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全国高中数学联合竞赛2000年题及答案


2000 年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案
(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A ={x| x ? 2 ≤0},B ={x|10 x (A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} 2.设 sin? >0,cos? <0, 且 sin (A)(2k ?+
2

>
?2

= 10 x }, 则 A ? B 是( (D) ?

)

?
3

>cos

? ? ,2k ?+ ), k ?Z 3 6 5? 5? (C)(2k ?+ ,2k ?+ ?), k ?Z (D)(2k ?+ ? ,2k ?+ ? ) ? (2k ?+ ,2k ?+ ?), k ?Z 4 3 6 6 3.已知点 A 为双曲线 x2 ?y2 =1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三 角形,则△ABC 的面积是( )
3 3 3 (B) (C)3 3 (D)6 3 3 2 4.给定正数 p, q, a, b, c,其中 p?q,若 p, a,q 是等比数列,p, b, c, q 是等差数列,则一元二次方程 bx2 ?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y ? x ? 的距离中的最小值是( ) 3 5

的取值范围是( ) 3 2k? ? 2k? ? (B)( + , + ),k ?Z 3 6 3 3

?

3

,则

?

(A)

(A)

34 170

(B)

34 85

(C)

1 20

(D)

1 30
)

6.设 ? ? cos

?

5 5 (A)x4 +x3 +x2 +x+1=0 (C) x4 ?x3?x2 +x+1=0

? i sin

?

,则以?, ?3 , ?7 , ?9 为根的方程是( (B) x4 ?x3 +x2?x+1=0 (D) x4 +x3 +x2?x?1=0

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000?)=__________. 8.设 an 是(3? x ) n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4, …),则 lim(
n??

3 2 33 3n ? ??? )=________. a 2 a3 an

9.等比数列 a+log2 3, a+log4 3, a+log8 3 的公比是____________. x2 y2 10.在椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)中,记左焦点为 F ,右顶点为 A ,短轴上方的端点为 B. 若该 a b
5 ?1 ,则∠ABF =_________. 2 11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 12.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b, b?c, c?d, d?a; (3)a 是 a, b, c, d 中的最小值,

椭圆的离心率是

那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 13.设 Sn =1+2+3+…+n, n?N,求 f (n)= 的最大值. (n ? 32) S n?1

1 13 14.若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a, b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a, b]. 2 2

15.已知 C0 :x +y =1 和 C1 :

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)。试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 a2 b2 上任意一点 P ,均存在以 P 为项点,与 C0 外切, 与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结 论。
2 2


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