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省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 三角函数的图象和性质(含解析)


高考数学百大经典例题——三 角函数的图象 和性质

解:在单位圆中,作出锐角α 在正弦线 MP,如图 2-9 所示

在△MPO 中,MP+OM>OP=1 即 MP+OM>1 ∴sinα +cosα >1

于 P1,P2 两点,过 P1,P2 分别作 P1M1⊥x 轴,P2M2⊥x 轴,垂足分

k

∈Z}

【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题, 借助单位圆求解不等式的一般方法是: ①用边界值定出角的终边位置; ②根据不等式定出角的范围; ③在[0, 2π ]中找出角的代表; ④求交集,找单位圆中重叠的部分;⑤写出角的范围的 表达式,注意加周期. 【例 3】 求下列函数的定义域:

1

解:(1)为使函数有意义,需满足 2sin2x+cosx-1≥0

由单位圆,如图 2-12 所示

k∈Z} 【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合” ,借助于数轴画线求交集 的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可以利用 “数形结合” ,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完 成.

(4)为使函数有意义, 需满足:

取 k=0 和-1 时,得交集为-4<x≤-π 或 0≤x≤π
2

∴函数的定义域为(-4,-π ]∪[0,π ] 【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质, 如在转化为不等式或不 等式组后要注意三角函数的符号及单调性, 在进行三角函数的变形时, 要注意三角函数的每 一步变形都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围. 【例 4】 求下列函数的值域:

∴此函数的值域为{y|0≤y<1}

∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1

【说明】 求三角函数的值域, 除正确运用必要的变换外, 还要注意函数的概念的指导作用, 注意利用正、余弦函数的有界性. 【例 5】 判断下列函数的奇偶性:

【分析】 先确定函数的定义域,然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性.

3

∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)

(2)函数的定义域为 R,且 f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x) ∴函数 f(x)=sin(cosx)是偶函数. (3)因 1+sinx≠0,∴sinx≠-1,函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠2k

既不是奇函数,也不是偶函数. 【例 6】 求下列函数的最小正周期:

【分析】 欲求三角函数的周期,一般是把三角函数 f(x)化成易求周期的函数 y=Asin(ω x+?)+b 或 y=Acos(ω x+?)+b 的等形式.函数 y=Asin(ω

“多个化一个,高次化一次” ,将所给函数化成单角单函数.

(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x

=|cosx|+|sinx|=f(x)

正周期.

4

(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立.特别当 x=0 时,有|sinT|+|cosT|=sinT

【例 8】 求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值的 x 的集合.

∴使 y 取得最大值的 x 的集合为{x|x=(2kπ +1) π ,k∈Z}

∴使 y 取得最小值的 x 的集合为{x|x=2kπ ,k∈Z}

当 cosx=1,即 x=2kπ (k∈Z)时,y 取得最大值 3.

【说明】 求三角函数的最值的类型与方法: 1.形如 y=asinx+b 或 y=acosx+b,可根据 sinx,cosx 的有界性来求最值; 2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bcosx+c 看成是关于 sinx 或 cosx 的二次函数,变 为 y=a(sinx+m)2+k 或 y=a(cosx+m)2+k,但要注意它与二次函数求最值的区别,此时|sinx| ≤1,|cosx|≤1

【例 9】 求下列函数的单调区间:

【分析】 复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的.

5

(2)函数 y=sin2x-2sinx+2,是由 y=u2-2u+2 及 u=sinx 及复合而 成,∴|u|≤1

【例 10】 当 a≥0,求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值,及相应的 x 的取 值.

6

【分析】 本题对 f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系,从而断定 f(x)解析式中的平方关系,另外本题含字母系数,要分 清常数和变量,还要有对字母 a 作 分类讨论的准备. 解:f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

由于 a 是常数,故这里只要求 y=(sinx+cosx+a)2 的最大值、最小值.合

物线的图象如图 2-14 所示两种可能.

7

【说明】 象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质, 常常要运用分类讨论的思想, 其中为什么要分类,怎么分类和讨论是两个基本问题. 【例 11】 函数 f(x)=Asin(ω x+?)的图象如图 2-15,试依图指出

(1)f(x)的最小正周期; (2)使 f(x)=0 的 x 的取值集合; (3)使 f(x)<0 的 x 的取值集合; (4)f(x)的单调递增区间和递减区间; (5)求使 f(x)取最小值的 x 的集合; (6)图象的对称轴方程; (7)图象的对称中心. 【分析】 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结合思想的体现, 它根据 f(x)=Asin(ω x+?)的图象与函数 y=sinx 的图象的关系得出.

注:得出函数 f(x)的最小正周期之后,研究 f(x)的其他性质,总是先在包含锐 角在内的一 个周期中研究,再延伸到整个定义域中.

8

注:实际上 f(x)图象的对称轴方程为 x=x0,而其中 x0 使 f(x0)=1 或 f(x0)=-1

注:f(x)的图象的对称中心为(x0,0),其中 x0 使 f(x0)=0 【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题, 其中有两点要注意反思: ①周期性在研究中的化简作用,②三角函数的“多对一”性. 【例 12】 求如图 2-16 所示的函数解析式.(ω >0,θ ∈[0,2π ]) 【分析】 由图象确定函数的解析式,就要观察图象的特性,形状位置和所给的条件.通过 判断、分析和计算确定 A,ω 、θ 得到函数的解析式.

【例 13】 设 y=Asin(ω x+?)(A>0,ω >0,|?|<π )最高点 D 的

标为(6,0),(1)求 A、ω 、? 的值;(2)求出该函数的频率,初相和 单调区间.

9

y 单调递增故递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z

y 单调递减故递减区间为[16k+2,16k+10],k∈Z

A.sinθ <cosθ B.cosθ <sinθ C.sinθ <ctgθ D.cosθ <ctgθ 解一(直接法):

<ctgθ <ctgθ <cosθ <sinθ

故选 A. 解二(图解法): 作出三角函数线,如图 2-17

MP=sinθ ,OM=cosθ ,BS=ctgθ
10

通过观察和度量得 MP<OM<BS 从而有 sinθ <cosθ <ctgθ ∴应选 A

∴cosθ >sinθ 从而可剔除 B、D. 再由 sinθ <ctgθ ,故可剔除 C 故选 A 解四(特殊值法):

B、C、D,应选 A. 【说明】 此例题用多种方法求解选项,指出 3 种选择题的技巧.

∴应选 D

x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与 x 轴交点中最

的图象. ∴选 D 【说明】 y=Asin(ω x+?)(A>0,ω >0)x∈R 的图象可由 y=sinx 的图象经下列各种顺序变 换得到的. (1)先平移,后伸缩: ①把 y=sinx 的图象向左(?>0)或向右(?<0)沿 x 轴方向平移|?|个单位;(相位变换)

(周期变换) ③把所有各点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍 ,横坐标不变(振幅变换)

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(2)先伸缩,后平移 ①把 y=sinx 图象上各点的横坐标缩短(ω >1)或伸长(0 <ω <1)到原

(相位变换) ③把所有各点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来 的 A 倍横坐标不变(振幅变换)

再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的 4 倍,则所得的图象的解析式 是 [ ]

∴选 A. 【例 17】 方程 sin2x=sinx 在区间(0,2π )内解的个数是 [ ]

A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】 本题有两类解法 (1)求出方程在(0,2π )内的所有解,再数其解的个数.而决定选项,对于选择题,此法一 般不用. (2)在同一坐标系中作出函数 y=sin2x 和 y=sinx 的图象,如图 2-18 所示.

它们在(0,2π )内交点个数,即为所求方程解的个数,从而应选 C.
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它体现了数、形的结合. 【例 18】 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数,且 f(1)=2,则 f(5)=____ 解:∵f(x)是奇函数,且 f(1)=2,∴f(-1)=-2 又∵f(x)是周期为 3 的函数. ∴f(3+x)=f(x) ∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即 f(2)=-2 f(2+3)=f(2)=-2 即 f(5)=-2 【例 19】 有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩 形,即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,求这个内接矩形的最大面积. 【分析】 本题入手要解决好两个问题. (1)内接矩形的放置有两种情况,如图 2-19 所示,应该分别予以处理. (2)求最大值问题这里应构造函数,怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量.

解:如图 2-19(1)设∠FOA=θ ,则 FG=Rsinθ

又设矩形 EFGH 的面积为 S,那么

又∵0°<θ <60°,故当 cos(2θ -60°)=1,即θ =30′时,

如图 2-19 (2),设∠FOA=θ ,则 EF=2Rsin(30°-θ ),在△OFG 中,∠OGF=150°

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设矩形的面积为 S. 那么 S=EFFG=4R2sinθ sin(30°-θ ) =2R2[cos(2θ -30°)-cos30°]

又∵0<θ <30°,故当 cos(2θ -30°)=1

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