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12.6离散型随机变量的均值与方差


§12.6

离散型随机变量的均值 与方差 自主学习

基础知识
要点梳理

1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 ? p2 ? xi ? xn pi ? pn

(1)均值

称 E(X)=x1p1+x2p2+…+

xipi+…+xnpn 为 随机变量 X 的均值或 数学期望 , 它反映了离 散型随机变量取值的 平均水平 (2)方差 称 D(X)= .

∑ =

n

i 1

(xi-E(X))2pi

为随机变量 X 的

方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X) 的 平均偏离程度 ,其算术平方根 D?X? 为 随机变量 X 的标准差.

2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aE(X)+b . (2)D(aX+b)= a2D(X) (a,b 为常数) , , 3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若 X 服从两点分布,则 E(X)= p D(X)= p(1-p) . (2)若 X~B(n,p),则 E(X)= D(X)= np(1-p) .
np

[难点正本

疑点清源]

1.对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广,是概率 意义下的平均. (2)E(X)是一个实数,由 X 的分布列唯一确 定,即 X 作为随机变量是可变的,而 E(X) 是不变的,它描述 X 值取值平均状态. (3)公式 E(X)=x1p1+x2p2+?+xnpn 直接给 出了 E(X)的求法,即随机变量取值与相应 概率值分别相乘后相加.由此可知,求出 随机变量的数学期望关键在于写出它的分 布列.

2.方差的意义 D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程 度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说 明 X 的取值越分散,反之 D(X)越小,X 的 取值越集中,由方差定义知,方差是建立 在期望这一概念之上的.在 E(X)附近,统 计中常用 D?X?来描述 X 的分散程度.

基础自测 1.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 0 1 a b c

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)的 3 5
1 ? ?a ? 6 1 ? ? ?-a+c= 3 1 ? ? ?b ? a+b+c=1 ? 3 ? 解析 由题意, 列方程组得 ? 2b=a+c , 解之得: 1. ? ? ?c ? 2 ? ? ? 1?2 1 ? 1?2 1 ? 1?2 1 5 ∴D(ξ)=?-1-3? × +?0-3? × +?1-3? × = . 6 ? 3 ? 2 9 ? ? ? ?

值是______. 9

2. (2010· 湖北)某射手射击所得环数 ξ 的分布列 如下: ξ P
0.4 ________.
解析 ∵E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y

7 x

8

9

10 y

0.1 0.3

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为

=7(0.6-y)+10y+3.5=7.7+3y, ∴7.7+3y =8.9,∴y=0.4.

3.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品 从中有放回地任取 3 件,若 X 表示取到次 品的次数,则
解析
9 D(X)=________. 16

? 1? ∵X~B?3,4?, ? ?

1 3 9 ∴D(X)=3× × = . 4 4 16

4.已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下,且 E(ξ)=6.3,则 a 的值为( C ) ξ P A.5 4 0.5 B.6 a 0.1 C.7 9 b D.8

解析

由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,

∴b=0.4. ∴E(ξ)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3. ∴a=7.

5.设随机变量 ξ~B(n,p),且 E(ξ)=1.6, D(ξ)=1.28,则( A ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45
解析 ∵ξ~B(n,p),∴E(ξ)=np=1.6,

? n=8, ? D(ξ)=np(1-p)=1.28,∴ ? p=0.2.

题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 例 1(2010· 福建)设 S 是不等式 x2-x-6≤0 的解集, 整数 m,n∈S. (1)记“使得 m+n=0 成立的有序数组(m,n)” 为事件 A,试列举 A 包含的基本事件; (2)设 ξ=m2,求 ξ 的分布列及其均值 E(ξ).

思维启迪

(1)解不等式,求不等式的解集,确

定 m,n 的取值.(2)根据 m 的所有可能值,确 定 ξ 的所有可能值,求分布列和数学期望.



(1)由 x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,

即 S={x|-2≤x≤3}. 由于 m,n∈Z,m,n∈S 且 m+n=0,所以 A 包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1), (1,-1),(0,0). (2)由于 m 的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3, 所以 ξ=m2 的所有不同取值为 0,1,4,9, 1 2 1 2 且有 P(ξ=0)= , P(ξ=1)= = , P(ξ=4)= = 6 6 3 6 1 1 ,P(ξ=9)= . 3 6 ξ 0 1 4 9 故 ξ 的分布列为 1 1 1 1 P 6 3 3 6 1 1 1 1 19 所以 E(ξ)=0× +1× +4× +9× = . 6 3 3 6 6

探究提高

(1)求离散型随机变量的均值与方

差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随 机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进 行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征, 若属 二项分布的,可用二项分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.

变式训练 1 一个口袋中装有若干个大小相同的小球, 分 别编有 1 个 1 号, 个 2 号, 个 3 号和 n 个 4 号. 2 m 已 知从口袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个 4 号球 2 的概率是 .若口袋中共有 10 个球. 3 (1)求 4 号球的个数; (2)从口袋中任意摸出 2 个球,记摸出小球的编号数 之和为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和均值 E(ξ).



(1)从口袋中任意摸出 2 个球没有 4 号球的概率为 C2 -n 1 10 P0= 2 = ,解之得,n=4.故 4 号球的个数为 4. C10 3

(2)由题可知 3 号球有 3 个.由题意知,ξ=3,4,5,6,7,8. 1 1 C2+C3 4 C2 2 2 P(ξ=3)= 2 = ;P(ξ=4)= = ; C10 45 C2 45 10 C1C1+C1 10 2 3 2 4 P(ξ=5)= = = ; C2 45 9 10 1 C2+C2C1 11 3 4 P(ξ=6)= = ; 2 C10 45 C1C1 12 4 C2 6 2 3 4 4 P(ξ=7)= 2 = = ;P(ξ=8)= 2 = = .∴随机变 C10 45 15 C10 45 15 量 ξ 的分布列为: ξ 3 4 5 6 7 8 2 4 2 11 4 2 P 45 45 9 45 15 15 2 4 2 11 4 2 ∴E(ξ)=3× +4× +5× +6× +7× +8× =6. 45 45 9 45 15 15

题型二

均值与方差性质的应用

1 例 2 设随机变量 ξ 具有分布 P(ξ=k)= , k= 5 1,2,3,4,5, E(ξ+2)2, 求 D(2ξ-1), D?ξ-1?.
思维启迪 利用性质 E(aξ+b)=aE(ξ)+b,

D(aξ+b)=a2D(ξ).



1 1 1 1 1 ∵E(ξ)=1× +2× +3× +4× +5× 5 5 5 5 5

15 = =3. 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 E(ξ )=1× +2 × +3 × +4 × +5 × =11. 5 5 5 5 5 1 1 1 2 2 2 D(ξ)=(1-3) × +(2-3) × +(3-3) × + 5 5 5 1 1 1 2 2 (4-3) × +(5-3) × = ×(4+1+0+1+4)=2. 5 5 5
2

∴E(ξ+2)2=E(ξ2+4ξ+4) =E(ξ2)+4E(ξ)+4=11+12+4=27. D(2ξ-1)=4D(ξ)=8, D?ξ-1?= D?ξ?= 2.

探究提高

ξ 是随机变量,则 η=f(ξ)一般仍是

随机变量,在求 η 的均值和方差时,熟练应用 均值和方差的性质,可以避免再求 η 的分布列 带来的繁琐运算.

变式训练 2 袋中有 20 个大小相同的球, 其中 记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n =1,2,3,4). 现从袋中任取一球,ξ 表示所取 球的标号. (1)求 ξ 的分布列、均值和方差; (2)若 η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值.



(1)ξ 的分布列为

ξ 0 1 2 3 4 1 1 1 3 1 P 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =1.5. 2 20 10 20 5 1 1 1 D(ξ)=(0-1.5)2× +(1-1.5)2× +(2-1.5)2× + 2 20 10 3 1 2 2 (3-1.5) × +(4-1.5) × =2.75. 20 5 (2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(η)=aE(ξ)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ?a=2, ?a=-2, ? ? ? ∴ 或? 即为所求. ?b=-2, ?b=4. ? ?

题型三 例3

均值与方差的实际应用

现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资 10 万元,

一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概 1 1 1 率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的 6 2 3 调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是 p(0<p<1),设乙项目产品价格在一年内进行两次独 立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数 为 X,对乙项目每投资 10 万元,X 取 0、1、2 时, 一年后相应利润是 1.3 万元、 1.25 万元、 万元. 0.2 随 机变量 X1、X2 分别表示对甲、乙两项目各投资 10 万元一年后的利润. (1)求 X1,X2 的概率分布列和均值 E(X1),E(X2); (2)当 E(X1)<E(X2)时,求 p 的取值范围.

思维启迪

(1)求分布列,应先确定 X 的取值,

再求 X 的取值对应的概率; (2)由 E(X1)<E(X2),找出关于 p 的不等式,即 可求出 p 的范围.
解 (1)X1 的概率分布列为 X1 1.2 1 6

1.18 1.17 1 1 P 2 3 1 1 1 E(X1)=1.2× +1.18× +1.17× =1.18. 6 2 3

由题设得 X~B(2,p),即 X 的概率分布列为 X P X2 P 0 1 2 (1-p)2 2p(1-p) p2 1.3 1.25 0.2

故 X2 的概率分布列为 (1-p)2 2p(1-p) p2

所 以 E(X2) = 1.3×(1 - p)2 + 1.25×2p(1 - p) + 0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2 =-p2-0.1p+1.3. (2)由 E(X1)<E(X2),得-p2-0.1p+1.3>1.18, 整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4<p<0.3. 因为 0<p<1,所以当 E(X1)<E(X2)时, p 的取值范围是 0<p<0.3.

探究提高 事件.

(1)解决实际应用问题时, 关键是正

确理解随机变量取每一个值时所表示的具体

(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平 均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程 度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是 生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据, 一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决 定.

变式训练 3

某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖

活动,现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数 字 1 000、800、600、0 的四个球(球的大小相 同).参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即 放回),公司即赠送与此球上所标数字等额的 奖金(元),并规定摸到标有数字 0 的球时可以 再摸一次,但是所得奖金减半(若再摸到标有 数字 0 的球,则没有第三次摸球机会),求一 个参与抽奖活动的人可得奖金的均值.

解 设 ξ 表示摸球后所得的奖金数,由于参与者摸取的球上 标有数字 1 000,800,600,0, 当摸到球上标有数字 0 时, 可以再 摸一次,但奖金减半,即分别为 500,400,300,0.则 ξ 的所有可 能取值为 1 000,800,600,500,400,300,0. 1 依题意得 P(ξ=1 000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)= , 4 1 P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)= , 16 则 ξ 的分布列为 500 400 300 0 1 1 1 1 P 16 16 16 16 1 1 所以所求的期望为 E(ξ)= ×(1 000+800+600)+ ×(500+ 4 16 400+300+0)=675(元). 即一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望是 675 元. ξ 1 000 1 4 800 1 4 600 1 4

答题模板 15.离散型随机变量的均值与方差问题 试题:(12 分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球, 已知甲袋中共有 m 个球,乙袋中共有 2m 个球,从甲袋中 2 摸出 1 个球为红球的概率为 , 从乙袋中摸出 1 个球为红球 5 的概率为 P2. (1)若 m=10,求甲袋中红球的个数; (2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出 1 个红球 1 的概率是 ,求 P2 的值; 3 1 (3)设 P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次 5 摸出 1 个球,并且从甲袋中摸 1 次,从乙袋中摸 2 次.设 ξ 表示摸出红球的总次数,求 ξ 的分布列和均值.

审题视角

(1)概率的应用,知甲袋中总球数为

10,和摸 1 个为红球的概率,求红球.(2)利用方 程的思想,列方程求解.(3)求分布列和均值,关 键是求 ξ 的所有可能值及每个值所对应的概率.

规范解答 解 (1)设甲袋中红球的个数为 x, 2 依题意得 x=10× =4. 5 2 m+2mP2 5 1 3 (2)由已知,得 = ,解得 P2= . 3m 3 10 (3)ξ 的所有可能值为:0,1,2,3. 3 4 4 48 P(ξ=0)= × × = , 5 5 5 125 2 4 4 3 1 4 56 P(ξ=1)= × × + ×C1× × = , 2 5 5 5 5 5 5 125 2 1 4 3 ?1?2 19 1 P(ξ=2)= ×C2× × + ×?5? = , 5 5 5 5 ? ? 125 2 ?1?2 2 P(ξ=3)= ×?5? = . 5 ? ? 125 所以 ξ 的分布列为 0 1 2 3 48 56 19 2 P 125 125 125 125 48 56 19 2 4 所以 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 125 125 125 125 5 ξ

[2 分] [4 分]

[12 分]

答题模板 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般 步骤: 第一步:确定随机变量的所有可能值. 第二步:求每一个可能值所对应的概率. 第三步:列出离散型随机变量的分布列. 第四步:求均值和方差. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答 题规范.

批阅笔记 (1)本题重点考查了概率、 离散型随 机变量的分布列、均值.(2)本题解答中的典型 错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3) 问中,不明确写出 ξ 的所有可能值,不逐个求 概率,这都属于解答不规范.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.均值与方差的常用性质.掌握下述有关性质,会给 解题带来方便: (1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b; E(ξ+η)=E(ξ)+E(η); D(aξ+b)=a2D(ξ); (2)若 ξ~B(n,p),则 E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).

2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方 差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量 ξ 的期均值、方差,求 ξ 的线性函数 η=aξ+b 的均值、方差和标准 差,可直接用 ξ 的均值、方差的性质求解; (3)如能分析所给随机变量是服从常用的分 布(如两点分布、二项分布等),可直接利用 它们的均值、方差公式求解.

失误与防范 1.在没有准确判断概率分布列模型之前不能 乱套公式. 2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体 分析,一般要将问题中的随机变量设出来, 再进行分析,求出随机变量的概率分布列, 然后按定义计算出随机变量的均值、方差 或标准差.

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