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22、数列的基本概念


22.数列的概念 一、知识梳理: 1、 按照一定次序排列的一列数称为 , 数列中的每一个数叫做这个数列的 。 ,

数列的一般形式可以写成 a1 , a2 ,?, an ,? ,简记为

2、一般地,如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式叫做这个数列的 。 3、数列按项数可以分为:有穷数列:项数有限;无穷数列:项数无限。 4、数列的表示方法有 , , 。 5、数列的前 n 项和通常用 S n 表示,即: S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,它与通项 an 之间满足如下 的基本关系式: 二、基础练习: 1.数列 ?an ? 中, an ?1 ? 。

an , a1 ? 2 ,则 a4 ? 3an ? 1



2. 数列 ?an ? 中,a1 ? 1 , 对任意的 n ? N ? , n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n2 , a3 ? a5 ? 则 3.数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ? 3? 2n ? 3 ,则通项 an ? 4.数列 ?an ? 的通项 an ? ?2n2 ? 29n ? 3 ,则 an 的最大值是 。 。



5.定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这 个数列叫做等和数列,这个常数叫公和。已知数列 ?an ? 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5, 则这个数列的前 21 项和 S21 是 。

6.根据下面各数列的前几项的值,写出它的一个通项公式: (1) ?1, 7, ?13,19,? (3) ; (2) 7,77,777,7777,? ; (4) 2,0, 2,0,? 。 ; ;

2 4 6 8 , , , ? 3 15 35 63

(5) 1,3, 6,10,15,? 三、典型例题:

例 1.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? n ? 30 (1)60 是这个数列的第几项?(2) n 为何值时 an ? 0? an ? 0? an ? 0? (3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最大值?说明理由。

例 2.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? ? (n ? N ? ) 。 (1) 判断数列 ?an ? 的单调性; (2)是否存在最小的正整数 k ,使得数列 ?an ? 中的任意一 项均小于 k ?请说明理由。

?4? ?5?

n

例 3.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, 2Sn ? (n ? 1)an (n ? N ? ) 。 (1) 求 a2 , a3 , a4 的值; (2)写出从 an ?1 到 an 的递推公式; (3)求数列 ?an ? 的通项公式。

?an ? c, an ? 3 ? 例 4.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ?1 ? ? a 。 n ? d , an ? 3 ?
(1) 当 a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 当 0 ? a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,试用 a1 表示数列 ?an ? 的前 100 项之和 S100 。

四、课后作业: 1.数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ? 2n (n ? N ? ) ,则 an ? 2.若数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ? log3 (n ? 1) ,则 a5 ? 3.已知 an ? 是 。 。

3 (n ? N ? ) ,记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则使 Sn ? 0 的 n 的最小值 2n ? 11
。 。

a1 (3n ? 1) 4.设数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ? ,且 a4 ? 54 ,则 a1 ? 2
5.已知数列 ?an ? 满足: an ? an?1 , an ? n2 ? ?n ,则 ? 的最小值为



n?1 6.将数列 3 按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1),(3,9),(27,81, 243),?, 则第

? ?

100 组中的第 1 个数是 7. 已知 an ? 和第

。 项

n ? 62 则在数列 ?an ? 的前 50 项中最小项和最大项分别是第 (n ? N ? ) , n ? 63
项。

8 . 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 则 通 项

an ?



9.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 增减性。

n2 。 (1) 0.98 是不是它的项; (2)判断此数列的 n2 ? 1

10.数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? cn(n ? N ?)( c 是常数) ,且 a1 , a2 , a3 成公比不为 1 的 等比数列。 (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式。

11.数列 ?an ? 前 n 项和 Sn 分别满足下列关系,求 an 。

(1) Sn ? 3n ? 2;(2)

an ? 2 ? 2 Sn (an ? 0);(3) Sn ? 2an ? ( ?1) n . 2


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