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1-15.极限的应用---函数的渐近线


模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 知识内容 2、渐近线的分类; 3、渐近线的求解方法。 能力目标 时间分配 修订 函数与极限 极限的应用---函数的渐近线 无穷小与无穷大 教学要求 2、熟悉渐近线的类别及其特征; 3、掌握渐近线的求解。 二级模块名称 模块编号 模块编号 应用模块 1-15 1-10 掌握程度 简单应用

1、函数渐近线的建模

过程; 1、了解建模步骤,理解渐近线的建模过程;

1、培养学生应用数学分析问题和解决问题的能力 2、巩固运算能力 30 分钟 熊文婷 编撰 秦小娜 二审 校对 方玲玲 审核 危子青 危子青

一、正文编写思路及特点: 思路:预备知识—三类渐近线—渐近线的定义、建模过程及求法 —案例.学生对渐近线从不了解到掌握求解方法,是一个从无到有 的过程,充分融入了数学建模的思想,既能让学生了解简单的建 模,又能巩固对极限的运算能力. 特点:1、在构建渐近线的过程中,让学生了解简单的数学建模, 从而培养学生分析问题、解决问题的能力; 2、在学生掌握渐近线的求解方法时巩固运算能力。 二、授课部分 (一) 预备知识 1、 在自变量的某种趋势下, 以零为极限的变量 ? (x) 称为无穷小量, 简称无穷小. 2、在自变量的某种变化趋势下,若变量 ? (x) 的绝对值无限增大, 则称变量 ? (x) 为无穷大量. (二)三类渐近线
y y

x

x

图 1(函数 y ? 分析:

1 ) x

图 2(双曲线 x 2 ? y 2 ? 1)
1 的一条渐近线,呈 x

1.图 1 中,直线 y=0(即 x 轴)是曲线 y ? 水平状;

2.图 1 中,直线 x=0(即 y 轴)也是曲线 y ? 呈垂直状;

1 的一条渐近线, x

3.图 2 中, y ? x 和 y ? ? x 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的两条渐进线, 呈倾斜状. 小结:
1 的水平渐近线; x 1 2.直线 x=0 是曲线 y ? 的垂直渐近线; x

1.直线 y=0 是曲线 y ?

3. y ? x 和 y ? ? x 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的两条斜渐进线. (三)渐近线的定义、建模过程及求法 1、定义 如果曲线上的动点沿着曲线远离原点时,该点与某定直 线的距离趋于零,则称此定直线为曲线的渐近线.

(选讲)2、曲线的渐近线的构建过程(供老师参考) 第一步:模型假设、问题分析. ⑴ 斜率 k 存在的情况. 假设 y ? kx ? b 是曲线 y=f(x)当 x ? ? 时 的渐近线,等价于曲线上的点 P(x,f(x))到直线 y ? kx ? b ? 0 的 距离 d ?
f ( x) ? kx ? b 1? k 2

趋于零,即

lim
x ??

f ( x) ? kx ? b 1? k 2

?0.

⑵ 斜率 k 不存在的情况.即当 x ? x0 时,曲线 y=f(x)的取值会趋 于 ? ,即
x ? x0

lim y ? ? .

第二步:模型建立. ⑴ 斜 率 k 存 在 的 情 况 . 由 于 lim
x ??

f ( x) ? kx ? b 1? k 2

?0 等价于

lim[ f ( x) ? kx ? b] ? 0 ,
x??

从而有

lim

x ??

f ( x) ? kx ? b f ( x) ? lim[ ? k] ? 0 , x ?? x x



k ? lim
x ??

f ( x) , b ? lim[ f ( x) ? kx] . x?? x
x ? x0 y ??

⑵ 斜率 k 不存在的情况. lim y ? ? 等价于 lim x ? x0 , 从而有 x ? x0 为渐近线.
3、渐近线的求法 ⑴水平渐近线(即平行于 x 轴的渐近线) 如果 lim f ( x) ? A 或 lim f ( x) ? A ,则直线 y ? A 是曲线 y=f(x)的
x??? x???

水平渐近线. ⑵垂直渐近线(即垂直于 x 轴的渐近线) 如果 lim f ( x) ? ? 或 lim f ( x) ? ? ,则直线 x ? x0 是曲线 y=f(x)的
x?x0 ? x?x0 ?

垂直渐近线. ⑶斜渐近线 如果满足下列两个条件: f ( x) f ( x) ① lim ? k (k ? 0) (k 不为无穷大) ? k (k ? 0) 或 lim x ??? x ??? x x ② lim[ f ( x) ? kx] ? b 或 lim[ f ( x) ? kx] ? b
x??? x???

则曲线 y=f(x)有一条斜渐近线 y ? kx ? b . 总结:在求曲线的渐近线时,为了避免漏掉渐近线,应从
? ? x ? ?? 和 x ? ?? ( x ? x0 和 x ? x0 )两种情况考虑极限.

(四)案例 例 1. 求 y ?
4 ? x ? 1? 的渐近线. x2

解:? lim x ??

4 ? x ? 1? ?0 x2

? y ? 0 为函数曲线的水平渐近线.
例 2. 求 y ?
1 的渐近线. ( x ? 2)( x ? 3)

lim 解:? x ??2

1 1 ? ? , lim ?? x ?3 ( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 2)( x ? 3)

? x ? ?2 和 x ? 3 为函数曲线的两条垂直渐近线.

例 3. 求 y ? 解:? lim

2( x ? 2)( x ? 3) 的渐近线. x ?1

2( x ? 2)( x ? 3) ?? x ?1 x ?1

? x ? 1为函数曲线的垂直渐近线.
又? lim
x ??

f ( x) 2( x ? 2)( x ? 3) ? lim ? 2, x ?? x x( x ? 1)

lim[
x ??

2( x ? 2)( x ? 3) 2( x ? 2)( x ? 3) ? 2 x( x ? 1) ? 2 x] ? lim ?4 x ?? x( x ? 1) x ?1

? y ? 2 x ? 4 为曲线的斜渐近线.
三、能力反馈部分 1、 (考查学生对渐近线分类及特征的掌握程度)
?
2
y

y?

y

x

x

y??

?
2

y ? ln x y ? arctan x y ? arctan x ? ⑴ y ? 和 y ? ? ? 为曲线 y ? arctan x 的_______渐近线;
2
2

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

⑵ y ? 0 为曲线 y ? ln x 的_______渐近线; ⑶ y ? ? b x 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的_______渐近线.
a
2 2

a

b

2、 (考查学生对渐近线求解的掌握程度) ⑴曲线 y=11 ( x

) B.有二条渐近线 D.无渐近线
x2 x2 ?1

A.有一条渐近线 C.有三条渐近线 ⑵ 求下列曲线的渐近线.

1 ① y ? x ln(e ? ) ② y ? x


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