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2015天津高考理科数学试题(Word版含答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用 条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结

束后,将本 试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第I卷

注意事项: · 1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B). 柱体的体积公式 V 柱体=Sh 其中 S 表示柱体的底面积 h 表示柱体的高. · 如果事件 A,B 相互独立, P(AB)=P(A) P(B). 锥体的体积公式 V = V=1/3Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.

第Ⅰ卷注意事项:本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? ?2,3,5,6? ,集合 B ? ?1,3, 4,6,7? , 则集合 A∩C u B=

(A) ?2,5? (B) ?3, 6? (C) ?2,5,6? (D) ?2,3,5,6,8?

?x ? 2 ? 0 ? (2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
(A)3(B)4(C)18(D)40 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为

(A) ?10 (B)6(C)14(D)18

(4)设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)如图,在圆 O 中, M , N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD, CE 分别经过点 M , N .若

CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 ,则线段 NE 的长为

(A)

8 10 5 (B)3(C) (D) 3 3 2

x2 y 2 (6)已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且双曲线的一个 a b
焦点在抛物线 y ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为
2

?

?

(A)

x2 y 2 ? ?1 21 28 x2 y 2 ? ?1 3 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 28 21

(C)

(D)

x2 y 2 ? ?1 4 3
x?m

(7)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2

? 1 ( m 为实数)为偶函数,记

a ? f (log0.5 3), b ? f ? log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为
(A) a ? b ? c (C) c ? a ? b (8)已知函数 f ? x ? ? ? (B) a ? c ? b (D) c ? b ? a

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ?
2

, x ? 2,

函数 g ? x? ? b ? f ? 2 ? x? ,其中 b ? R ,若

函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是 (A) ?

?7 ? , ?? ? ?4 ? 7? 4?

(B) ? ??,

? ?

7? ? 4?

(C) ? 0, ?

? ?

(D) ?

?7 ? ,2? ?4 ?

第 II 卷
注意事项: 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题,共计 110 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) i 是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,则实数 a 的值为 (10)一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) , 则该几何体的体积为 .

m3 .

(11)曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为 (12)在 ? x ?

.

? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数为 4x ?

6

.

(13) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 ?ABC 的面积为 3 15 ,

1 b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 a 的值为 4

.

(14)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / / DC, AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 ,动点 E 和 F 分 别 在 线 段

BC



DC
.



,

且BE ? ? BC , DF ?

1 DC , 则 AE AF的最小值为 9?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x ?
2 2

? ?

??

?, x?R 6?

(I)求 f ( x ) 最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? , 上的最大值和最小值. ? 3 4? ?

16. (本小题满分 13 分) 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲 协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件 “选出的 4 人中恰有 2 名种子选手, 且这 2 名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率;

(II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 13 分)

AB = 1 , 如图,在四棱柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中,侧棱 A 1 A ? 底面ABCD , AB ? AC ,

AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN∥平面 ABCD (II)求二面角 D1 - AC - B1 的正弦值; (III)设 E 为棱 A1B1 上的点, 若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 的长

1 , 求线段 A 1E 3

18. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 an?2 ? qan (q 为实数,且q ? 1),n ? N , a1 ? 1, a2 ? 2 ,且
*

a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和 {an } 的通项公式;

(II)设 bn ?

log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 的前 n 项和. {bn} a2 n?1

19. (本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 + =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) ,离心率为 a 2 b2

3 b4 2 2 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c, 4 3 |FM|= 4 3 . 3

(I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的 取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? n x ? x , x ? R ,其中 n ? N , n ? 2 .
n *

(I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求 证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(III)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 . 1- n

绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全套统一考试(天津卷) 数学(理工类)参考解答
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。 (1)A (5)A (2)C (6)D (3)B (7)C (4)A (8)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 30 分。 (9)-2 (10) ?

8 3

(11)

1 6 29 18

(12)

15 16

(13)8

(14)

三、解答题 (15)本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三 角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分 13 分。 (I)解:由已知,有

1 ? cos 2 x f ( x) ? ? 2
?

1 ? cos(2 x ? ) 1 ? 1 1 3 = ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? ? cos 2 x ? ? ? 2?2 2 2 ? 2

?

3 1 1 ? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 4 4 2 ? 6?
2? ?? 2

所以, f ( x ) 的最小正周期 T=

? ? ?? ? ? ?? , ? ? 上是减函数,在区间 ? ? , ? 上是增函数, ? 3 6? ? 6 4? 1 1 3 ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? f ?? ? ? ? , f ?? ? ? ? , f ? ? ? .所以, f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大 4 2 ? 3? ? 6? ? 3 4? ?4? 4
(II)解:因为 f ( x) 在区间 ? ? 值为

1 3 ,最小值为 ? . 2 4

(16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分 布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.
(I)解:由已知,有

P( A) ?
6 . 35

2 2 C2 C3 ? C32C32 6 ? C84 35

所以,事件 A 发生的概率为

(II)解:随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

C5k C34?k P( X ? k ) ? (k ? 1, 2,3, 4). C84
所以,随见变量 X 的分布列为

X
P

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1?

1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 14 7 7 14 2

(17)本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知 识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论 证能力。满分 13 分. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题 意可得 A(0, 0, 0) , B(0,1,0), C (2,0,0) , D(1, ?2, 0) ,

A1 (0,0, 2) , B1 (0,1, 2), C1 (2,0, 2), D(1, ?2, 2) .
又因为 M,N 分别为 B1C 和 D1D 的中点, 得 M ? 1, ,1? , N (1, ?2,1) . (I)证明:依题意,可得 n ? (0, 0,1) 为平面

? 1 ? ? 2 ?

5 ? ? ABCD 的一个法向量. MN = ? 0, ? , 0 ? .由此可得 2 ? ? MN n =0,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以 MN MN ∥平面 ABCD .
(II)解: AD1 ? (1, ?2, 2) , AC ? (2,0,0) .设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACD1 的法向 量,则

? ?n1 AD1 ? 0, ? x ? 2 y ? 2 z ? 0, 即? 不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) . ? 2 x ? 0. n AC ? 0, ? ? ? 1
设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 DE 法向量,则 ?

? ? n1 AB1 ? 0, ? ? n1 AC ? 0,

又 AB1 ? (0,1, 2) ,得

? y ? 2 z ? 0, ? ?2 x ? 0.
不妨设 z=1,可得 n2 ? (0, ?2,1) . 因此有 cos n1 , n2 ?

3 10 n1 n2 10 ,于是 sin n1 , n2 ? . ?? 10 n1 n2 10 3 10 。 10

所以,二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

(III)解:依题意,可设 A ,其中 ? ??0,1? ,则 E ? 0, ?, 2? ,从而 1E ? ? A 1B 1,

NE ? ? ?1, ? ? 2,1? 。又 n ? ? 0,0,1? 为平面 ABCD 的一个法向量,由已知,得
cos NE , n ?

NE n NE n

?
1 3

1 (?1) ? (? ? 2) ? 1
2 2 2

= , 整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 , 又因为 ? ??0,1? , 解得 ? ? 7 ? 2 .

所以,线段 A1E 的长为 7 ? 2 .

(18)本小题主要考查等比数列及其前 n 项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和 的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分 13 分. (I) 解: 由已知, 有 ? a3 ? a4 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ? a4 ? a5 ? ? ? a3 ? a4 ? , 即 a4 ?a2 ?a5 ?a3 , 所以 a2 ? q ?1? ? a3 ? q ?1? .又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1 q ,得 q ? 2 . 当 n ? 2k ?1(k ? N ) 时, an ? a2k ?1 ? 2
?
k ?1

?2

n ?1 2



当 n ? 2k (k ? N ? ) 时, an ? a2 k ? 2k ? 2 2 .
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? 所以, ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ?2 2 ,n为偶数. ?

n

(II)解:由(I)得 bn ?

log 2 a2 n n ? n ?1 .设 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则 a2 n ?1 2

S n ? 1?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? n ? n ?1 , 0 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 Sn ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? ? n ? 1? ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2 2
上述两式相减,得

1 1? n 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2? 2 ? n , Sn ? 1 ? ? 2 ? ... n?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2 2n 2n 1? 2
整理得, S n ? 4 ?

n?2 . 2n ?1

所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 4 ?

n?2 , n? N? . n ?1 2

(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置 关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质,考查运算求解能力, 以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分 14 分.

c2 1 2 2 2 (I)解:由已知有 2 ? ,又由 a ? b +c ,可得 a2 ? 3c2 , b2 ? 2c2 . a 3
设直线 FM 的斜率为 k (k
2

0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) .由已知,有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? + ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 2 2 ? ? ? ? k ? 1 ? ?

2

2

3 x2 y2 ? ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? ? x ? c? , 2 2 3c 2c 3 5 2 2 两个方程联立,消去 y,整理得 3x ? 2cx ? 5c ? 0 ,解得 x ? ? c ,或 x ? c .因为点 M 在 3
(II)解:由(I)得椭圆方程为

? 2 3 ? ?2 3 ? 4 3 c 第一象限, 可得 M 的坐标为 ? c, .有 FM ? (c ? c)2 ? ? ,解得 c ? 0 ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? ? ? ?
c ? 1 ,所以椭圆的方程为

2

x2 y 2 ? ? 1. 3 2
y ,即 x ?1

(III)解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y ? t ? x ?1? ? x ? ?1? ,

? y ? t ( x ? 1), ? 与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 2x2 ? 3t 2 ( x ? 1)2 ? 6 .又由已知,得 ? 1, ? ? ?3 2 3 6 ? 2 x2 x ?1 ,或 ?1 x 0 . t? 2 ,解得 ? 2 2 3( x ? 1)
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?
2 可得 m ?

y ,即 y ? mx (x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理 x

2 2 ? . x2 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1)

? m?? ? ?

? 3 ? 2 2 2 3? , ?. 3 3 ? ?

? ?

0 ,因此 m

0 ,于是 m ?

2 2 ? ,得 x2 3

②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1)

0 ,因此 m

0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 3? m?? ?? , ? ?. ? 3 ? ? ?
综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ? ?

2 3? ? 3 ? ?

? 2 2 3? ? ? 3 , 3 ? ?. ? ?

(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明 不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、 函数思想和划归思想.考查综合分析问题 和解决问题的能力。满分 14 分.
n ?1 n ? n ?1 (I) 解: 由 f ( x) = nx ? x , 可得 f ' ( x) = n ? nx = n 1 ? x , 其中 n ? N , 且n ? 2.

?

?

下面分两种情况讨论: (1)当 n 为奇数时. 令 f ' ( x) =0,解得 x ? 1 ,或 x ? ?1 . 当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

? ??, ?1?
-

? ?1,1?
+

?1, ???
-

所以, f ( x) 在 ? ??, ?1? , ?1, ?? ? 上单调递减,在 ? ?1,1? 内单调递增。 (2)当 n 为偶数时. 当 f ' ( x)

0 ,即 x 1 时,函数 f ( x) 单调递增;

当 f ' ( x)

0 ,即 x 1 时,函数 f ( x) 单调递减.

所以, f ( x) 在 ? ??,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. (II) 证明: 设点 P 的坐标为 ? x0 ,0? , 则 x0 ?
'

1
n ?1

n 在点 P 处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? x ? x0 ? ,即 g ( x) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) .令

, f ' ( x0 ) ? n ? n2 .曲线 y ? f ( x)

F ( x) ? f ( x) ? g ? x ? ,即 F ( x) ? f ( x) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) ,则 F ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' ( x0 ) .
由于 f ' ( x) ? ?nxn?1 ? n 在 ? 0, ??? 上单调递减,故 F ' ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递减. 又因为 F ' ( x0 ) ? 0 ,所以当 x ? ? 0, x0 ? 时, F ' ( x)

0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时, F ' ( x)

0,

所以 F ( x) 在 ? 0, x0 ? 内单调递增,在 ? x0 , ??? 上单调递减,所以对于任意的正实数 x , 都有 F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ? x ? .

x (III) 证明: 不妨设 x1 ? x2 .由 (II) 知g?
' 的根为 x2' ,可得 x2 ?

? ?n?

? n

2 x ? ?x?

0

? .设方程 g ? x ? ? a

a ? x0 ,当 n ? 2 时,在 ? ??, ??? 上单调递减.又由(II)知 n ? n2 g ? x2 ? ? f ? x 2 ? ? a ? g ?x 2 ' ? ,可得 x1 ? x2' .
类似地,设曲线 y ? f ? x ? 在原点处的切线方程为 y ? h ? x ? ,可得 h ? x ? ? nx ,当

x ?? 0, ??? , f ? x ? ? h ? x ? ? ?xn

0 ,即对于任意的 x ?? 0, ??? , f ? x ? h ? x ? .
a .因为 h ? x ? ? nx 在 ? ??, ??? 上单调递 n x1 .

' 设方程 h ? x ? ? a 的根为 x1' ,可得 x1 ?
' 增,且 h x1 ? a ? f ? x1 ?

? ?

h ? x1 ? ,因此 x1'

由此可得 x2 ? x1

x2 ' ? x1' ?
n ?1

a ? x0 . 1? n
n ?1 1 ? 1 ? Cn ?1 ? 1 ? n ? 1 ? n ,故 2 ?

因为 n ? 2 ,所以 2 所以, x2 ? x1

? ?1 ? 1?

1 n n ?1

? x0 .

a ?2. 1? n


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