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高考数学(海南宁夏卷)(理科)


普通高等学校招生全国统一考试

(海南、宁夏卷) 数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下: 那么ω =( A. 1 ) B. 2 C. 1/2 D. 1/3 )

r />
2、已知复数 z ? 1 ? i ,则

z2 ?( z ?1

A. 2 B. -2 C. 2i D. -2i 3、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. 5/18 B. 3/4 C.



3 /2

D. 7/8

4、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( a2

) 开始 输 入 a,b,c x=a 是 x=b 是 否 输出 x x=c

A. 2

B. 4

15 C. 2

17 D. 2

5、右面的程序框图,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数 中最大的数, 那么在空白的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( ) A. c > x 值范围是( A.(0, B. x > c ) C. c > b
2

D. b > c b>x 否

6、 已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 , 则使得 (1 ? ai x) ? 1 (i ? 1, 2,3) 都成立的 x 取

1 ) a1 1 ) a3


B. (0,

2 ) a1 2 ) a3

C. (0,

D. (0,

3 ? sin 700 7、 =( 2 ? cos 2 100
A.

结束

1 2

B.

2 2

C. 2 )

D.

3 2

8、平面向量 a , b 共线的充要条件是(

? ? ? ? A. a , b 方向相同 ? ? C. ?? ? R , b ? ? a

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量

?

?

D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0

?

?

?

9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加 一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有( A. 20 种 10、由直线 x ? A. B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种 ) D. 2 ln 2 )

15 4

1 1 ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积是( 2 x 17 1 ln 2 B. C. 2 4
) C. (1,2)

11、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为(

1 A. ( ,-1) 4

1 B. ( ,1) 4

D. (1, -2)

12、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, 则 a + b 的最 大值为( ) D. 2 5 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。

13、已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1,0) , | ? a ? b |? 29 且 ? ? 0 ,则 ? = ____________

?

?

? ?

14、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 9 16

直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为______________ 15、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _________ 8
285 323 306 327 287 325 307 329 292 325 312 331 294 328 313 333 295 331 315 336 乙 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 301 334 315 337 303 337 316 343 303 352 318 356 318 307

16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下:
甲品 种: 乙品 种:

271 308 284

273 310 292

280 314 295

285 319 304

320 322 322 324 由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 7 8 7 8 5 5 3 9 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2

5 6 3 2 3

7 5 2 6

5 4 7

6 7

8 9

8

根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① _______________________________________________________________________________ ② _______________________________________________________________________________ _____ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

18、 (本小题满分 12 分) 如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小.
D1 A1 P C1 B1

D

C

A

B

19、 (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2。根据市场 分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得 的利润,求方差 DY1、DY2; (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投 资 B 项目, f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和。 求 f(x)的最小值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小值。 (注:D(aX + b) = a2DX)

20、 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

点分别为 F1、F2。F2 也是抛物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交 点,且 | MF2 |?

5 。 3

(1)求 C1 的方程; (??? 2)平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF 2 ,直线 l∥MN,且与 C1 ? ??? ? 交于 A、B 两点,若 OA · OB =0,求直线 l 的方程。

???? ?

???? ? ???? ?

21、 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? 处的切线方程为

1 曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) ( a, b ? Z ) , x?b

y ? 3。 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图 形,并求其对称中心; (3)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值。

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x ? x ? cos ? ? 已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? y ? sin ? ?y ? ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) 。 2 t 2

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' , C2 ' 。写出

C1 ' , C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?
说明你的理由。

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | 。 ( 1 )作出函数 y ? f ( x) 的图像; ( 2 )解不等式

| x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 。

2008 年普通高等学校统一考试(海南、宁夏卷) 数学(理科)参考答案
一、选择题 1.B 2.B 7.C 8.D 二、填空题 13. 3 3.D 9.A 4.C 10.D 5.A 11.A 6.B 12.C

14.

32 15

15.

4 ? 3

16. 1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长 度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的 纤维长度的分散程度更大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. 4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花 的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀.

三、解答题 17.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

?a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ?a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 18.解: 如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) ,. 连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . z

??? ?

???? ?

???? ? 设 DH ? (m,m, 1)(m ? 0) ,
由已知 ? DH, DA ?? 60 ,
?

D? ? A
D A x

H P

C?
B?
C B y

???? ? ??? ?

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? , DH ? 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA
可得 2m ? 2m2 ?1 . 解得 m ?

???? ? ? 2 2 ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , ?. 2 ? ?

2 2 ?0 ? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ???? ? 2 2 CC ? ?? 2 ? (Ⅰ)因为 cos ? DH, , 2 1? 2

CC? ?? 45 . 所以 ? DH,
?

???? ? ???? ?

即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 .
?

(Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) .

????

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ? ???? 1 2 DC ?? 2 ? , 因为 cos ? DH, 2 1? 2

DC ?? 60 . 所以 ? DH,
?

???? ? ????

可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 .
?

19.解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,

DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 ,
EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ,

DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .
(Ⅱ) f ( x) ? D ?
2

? x ? ? 100 ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 100 ? ? 100 ?
2

? x ? ? 100 ? x ? ?? ? DY1 ? ? ? DY2 ? 100 ? ? 100 ?
4 1002 4 ? 1002 ?
当x?
2 2 ? ? x ? 3(100 ? x) ? ?

(4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) ,

600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 2? 4

20.解: (Ⅰ)由 C2 : y 2 ? 4 x 知 F2 (1 , 0) . 设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ? 得 x1 ?

5 5 ,所以 x1 ? 1 ? , 3 3

2 2 6 , y1 ? . 3 3

M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, 2 消去 b 并整理得 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 ,

解得 a ? 2 ( a ?

1 不合题意,舍去) . 3

故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)由 MF 1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 1 ? MF 2 ? MN 知四边形 MF 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

???? ? ???? ?

???? ?

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 . 2 3
设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) .
2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12, 由? 消去 y 并化简得 ? ? y ? 6( x ? m),

9 x 2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .
设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

x1 ? x2 ?

16m 8m2 ? 4 , x1 x2 ? . 9 9

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

??? ?

??? ?

x1x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m)

? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
8m2 ? 4 16m ? 7? ? 6m? ? 6m 2 9 9
1 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9
所以 m ? ? 2 . 此时 ? ? (16m) ? 4 ? 9(8m ? 4) ? 0 ,
2 2

故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 . 21.解:

(Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? 2a ? ? 1, a? , ? ? ?a ? 1, ? 2?b ? 4 于是 ? 解得 ? 或? ?a ? 1 2 ? 0, ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ? ? 3 ? ? (2 ? b)
因 a,b ? Z ,故 f ( x ) ? x ?

1 . x ?1 1 都是奇函数. x

(Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 所以函数 g ( x ) ? x ? 而 f ( x) ? x ? 1 ?

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x

1 ?1 . x ?1

, 平移,即得到函数 f ( x) 的图像,故函数 f ( x) 的图 可知,函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (11)
, 为中心的中心对称图形. 像是以点 (11)
(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ?

由 f ?( x0 ) ? 1 ?

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1)2

2 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? y? ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2? x0 ? 1 ? ( x0 ? 1) ?

令 x ?1得 y ?

? x0 ? 1 ? x0 ? 1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 ?1 , ?. x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1 , 2 x0 ?1) .

,. 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (11)
从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2 . 23.解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 .

C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

? ? x ? cos ?, ?x ? ? ? C1? : ? ( ? 为参数) ; C 2? : ? 1 y ? sin ? ? ?y ? ? 2 ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4
1 2 , x? 2 2

化为普通方程为: C1? : x2 ? 4 y 2 ? 1 , C 2? : y ? 联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 ,
2

其判别式 ? ? (2 2)2 ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2? 与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 24.解:

? 4, ? (Ⅰ) f ( x ) ? ? ?2 x ? 12, ? ?4 ?
图像如下:

x ≤ 4, 4 ? x ≤ 8, x ? 8.
y

4 2 1

-2 -1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(Ⅱ)不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 ,即 f ( x) ? 2 ,

5) . 由 ?2 x ? 12 ? 2 得 x ? 5 .由函数 f ( x ) 图像可知,原不等式的解集为 (?∞,


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