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数列求和(公开课)


细心、用心是制胜的法宝!

数列求和(一)
高三数学组 鲁云霞

循 环 教 研 、 实 证 推 进 研 讨 课

--

考 1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 纲 2.能利用等差、等比数列的前n项和公式 点 击 及其性质求一些特殊数列的和。

热 点 提



1.多以选择题或填空题的形式 考查等差、等比数列的前n项和. 2.以考查等差、等比数列的前n项和为主, 同时考查分组求和法、错位相减法、 裂项相消法、倒序相加法等常用方法.

——基础知识梳理 —— 1、等差数列的前n项和公式:

s

(其中 a1为首项,d为公差) 2、等比数列的前n项和公式: na1 当q=1时, =__________ n

n(n-1) n(a1+an) na + d 1 = ________________ . 2 n =____________ 2

s

当q≠1时,

sn

a1(1-q ) a1-anq 1-q 1 - q =__________=_________
(其中

n

a1 为首项,q为公比)

例1.: 求和
1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2
方法:直接求和法

找漏洞,辨错因

方法:分组转化求和法
1 1 1 1 例2、求数列 2 、 4 、 6 、 8 、 ?的前 n项和 S n . 4 8 16 32

【思路点拨】 先求通项 →转化为几个容易求和的数列形式 →分别求和 →得结论

解:

1 1 1 1 ? sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? (2n ? n?1 ) 4 8 16 2 1 1 1 ? (2 ? 4 ? 6 ? ? 2n) ? ( ? ? ? n ?1 ) 4 8 2 1 1 n [1 ? ( ) ] 4 2 ? n(n ? 1) ? 1 1? 2 1 1 n ?1 2 ? n ?n? ?( ) 2 2

练习:试卷78页夯基释疑T3

Answer:C

变式:78页跟踪训练1
解析: 和式中的第 k 项为:
?1? 1-?2?k ? 1? 1 1 1 ? ? ?1- k? ak=1+2+4+?+ k-1= = 2 2? 1 2 ? 1- 2

Sn=a1 +a2 +a3 +……. +an
n个 ? ?1 1 1 ?? =2? ?1+1+?+1? -? + 2+?+ n?? 2 ?? ?2 2 ?

1? ? 1? ?1- n? ? 2? 2 ? ? ? ? 1 ?? ? =2 n- =2?n-?1- ??+ 1 ? ? ? 2n?? ? 1-2 ? ? 1 =2n-2+ n-1. 2
?

思维升华:要求和,先弄清通项(长什么 样用什么样的方法)!

错位相减法
例3、数列 {an }中a1 ? 3,已知点(an , an ?1)在 直线y ? x ? 2上, ( 1 )求数列 {an }的通项公式; (2)若bn ? an ? 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
n

1.一般地,如果数列{an}是等差 数列,{bn}是等比数列,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错位相减法. 2.用乘公比错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列 公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特 别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“Sn-qSn”的表达式.

1 2 n 变式、求和: S n ? ? 2 ? ? ? n a a a
【解析】 (1)a=1 时,Sn=1+2+?+n= n(n+1) ; 2 1 2 3 n (2)a≠1 时,Sn= + 2+ 3+?+ n① a a a a n-1 1 1 2 n S n + n+1② n= 2+ 3+?+ a a a a a 由①-②得

1 1 1 1 1 n (1-a)Sn=a+ 2+ 3+?+an- n+1 a a a 1 1 (1 - n) a a n = - n+1, 1 a 1-a n a(a -1)-n(a-1) ∴Sn= . n 2 a (a-1) 综 上 所 述 , Sn
? ?n(n+1) ? 2 ? n ?a(a -1)-n(a-1) n 2 ? a (a-1) ?



(a=1) . (a≠1)

利用错位相减法求和时,转化为等比 数列求和.若公比是个参数(字母), 则应先对参数加以讨论,一般情况下 分等于1和不等于1两种情况分别求和.

题型三、裂项相消法
1 2 n 例4、在数列 {an }中,an ? ? ?? ? , n ?1 n ?1 n ?1 2 又bn ? , 求数列{bn }的前n项和。 an ? an ?1
【思考】 用裂项相消法求数列前n项和

的前提是什么?
【提示】 裂项相消法的前提是将数列的每一项 拆成二项或多项,使数列中的项出现 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。

常见的拆项公式有:
1 1 1 1. ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 2. ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 3. ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 4. ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

1 5. ? ( n ? k ? n) n ? n?k k

1

利用裂项相消法求和时,应注意: ①将通项公式裂项后,有时候需要 调整前面的系数,使裂开的两项之 差和系数之积与原通项公式相等. ②抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项,也有可能前面剩两项, 后面也剩两项,

课堂诊断
1 1 1 1 . 数 列 , , , ? , 2· 5 5· 8 8· 11 1 ,?的前 n 项和为( B ) (3n-1)· (3n+2) n n A. B. 3n+2 6n+4 n+1 3n C. D. 6n+4 n+2

2 -1 2.已知数列{an}的通项公式是 an= n , 2 321 其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于( D ) 64 A.13 B.10 C.9 D.6

n

3.数列{(-1) · n}的前 2 010 项的和 S2 为( D ) A.-2 010 B.-1 005 C.2 010 D.1 005

n

010

4、已知数列 {an }满足:a1 ? 2t , t ? 2an ?1t ? an ?1an ? 0, n ? 2, n ? N ,
2 ?

(其中t为常数,且t ? 0) 1 ( 1 )求证:数列 { }为等差数列; an ? t (2)求数列 {an }的通项公式;

an (3)设bn ? , 求数列{bn }的前n项和S n . 2 (n ? 1)

反思小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式 2.分组转化法:有一类数列,既不是等差数列, 也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可 分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别 求和,再将其合并即可. 3.错位相减法:如果一个数列的各项是由 一个等差数列与一个等比数列对应项乘积 组成,此时求和可采用错位相减法.

4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之 差,即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差,在求和时一些正负项相互抵消, 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和, 这一求和方法称 为裂项相消法.

5.倒序相加法:如果一个数列 ?an ?,与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加, 有公因式可提,并且剩余的项的和可求出来, 这一求和的方法称为倒序相加法。

祝愿同学们学业有成,前途似锦!


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