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第24届全国中学生物理竞赛预赛题试卷及答案


第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题试卷
本卷共八题,满分 200 分 一. (25 分)填空题 1.2006 年诺贝尔物理学奖授予美国科学家约翰?马瑟和乔治?斯穆特,以表彰他们发 现了宇宙微波背景辐射的黑体国徽形式和各向异性。 这一发现为有关宇宙起源的__________ 理论提供了进一步的支持,使宇宙学进入了“精确研究”时代。 2.恒星演化到了后期,某些恒星在其内部

核燃料耗尽时,会发生强烈的爆发,在短 短的几天中,亮度陡增千万倍甚至上亿倍。我国《宁史》第五十六卷中对当时观测到的上述 现象作了详细记载。2006 年 5 月是我国发现此现象一千周年,为此在杭州召开了有关的国 际学术研讨会。天文学上把演化到这一阶段的恒星称为__________,恒星演变到这一阶段, 预示着一颗恒星的终结。此后,它可能成为__________或__________。 3.2006 年 11 月 21 日,中国、欧盟、美国、日本、韩国、俄罗斯和印度七方在法国 总统府正式签署一个能源方面的联合实施协定及相关文件, 该协定中的能源是指__________ 能源。 4.潮汐是一种常见的自然现象,发生在杭州湾钱塘江入海口的“钱江潮”是闻名世 界的潮汐现象。在农历初一和十五前后各有一次大潮,在两次大潮之间又各有一次小潮。试 把每月中出现两次大潮时球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面。

试把每月中出现两次小潮时球、月球和太阳的相对位置示意图定性地画在下面。

5.如图所示,用双线密绕在一个长直圆柱上,形成两个螺 a’ b’ 线管 aa’和 bb’(分别以实线和虚线表示) 已知两个线圈的自感都 , 是 L。若把 a 与 b 两端相连,把 a’和 b’两端接入电路,这时两个 a b 线圈的总自感等于_________;若把 b 与 a’两端相连,把 a 和 b’ 两端接入电路,这时两个线圈的总自感等于_________;若把 a 与 b 两端相连作为一端,a’ 与 b’ 相连作为另一端,把这两端接入电路,这时两个线圈的总自感等于_________。 二. (25 分)如图所示,一块光滑的平板能绕水平固定轴 P ? HH’调节其与水平面所成的倾角。板上一根长为 l=1.00 m 的轻 H l H’ O 细绳,它的一端系住一质量为 m 的小球 P,另一端固定在 HH’ 水平面 轴上的 O 点。 当平板的倾角固定在?时, 先将轻绳沿水平轴 HH’ 拉直(绳与 HH’重合) ,然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的 初速度 v0=5.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动,问倾角?的值应在什么范围内(取 图中处箭头所示方向为?的正方向) 。取重力加速度 g=10 m/s2。 三. (25 分)如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气 体(可视为理想气体)密封在水平放置的绝热气缸内。活塞可在 气缸内无摩擦地滑动。气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气 体十分缓慢地加热。气缸处在大气中,大气压强为 p0。初始时,
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S

气体的体积为 V0、压强为 p0。 已知 1 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一已知恒量 c, 求以下两种过程中电 热丝传给气体的热量 Q1 与 Q2 之比。 1.从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在电热丝中通以弱电流,并持续一段时 间,然后停止通电,待气体达到热平衡时,测得气体的压强为 p1。 2.仍从初始状态出发,让活塞处于自由状态,在电热丝中通以弱电流,并持续一段 时间,然后停止通电,最后测得气体的体积为 V2。 四、 (25 分)如图所示,M1M2 和 M3M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直 导线紧密排列的导线排横截面, 两导线排相交 成 120?,OO’为其角一平分线。每根细导线中 都通有电流 I,两导线排中电流方向相反,其 中 M1M2 中电流的方向垂直纸面向里。导线排 中单位长度上细导线的根数为?。图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体 - - 片的横截面, ?bc ) 长直半导体片与导线 (ab ,

M3

O’ a b I0 d c 60? 60?

M2

M1

O

M4

排中的细导线平行,并在片中通有均匀电流 I0,电流方向垂直纸面向外。已知 ab 边与 OO’ - 垂直,bc =l,该半导体材料内载流子密度为 n,每个载流子所带电荷量的大小为 q。求此半 导体片的左右两个侧面之间的电热差。 已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r 处 I 的磁感应强度的大小为 B=k ,式中 k 为已知常数。 r 五、 (25 分)如图所示,ACD 是由均匀细导线制成的边长为 d A B 的等边三角形线框,它以 AD 为转轴,在磁感应强度为 B 的恒定的匀 x P 强磁场中以恒定的角速度?转动(俯视为逆时针旋转) ,磁场方向与 d C AD 垂直。 已知三角形每条边的电阻都等于 R。 取图示线框平面转至与 磁场平行的时刻为 t=0。 D 1.求任意时刻 t 线框中的电流。 2.规定 A 点的电势为 0,求 t=0 时,三角形线框的 AC 边上任一点 P(到 A 点的距离 用 x 表示)的电势 UP,并画出 UP 与 x 之间关系的图线。 六、 (25 分)空间存在着垂直于纸面方向的均匀磁场,其方向随时间作周期性变化, 磁感应强度 B 随时间 t 变 B/T 图1 y/mm 图2 化的图线如图 1 所示,规 定 B>0 时, 磁场的方向穿 0.1 出纸面。现在磁场区域中 建立一与磁场方向垂直的 O 5 10 15 20 25 30 35 40 t/ms 平面直角坐标 Oxy, 如图 2 -0.1 所示, 一电荷量 q=5??10 -7 - O x/mm C、质量 m=5?10 10kg

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的带电粒子,位于原点 O 处,在 t=0 时刻以初速度 v0=? m/s 沿 x 轴正方向开始运动。不 计重力的作用不计磁场的变化右能产切其它影响。 1.试在图 2 中画出 0-20 ms 时间内粒子在磁场中运动的轨迹,并标出图 2 中纵横坐标 的标度值(评分时只按图评分,不要求写出公式或说明。 ) 2.在磁场变化 N 个(N 为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于 ______________。 七、 (25 分)如图所示,L 是一个焦距为 f 的薄凸透 L 镜(F 与 F’为其焦点) 。在透镜右侧焦点 F’处放置一曲率 半径大小为 R 的球面反射镜(其顶点位于 F’处) ,透镜和 F O F’ 球面镜组成一轴对称的光学系统。 在透镜 L 左侧光轴上有 限远处有一发光点 P, 它发出的傍轴光线经此光学系统后, 恰好成像在 P 点。试在下面第 1 和第 2 小题中填空,在第 3 小题中作图。 1. 若球面镜为凹面镜, P 点到透镜的距离等于_____________; 则 若球面镜为凸面镜, 则 P 点到透镜的距离等于_____________。 2.若将一短细杆垂直于光轴放置杆下端位于 P 点,则此细杆经上述光学系统所成的 最 后 的 像 的 大 小 与 物 的 大 小 之 比 对 凹 面 镜 等 于 _____________ ; 对 凸 面 镜 等 于 _____________。 3.若球面镜的半径大小 R=2f,试按作图法的规范要求,画出第 2 问中短杆对上述光 学系统逐次成的像及成像光路图。 (要求将凹面镜和凸面镜分别画在两张图上。评分时只按 图评分,不要求写出作图的理由和说明,但须用已知量标出各个像在光轴上的具体位置。 ) 八、 (25 分)如图所示,有一固定的、半径为 a、内壁光滑 的半球形碗(碗口处于水平位置) 为球心。碗内搁置一质量为 ,O O a C m、边长为 a 的等边三角形均匀薄板 ABC。板的顶点 A 位于碗内 a B a 最低点,碗的最低点处对 A 有某种约束使顶点 A 不能滑动(板只 a 能绕 A 点转动) 。 A 1.当三角形薄板达到平衡时,求出碗对顶点 A、B、C 的作 用力的大小各为多少。 2.当板处于上述平衡状态时,若解除对 A 点的约束,让它能在碗的内表面上从静止 开始自由滑动,求此后磔弄清有的最大动能。

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第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案
一.1、大爆炸 2、超新星,中子星,黑洞 3、核聚变 4、大潮时:日地月一直线,日月在地球同侧和异侧两种情况

小潮时:日地连线与月地连线垂直两种情况

5、0,4 L,L。 评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 3 分; 第 2 小题 6 分,每一空格 2 分; 第 3 小题 3 分; 第 4 小题 6 分,第一空格中画对一个图给 2 分,画对二个图给 3 分;第二空格中画对 一个图给 2 分,画对二个图给 3 分。 第 5 小题 7 分,第一空格 2 分,第二空格 3 分,第三空格 2 分。 二. 当光滑平板与水平面的倾角为 ? 时,无论小球 P 处在斜面上什么位置,它受的重力 在斜面上的投影总是垂直于 HH′,大小总是等于 mg sin ? 。以此作为重力的一个分力,则 重力的另一个分力即垂直于斜面的分力 mg cos ? 总是与斜面对小球 P 的支持力平衡。这 样,小球 P 在斜面内只受上述重力的分量 mg sin ? 和细绳拉力的作用。 当小球 P 运动到圆周的最高点时,细绳垂直于 HH′,绳的拉力与小球所受重力的分 量 mg sin ? 沿同一直线,这时只要细绳不松弛,小球就能保持在板面内作圆周运动,设小球 到达圆周最高点时的速度为 v ,绳的拉力为 T ,有 v2 T+mg sin ?=m l 由能量关系,有 1 1 mv02= mv2+mgl sin ? 2 2 (1) (2)

由(1)(2)式得 、

? v2 ? T ? m ? 0 ? 3g sin ? ? ? l ?
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(3)

细绳不松弛的条件是 由(3)(4)式得 、

T≥0

(4)
2 ? v0 ? ? ? 3lg ?

?≤arcsin ?

(5)

代入有关数据,得 当倾角

? ≤arcsin 6
?5? ? ?

5

(6)

? <0 时,经相同的分析可得
?≥- arcsin ? ? 6
(7)

由(6)(7)两式,可知 ? 的取值范围为 、

?5? ?5? - arcsin ? ? ≤? ≤ arcsin ? ? ?6? ?6?

(8)

评分标准:本题 25 分。 (1)式 7 分, (2)式 7 分, (4)式 5 分, (5)式或(6)式 3 分, (7)式 3 分。 三. 以 m 表示气缸内气体的质量, ? 表示其摩尔质量。当气体处在初始状态时,已知其压 强为 p0、体积为 V0。设其温度为 T0,由理想气体状态方程有 m P0V0= RT0

?

(1)

在过程 1 中,对气体加热时,活塞 S 位置固定不动,气体体积保持不变,气体对外不 做功。根据热力学第一定律有 m Q1= c(T1-T0)

?

(2)

式中 T1 为加热后气体的温度,根据题意,这时气体的压强为 p1,由理想气体状态方程可 知 m P1V0= RT1

?

(3)

由(1)(2)(3)式得 、 、 c Q1= V0(p1-p0) R (4)

在过程 2 中,对气体加热时,活塞要移动,气体的压强保持 p0 不变,体积由 V0 变为 V2, 气体对外做功。根据热力学第一定律,有 m Q2= c(T2-T0)+p0(V2-V0)

?

(5)

式中 T2 为加热后气体的温度。由理想气体状态方程可知 m P0V2= RT2

?

(6)

由(1)(5)(6)式,得 、 、 c+R Q2= p0(V2-V0) R 由(4)(7)式得 、 (7)

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V0(p1-p0) Q1 c = Q2 c+R p0(V2-V0)

(8)

评分标准:本题 25 分。 (1) 式 2 分, (2)式 7 分, (3)式 2 分, (5)式 7 分, (6)式 2 分, (8)式 5 分。 四、 1.两导线排的电流产生的磁场 考察导线排 M1M2 中的电流产生的磁场,取 x 轴与导线排 M1M2 重合,y 轴与导线 排 M1M2 垂直, 如图 1 所示。 位于 x 和 x+△x (△x 为小量) 之间的细导线可以看作是 “一 I ??x 的长直导线,它在 y 轴上 P 点产生的磁感应强度的大小为 根”通有电流 I??x ?B=k r

(1)

r 为 P 点到此直长导线的距离,△B 的方向与 r 垂直,与电流构成右手螺旋。 将 △B 分解成沿 x 方向和 y 方向的两个分量 △Bx 和 △By ,有

?Bx ? k

I ? ?x cos ? r I ??x ?B y ? k sin ? r

(2) (3)

根据对称性,位于 -x 到 -(x+△x)之间的细导线中电流产生的磁感应强度在 y 方向的 分量与 △By 大小相等、方向相反。可见整个导线排中所有电流产生的磁场杂 y 方向的合 磁场为 0。由图 1 可看出

?x cos ? ? ?? r
把(4)式代入(2)式得

(4)

?Bx ? kI ???
导线排上所有电流产生的磁感应强度

(5)

B ? ??Bx ? ?kI ???
注意到

(6)

? ?B ? ? ,得
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(7) 即每个导线排中所有电流产生的磁场是匀强磁场,磁场的方向分别与 M1M2 和 M3M4 导线 排平行。 如图 2 所示, 两导线排中电流产生的磁感应强度 B (M1M2) 与 B (M3M4) 成 120°, 它们的合磁场的磁感应强度的大小

B ? k?? I

B0 ? 2B cos60? ? k?? I
方向与 OO′平行,由 O 指向 O′。

(8)

2.半导体片两侧面间的电势差 当半导体片中通有均匀电流 I0 时,半导体片中的载流子作定向运动,N 型半导体的 载流子带负电荷,故其速度 v 的方向与 I0 方向相反,垂直纸面向里,且有

I 0 ? mqvS
式中 S 为半导体片横截面的面积

(9)

S ? ab ? l
载流子作定向运动时要受到磁场洛伦兹力 fB 的作用,其大小为

(10)

f B ? qvB0
右侧面带正电, 两侧面间出现电势差 U ? U

(11)

对带负电荷的载流子此力的方向指向左侧, 于是负电荷积聚在左侧面上, 从而左侧面带负电,


带负电荷的载流子受到静电力 fE 由 ? U左 。

左侧面指向右侧面,达到稳定时,fE 与 fB 平衡,即

fE ?

U q ? fB ab

(12)

由(8)(9)(10)(11)(12)各式得 、 、 、 、

U ?k

?? II 0 ? ql

(13)

评分标准:本题 25 分。 (7)式 8 分, (8)式 4 分, (9)式 3 分, (12)式 5 分, (13)式 5 分。 五、 1. 在线框转动过程中,三角形的 AC、CD 两边因切割磁感应线而产生感应电动势,

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题 第 7 页(共 3 页)

因长度为 d 的 AC 边和 CD 边都不与磁场方向垂直,每条边切割磁感应线的有效长度, 即垂直于磁场方向的长度为

l ? d sin 30? ?

1 d 2

(1)

因 AC 边上不同部分到转轴的距离不同, 它们的速度随离开转轴的距离的增大而线性增大, 故可认为 AC 边上各部分产生的总电动势, 数值上等同于整条 AC 边均以 AC 边中点处的 速度 v 运动时产生的电动势,而

1 3 v ? ? d cos 30? ? ?d 2 4

(2)

设在 t=0 至时刻 t ,三角形从平行于磁场方向的位置绕轴转过角度为 ? ,则 ? ? ?t (3) 因而边上各点速度的方向不再与磁场方向垂直, v 沿垂直磁场方向的分量

v? ? v cos?
由此得到 t 时刻 AC 边中的感应电动势

(4)

EAC ? Blv?
其方向由 A 指向 C ,由(1)(2)(3)(4)(5)各式得 、 、 、 、

(5)

EAC ?
同理可得

3 B? d 2 cos ? t 8

(6)

ECD ?

3 B? d 2 cos ? t 8

(7)

其方向由 C 指向 D ,三角形线框中的总电动势

E ?EAC+ECD ?

3 B? d 2 cos ?t 4

(8)

其方向沿 ACDA 回路方向,因线框中的总电阻为 3R ,故 t 时刻线框中的电流

i?

E 3 ? B? B 2 cos ? t 3R 12 R

(9)

2. 对于 AP 来说, 长度为 x , t=0 时刻,cos ? t ? 1 , 在 而以 x 代替 (6) 式中的 d , 即可得 AP 段中的感应电动势的大小

EAP ?

3 2 Bx ? 8

(10)

方向由 A 点指向 P 点。由(9)式,此时线框的电流

I?

3 B? d 2 12 R

(11)

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根据含源电路欧姆定律,P 点的电势

U P ?EAP ? I

R x d

(12)

把(10)(11)两式代入(12)式,经整理后得 、

UP ?

3 2 ? ? B? ? x2 ? xd ? 8 3 ? ?

(13)

为了画出 U P ( x) 图线,先求出若干特征点的电势值: (13)式右侧是一个关于 x 的二次方 程,故 U P ( x) 图线为一抛物线, (13)式可改写为

3 3 1 ? ? UP ? B? d 2 ? B? ? x ? d ? 72 8 3 ? ?
由(14)式可知,此抛物线 (ⅰ)x=0 和 x=

2

(14)

2 d UP=0 3

(ⅱ)抛物线的顶点坐标为

x?

d 3 ,UP ? ? B? d 2 3 72

图线如图所示。 评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 13 分。求得(6)或 (7)式 8 分, (8)式 2 分, (9)式 3 分。 第 2 小题 12 分。 (10)式 4 分, (13)式 4 分,图线正确给 4 分。 六、 1. 2 2 m/s。 评分标准:本题 25 分 1. 图线形状正确给 10 分。横坐标 标度正确给 5 分, 纵坐标标度正 确给 5 分。 2. 求得平均速度大小给 5 分。

七. 1.

f (R ? f ) f (R ? f ) ; R R

2. 1;1 3. 对凹面镜光路图如图 1 所示;

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题 第 9 页(共 3 页)

对凸面镜光路图如图 2 所示。

评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 10 分。每一空格 5 分。 第 2 小题 5 分。填对一个空格给 3 分,填对二个空格给 5 分。 第 3 小题 10 分。每图 5 分。 八、 解法一 1. 因 A 点位于半球形碗的最低点,等边三 角形薄板 的 BC 边一定沿水平方向。 作连线 OB 和 OC ,因 O 为半球形碗的球心,A、B、C 均 在球面上,故有

O A? O B O C ? ?
ABC 是等边三角形,

a

(1)

AB ? BC ? AC ? a

(2)

故 OABC 为正四面体,如图 1 所示。三角形薄板 所受的力有: (ⅰ)B、C 处碗面对板的作用力 NB 和 NC 均垂直于碗面,指向球心 O。又由对称 性可知, NB=NC (3) 它们的合力 NBC 沿∠COB 的角平分线 DO 方向,其大小为

NBC ? 2NB cos30? ? 3NB
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(4)

DO 的长度

DO ? OB cos 30? ?

3 a 2

(5)

(ⅱ)重力 FG 的大小 FG=mg 它作用于三角形 ABC 的重心 G 。G 位于 AD 上,与 A 的距离

(6)

AG ?

2 2 3 AD ? OD ? a 3 3 3

(7)

重力的方向与 OA 平行,该力位于 OAD 平面内,与 OD 相交。用 P 表示其交点,则

OP ? AG ?

3 a 3

(8)

(ⅲ) 设碗面在 A 点作用于薄板的约束力为 NA , (或 薄板 可看成刚性正四面体 OABC)在 NBC 、FG 和 NA 三力作用下 保持平衡,这三力应在同一平面内,且应共点,即 NA 应与 FG 和 NA 都在 OAD 平面内,且应通过 P 点,如图 2 所示。在三 角形 ODA 中

OD ? AD ?
设∠BOA=a ,则

3 a, ? a OA 2

∠ODA=π -2a 在三角形 ADO 中,由正弦定理,有

a 3a ? sin 2? 2sin ?
由此可得

cos ? ?

3 2 , sin ? ? 3 3

(9)

设∠OAP=β ,在三角形 OPA 中,由余弦定理得

AP ?
由正弦定理得

1 2 3 2 1 2 a ? a2 ? 2 a ? ? a 3 3 3 3

AP OP OA ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? )


第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题 第 11 页(共 3 页)

2 3 a a a 3 ? 3 ? sin ? sin ? sin(? ? ? )

(10)

FG 、NBC 和 NA 三力平衡,它们应形成封闭的三角形,如图 3 所示,由正弦定理得

N FG NA ? BC ? sin ? sin ? sin(? ? ? )
由(10)(11)式和(3)(4)(6)各式得 、 、 、

(11)

NA ?

mg sin ? 6 ? mg sin(? ? ? ) 3
1 1 mg s i ? n N BC ? ( 3 3 s i n? ? ? )

(12)

N B ? NC ?


(13)

1 N B ? N C ? mg 3
2. 解除对 A 点的约束后,A、B、C 三顶点将从静止开 始沿碗面滑动,根据对称性可知,薄板处于水平位置时重心 最低,从而重力势能最小。根据机械能守恒定律,此时薄板 的动能最大。此时薄板的重心将移至 O 点正下方的 G′点, 如图 4 所示。由几何关系并考虑到(7)式,G′相对碗最低 点的高度

(14)

? 2 2 2? h? ? a ? OG? ? a ? OA ? AG? ? ?1 ? ?a ? 3? ? ?

(15)

A 点被约束时薄板重心为 G 点,参阅图 1,可知 G 点相对碗最低点的高度

h ? AG cos ?DAO ? AG cos?
由(7)和(9)式可得

(16)

1 h? a 3

(17)

由(15)(17)两式可求得薄板从 A 点约束解除到处于水平状态过程中,其重心高度 、 减少量的最大值, 从而求出重力势能的减少量的最大值, 最后即求得薄板具有的最大动能为

EK ? mg (h ? h?) ?

6 ?2 mga 3

(18)

评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 20 分。 (4)式 2 分, (10)式 7 分, (11)式 7 分, (12)式 2 分, (14)式 2 分。 第 2 小题 5 分。 (15)式 1 分, (17)式 2 分, (18)式 2 分。

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题 第 12 页(共 3 页)

解法二 1. 当三角形薄板处于平衡状态时,根据对称性,

BC 必位于过 B、C 两点的水平圆面内,以 O′表
示此水平圆面的圆心,如图 1 所示。碗内壁球面的球 心为 O ,则 O′以及 A、O 三点必位于同一条竖 直线上。由于 B、C 与球面接触处都是光滑的,球面 对这两点的作用力都指向球面的球心 O ,令 NB 和 NC 分别表示这两个力的大小。由对称性可知 NB=NC (1) 因球面的半径等于等边三角形的边长,三角形 OAB 和 OBC 都是等边三角形 ∠AOB=∠BOC=θ =60° (2)

把 NB 分解成沿竖直方向的分量 N B? 和位于水平面内的分量 N B // ,则有

N B ? ? N B cos ? ? N B cos 60? ?

1 NB 2

(3)

N B // ? N B sin ? ? N B sin 60? ?
同理有

3 NB 2
1 NC 2

(4)

NC ? ? NC cos ? ? N C cos 60? ?

(5)

NC // ? NC sin ? ? NC sin 60? ?

3 NC 2

(6)

N B// 与 BO′平行, NC // 与 CO′平行,都平行于以 O′为圆心的水平圆面,可以把这
两个力移到圆心为 O′的水平圆面内,如图 2 所示。 N B // 和 NC // 的合力为 N // 。 球面底部作用于三角形薄板的力 NA 也可分解成沿竖直方向的分量 N A? 和位于水平 面内的分量 N A// 。当三角形薄板达到平衡时,有

N A// ? N// ? 2NB// cos?

(7) (8)

mg ? N A? ? NB? ? NC ? ? 0

由图 1 可知,圆心为 O′的水平圆面的半径 R 即线段 O?B 是等边三角形 OAB 的 高,故有

R ? a sin ? ? a sin 60? ?

3 a 2

(9)

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题 第 13 页(共 3 页)

由图 2 得

cos ? ?

O?D ? R

?a? R ?? ? 6 ? 2? ? R 3
2

2

(9)

由以上有关各式, 、 (7)(8)两式可写成

N A// ? 2NB
N A? ? mg ? N B

(11) (12)

当三角形薄板达到平衡时, 作用于三角形的各力对 BC 边的力矩总和等于零。NB,NC 通过 BC 边,对 BC 边无力矩作用,只有 N A// 、 N A? 和重力 mg 对 BC 边有力矩作用。平衡时有

a 1 N A// ? ? mg ? O?D ? N A? O?D ? 0 2 3
由(9)(10)式可知 、

(13)

O?D ? R

6 3 6 3 ? a? ? a 3 2 3 2

(14)

把(14)式代入(13)式,得

N A// ? 2 N A? ?
由(11)(12)和(15)及(1)式 、

2 mg 3

(15)

1 N B ? N C ? mg 3

(16)

N A// ?
N A? ?

2 mg 3
2mg 3

(17)

(18)

NA ?

6 mg 3

(19)

2. 当解除对 A 点的约束,A、B、C 三顶点将在球面内从静止开始滑动。根据对称性 可知,必有一时刻薄板处于水平位置,这时板的重心最低,重力势能最小,薄板具有的动能 最大,这动能来自薄板减少的重力势能。 在图 1 中三角形 ADO′为直角三角形,一条直角边 DO′位于水平位置,另一条直角 边 AO′位于竖直位置, 根据题意及几何关系可知, 三角形薄板的重心 G 位于斜边 AD 上, 离 A 点的距离为

2 AD 。重心 G 的高度 3 2 2 a 1 h ? AO? ? ? ? a 3 3 2 3
第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题 第 14 页(共 3 页)

(20)

当三角形薄板的三条边位于同一水平的圆面内时, 三 角形的重心 G′与其三边所在圆面的圆心重合, 如图 3 所 示。

BG? ?

2 2 ?a? 3 a ?? ? ? a 3 3 ?2?

2

2 2 3 6 OG? ? OB ? BG? ? a 2 ? a 2 ? a 9 3

这时,三角形薄板重心 G′的高度

h? ? a ?
薄板的最大动能

6 3? 6 a? a 3 3

(21)

EK ? mg (h ? h?) ?

6 ?2 mga 3

(22)

评分标准:本题 25 分。 第 1 小题 20 分。 (11)式 6 分, (12)式 6 分, (15)式 4 分, (16)式 2 分, (19)式 2 分。 第 2 小题 5 分。 (20)1 分, (21)式 2 分, (22)式 2 分。

第 24 届全国中学生物理竞赛预赛题 第 15 页(共 3 页)


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