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【金版学案】2013-2014学年度高中数学 3.3.1 几何概型及其概率计算同步辅导与检测课件 新人教A版必修3


概率

3 .3

几何概型

3.3.1几何概型及其概率计算

结合已学过两种随机事件发生的概率的方法,更 进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何 概型的定义与计算公式.

基础梳理 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件______,则 称这样的概率模型为__________简称为几何概型. 例如:判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型, 还是几何概型.

(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
(2)有一个时钟形转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当 指针指向数字12到数字6之间区域时,甲获胜,否则乙获胜, 求甲获胜的概率. 区域的长度(面积或体积)成比例 几何概率模型

例:(1)古典概型 (2)几何概型

2.在几何概型中,事件A概率计算公式为: P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?
构成事件A的区域长度?面积或体积?

3.几何概型的特点:在一个区域内_______,只与该区 域的_______有关.
4.几何概型与古典概型的区别:_________. 例如:一个人到单位的时间可能是8∶00至9∶00之间的 任何一个时刻;那么他8∶00到8∶20到的概率是:____.

3.均匀分布 大小 4.试验的结果不是有限个 1 例: 3

思考应用 1.课本就平面的情形给出了几何概型,除此之外, 几何概型还适用于哪些情形? 解析:几何概型还适用于直线或空间的情形,只 需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”.几 何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如 果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个 基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示, 而所有基本结果对应于一个区域Ω,这时,与试验有关 的问题即可利用几何概型来解决.

2.几何概型有哪些基本特征? 解析:几何概型的有两个基本特征:(1)无限性: 每次试验的结果有无穷多个,且全体结果可用一个有度 量的区域来表示;(2)等可能性:每次试验的各种结果是 等可能的.几何概型的试验中,事件A的概率只与子区 间域A的几何度量(长度、面积或体积)成比例,而与A的 位置和形状无关.

3.几何概型与古典概型有何区别?如何求得几 何概型中事件A发生的概率? 解析:古典概型具有有限性和等可能性,而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且仅与事 件的区域长度有关.几何概型的概率计算公式:

构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

自测自评 1.如下图所示将一圆四等分,向圆盘内随机撒两 粒小米,则两粒米都落在阴影部分的概率是( )

1 A. 4

1 解析:一粒落在阴影部分的概率为 , 2 1 两粒均落在阴影部分概率为 . 4 答案:A

1 B. 2

2 C. 4

D.0

2.如下图所示在500 mL的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,则发现 草履虫的概率( C )

A.0

B.0.002

C.0.004

D.1

3.在区间(1,3)内的所有实数中,随机取一个实数x, A 则这个实数是不等式2x-5<0的解的概率为(??)

4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如

下图),随机向正方形内丢一粒豆子,豆子落入

1 π 3. 4. 圆内的概率为 . 3 ________ 4

与长度、角度有关的几何概型

(1)如下图有两个转盘,转盘上每个扇形的面 积都相等,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向A区 域(阴影部分)时,甲获胜,否则乙获胜,在两种情形下 甲获胜的概率分别是多少?

(2)取一根长度为3米的绳子,拉直后在任意位置剪 断,求剪得两段的长都不小于1米的概率.

解析:(1)在玩转盘时,指针指向转盘上任一位置都 是随机的等可能的,也就是说试验的所有可能的结果(基 本事件)有无限多个,而且每个基本事件的发生都是等可 能的,因而甲获胜的概率只与字母A所在扇形区域的圆弧 的长度有关,而与字母A所在区域的位置无关,只要字母 A所在扇形区域的圆弧长度不变,不管这些区域是相邻还 是不相邻,甲获胜的概率都是不变的.
1 2 故在图(a)中,甲获胜的概率为 ,在图(b)中甲获胜的概率为 . 2 3

(2)从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪 断位置有无穷多点,则基本事件有无限多个,而且每一 个基本事件都是等可能的,因此事件发生的概率只与剪 断的绳子的长度有关. 设事件A=“剪成两段的长都不小于1米”,把绳子 三等分,当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生而中 间一段长度μA=1,又μΩ=3,故 P(A)= A = . μ 3
Ω

μ

1

跟踪训练 1.公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过,乘客到达 汽车站的任一时刻是等可能的,求乘客候车不超过3 min的 概率. 分析:时间是连续型的,是无限的,在题设条件下 这是几何概型,问题是Ω和A各是什么? 解析:设A=“候车时间不超过3 min”.x表示乘客来 到车站的时刻,那么每一个试验结果可表示为x,假定乘 客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t,据题意,乘 客必然在(t-5,t]内来到车站,故Ω={x|t-5<x≤t},欲乘 客候车时间不超过3 min,必有t-3≤x≤t,所以A={x|t- 3≤x≤t},

A的度量 3 所以 P(A)= = =0.6. Ω的度量 5 答:乘客候车时间不超过 3 min 的概率为 0.6.

点评:几何概型应用广泛,其难点是确定几何 度量.本例中,设定乘客到站后开来一辆公共汽车 的时刻t后,就容易写出Ω、A,这里设“t”是关键.

与面积有关的几何概型 如右下图在墙上挂着一块边长为16 cm的正方 形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m远向此板投镖.设投镖击 中线上或没有击中木板时都不算,可重投,问:

(1)投中大圆内的概率是多少?
(2)投中小圆与中圆形成的圆环 的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

解析:投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中 不算)都是一个基本事件,这一点可以是正方形木板上任意 一点,因而基本事件有无限多个,且每个基本事件发生的 可能性都相等.所以,投中某一部分的概率只与这部分的 几何度量(面积)有关,这符合几何概型的条件. 设事件A=“投中大圆内”;B=“投中小圆与中圆 形成的圆环;”C=“投中大圆之外”. μΩ=S正方形=162=256 cm2 μA=S大圆=π×62=36π cm2 μB=S中圆-S小圆=π×42-π×22=12π cm2 μC=S正方形-S大圆=256-36π(cm2)

由几何概率公式得: μA 36π 9π (1)P(A)= = = ; μΩ 256 64 μB 12π 3π (2)P(B)= = = ; μΩ 256 64 μC 256-36π 9π (3)P(C)= = =1- . μΩ 256 64

跟踪训练 2.如下图所示,在半径为1的半圆内,放置一个边 长为0.5的正方形ABCD,向半圆内任投一点,求该点落在 正方形内的概率.

解析:设事件 A=“点落在正方形内”. 1?2 1 1 2 π ? μA= 2 = ;μΩ= πR = 2 2 ? ? 4 1 μA 4 1 P(A)= = = . μΩ π 2π 2

与体积有关的几何概型 在1 L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的 种子,从中随机取出10 mL,含有小麦锈病种子的概率 是多少? 解析:由于带锈病的种子在1 L小麦种子中的位置 是随机的,所以随机取出10 mL时,取到带锈病种子的 概率只与所取种子样品的体积有关,这符合几何概型的 条件.

设事件A=“取出的10 mL麦种含有带小麦锈病的 种子”.μA=10(mL),μΩ=1(L)=1000(mL),
μA 10 故 P(A)= = =0.01. μΩ 1000

跟踪训练

3.有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小 杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的 概率.
分析:这个细菌所在的位置有无限个,属于几何 概型. 解析:判断这个细菌所在的位置看成一次试验, 设小水杯中含有这个细菌为事件A,则事件A构成的区 域体积是0.1 L,全部试验结果构成的区域体积是2 L, 所以P(A)==0.05. 0.1 所以 P(A)= =0.05. 2

点评:如果试验的结果所构成的区域的几何度量 能转化为几何体的体积,这种概率称为体积型的几何 概型,则可按下列公式来计算其概率:

构成事件A的区域体积 P(A)= . 全部试验结果构成的区域体积

转化为几何概型的概率问题 已知函数f(x)=ax2-2bx+a(a,b∈R) (1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合 {0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等 实根的概率; (2)若b从区间[0,2]中任取一个数,a从区间[0,3]中任 取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.

解析:(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集 {0,1,2,3}中任取一个元素a,b取值的情况是:(0,0),(0,1), (0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3). 其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即 基本事件总数为16.

设“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A,当 a≥0,b≥0时,方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为 b>a且a不等于零. 当b>a时,a,b取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即A包 含的基本事件数为3,
3 ∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率 P(A)=16.

(2)∵b从区间[0,2]中任取一个数,a从区间[0,3]中任取 一个数,

则试验的全部结果构成区域{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}
这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6. 设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构 成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a>b}其面积 1 SM=6- ×2×2=4. 2 由几何概型的概率计算公式可得:方程f(x)=0没有实 SM 4 2 根的概率 P(B)= = = .
SΩ 6 3

跟踪训练 4.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚 半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一 条平行线相碰的概率. 解析:把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记 为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O向靠得最 近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图所示,这样线段 OM长度(记作OM)的取值范围就是[0,a],只有当r< OM≤a时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A的概率就 是 P(A)=?r,a]的长度 =a-r.
[0,a?的长度 a

1.在古典概型中利用等可能性的概念,成功地解决了 某一类问题的概率.不过,古典概型要求可能结果的总数必 须有限. 我们希望能把这种做法推广到无限多结果而又有某 种等可能性的场合,得到随机事件的概率,这便是几何概型 所能解决的问题. 对于一个随机试验,如果我们将每个基本事件理解为 从某特定的几何区域内随机地取一点,则这个区域就是基本 事件空间对应的区域,如果该区域内的每一个点被取到的机 会都一样,而事件A的发生则可以理解为恰好取上述区域内 的某个指定区域内的点,这里的区域可以是线段,也可以是 平面图形、立体图形,这样我们就把随机事件与几何区域联 系在一起了.

如右图,事件A理解为区域Ω

的某一子区域A,事件A的概率只
与子区域A的几何度量(长度、面 积与体积)成正比.而与A的位置 和形状无关,满足上述条件的试 验称为几何概型.

2.几何概型作为一种概率模型有两个特点:无限性 和等可能性.几何概型求解的概率问题和古典概型的思路 是相同的,都属于“比例算法”,即随机事件A的概率可 以用“事件A所包含的基本事件所占的图形的长度(面积或 体积)”与试验的基本事件空间所占的总长度(面积或体积)的 比来表示.它的特征是在一区域内均匀分布,其概率只与 区域的大小有关,而与区域的位置与形状无关,如果随机 事件所在区域是一个点,由于单点的长度、面积、体积都 是0,则它发生的概率为0,但它不是不可能事件;如果随 机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它发生的概 率为1,但它不是必然事件,这是几何概型与古典概型的 重要区别.

我们在解决几何概率问题时和古典概型的基本思路、 步骤是一致的,计算方法上主要搞清: (1)与长度有关的几何概型. (2)与面积有关的几何概型. (3)与体积有关的几何概型.

3.计算几何概率就要先计算基本事件空间与事件A所 包含的基本事件对应区域的几何度量(长度、面积或体积), 而这往往遇到计算困难,这是本节难点之一.实际上本节 的重点不在于计算,而在于如何利用几何概型,把问题转 化为各种几何概率问题,为此可考虑应用如下方法:

(1)适当选择观察角度; (2)把基本事件空间转化为与之对应的区域; (3)把事件A转化为与之对应的区域; (4)如果事件A对应的区域不好处理,可以用对立事件 概率公式逆向思维; (5)利用概率公式计算. 同时要注意判断基本事件的等可能性,这需要严谨 思维,切忌想当然,需要从问题的实际背景中去判断.


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