ? 2 n2 或 2n2 ? 1 ;
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2 ? n? r ② q ? 1 时 , g ? n? ? 2 n , 由 b2 ≤ g ?1? ? 3 ? r ? b3 , 得 r ? 0 , ?1 , 即

2 g ? n? ? 2 n ? n 或 g ? n ? ? 2n2 ? n ? 1 ;

③ q ? 2 时, g ? n ? ? 2n2 ? 2n ? r ,由 b2 ≤ g ?1? ? 4 ? r ? b3 ,得 r ? ?1, ? 2 ,即

g ? n? ? 2 n2 ? 2 n ? 1或 g ? n ? ? 2n2 ? 2n ? 2
由 b2n ? 2n2 , b2n?1 ? 2n2 ? 2n ,容易验证上面的 g ? n ? 都满足 b2n ≤ g ? n ? ? b2n?1 , 满足要求. 2n2 ? 1, 2n2 ? n , 2n2 ? n ? 1, 2n2 ? 2n ? 1 或 2n2 ? 2n ? 2 . 综上, g ? n ? ? 2n2 ,

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