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概率分布以及期望和方差


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概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师: 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布 及其期望和方差 上课规划:解题技巧和方法 一 两点分布

知识内容
⑴两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X

1

>P p

0

q

其中 0 ? p ? 1 , q ? 1 ? p ,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为 1 ,不合格记为 0 ,已 知产品的合格率为 80% , 随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果, X 则 的分布列满足二点分布.
X

1

0

0.8 0.2

P

两点分布又称 0 ? 1 分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试 验,所以这种分布又称为伯努利分布. (2)典型分布的期望与方差: 二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量 X 的期望取值为 p , 在 n 次二点分布试验中,离散型随机变量 X 的期望取值为 np .

典例分析
1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令 X ? ? 概率为 p ,试写出随机变量 X 的概率分布.
?1,针尖向上; ,如果针尖向上的 ?0,针尖向下.

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2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球,用 X 表示“取到的 白球个数” ,即 X ? ?0,当取到红球时, ,求随机变量 X 的概率分布.
? ?1,当取到白球时,

3、若随机变量 X 的概率分布如下:
X P

0
9C 2 ? C
3 ? 8C

1

试求出 C ,并写出 X 的分布列.

3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
? ??
?0, (当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 ) ? 1, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数 )

试写出随机变量 ? 的分布列.

4、篮球运动员比赛投篮,命中得 1 分,不中得 0 分,已知运动员甲投篮命 中率的概率为 P . ⑴ 记投篮 1 次得分 X ,求方差 D ( X ) 的最大值; ⑵ 当⑴中 D ( X ) 取最大值时,甲投 3 次篮,求所得总分 Y 的分布列及 Y 的期 望与方差.

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超几何分布

知识内容
将离散型随机变量 X 所有可能的取值 xi 与该取值对应的概率 pi (i ? 1, 2, ?, n) 列表表示:
X P
x1 x2

… …

xi

… …

xn

p1

p2

pi

pn

一般地,设有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任 取 n 件 (n ≤ N ) ,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,它取 值为 m 时的概率为
P ( X ? m) ? Cm Cn ??m M N M (0 ≤ m ≤ l , l 为 n 和 M 中较小的一个 ) . Cn N

我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称 X 服 从参数为 N ,M ,n 的超几何分布.在超几何分布中,只要知道 N ,M 和 n , 就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率 P( X ? m) ,从而列出 X 的分布列. M n 超几何分布的期望和方差: 若离散型随机变量 X 服从参数为 N , , 的超几 何分布, 则 E( X ) ? nM , D( X ) ? n( N ? n)( N ? M )M . 2
N
N ( N ? 1)

典例分析
7 例题: 一盒子内装有 10 个乒乓球, 其中 3 个旧的, 个新的, 从中任意取 4 个,

则取到新球的个数的期望值是



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练习 1.某人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,能答对其 中的 6 题, 规定每次考试都从备选题中随机抽出 5 题进行测试, 每题分数为 20 分,求他得分的期望值.

练习 2.以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会, 求该 委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差.

练习 3.在 12 个同类型的零件中有 2 个次品,抽取 3 次进行检验,每次任取 一个,并且取出不再放回,若以 ? 和 ? 分别表示取出次品和正品的个数.求
?, ?

的期望值及方差.

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二项分布

知识内容
若将事件 A 发生的次数设为 X ,事件 A 不发生的概率为 q ? 1 ? p ,那么在 n 次 独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P( X ? k) ? Ck pk qn? k ,其中 n k ? 0, 1, 2, ?, n .于是得到 X 的分布列
X P
0

1
C1 p1qn?1 n

… …

k

… …

n
Cn p n q 0 n

C0 p 0 q n n

Ck p k q n ? k n

由 于 表 中 的 第 二 行 恰 好 是 二 项 展 开 式
k (q ? p)n ? C0 p0 qn ? C1 p1qn?1 ? ? ? Cn pk qn?k ? ?Cn pn q0 n n n

各对应项的值, 所以称这样的散型随机变量 X 服从参数为 n , 的二项分布, p 记作 X ~ B(n , p) . 二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布,则
E ( X ) ? np , D( x) ? npq (q ? 1 ? p) .

二项分布: 若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布, E ( X ) ? np , 则 D( x) ? npq (q ? 1 ? p) .

典例分析
二项分布的概率计算
1 ) 例题: 已知随机变量 ? 服从二项分布,? ~ B(4 , ) , P(? ?2 等于 则 3

. 练

习 1.甲乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局 则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为 2 ,则甲以 3 :1 的比分获胜的
3

概率为( A.
8 27

) B. 64
81

C. 4
9

D. 8
9

练习

2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是 1 2 . (用数值表示)

,他投球 10 次,恰好投

进 3 个球的概率

练习 3.某人参加一次考试, 4 道题中解对 3 道则为及格,已知他的解题正 确率为 0.4 ,则他能及格的概率为_________(保留到小数点后两位小数) 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为 0.80 ,现有 5 人接种了该疫苗,至 少有 3 人出现发热反应的概率为 . (精确到 0.01 )

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例题:从一批由 9 件正品,3 件次品组成的产品中,有放回地抽取 5 次,每 次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率(结果保留 2 位有效数字) .

练习 1.一台 X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为 0.8000 ,有 四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有 2 台机床需 要工人照看的概率是( A. 0.1536 B. 0.1808 ) C. 0.5632 D. 0.9728

练习 2.设在 4 次独立重复试验中, 事件 A 发生的概率相同, 若已知事件 A 至 少发生一次的概率等于 65 ,求事件 A 在一次试验中发生的概率.
81

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例题:某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每 位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的 概率都是 1 .若某人获得两个“支持” ,则给予 10 万元的创业资助;若只获
2

得一个 “支持” 则给予 5 万元的资助; , 若未获得 “支持” 则不予资助. , 求: ⑴ 该公司的资助总额为零的概率; ⑵ 该公司的资助总额超过 15 万元的概率.

练习 1.某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据 以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是 0.6 ,经销一件该商品,若顾 客采用一次性付款,商场获得利润 200 元;若顾客采用分期付款,商场获 得利润 250 元. ⑴ 求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; ⑵ 求 3 位位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率.

练习 2.某万国家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费 1000 元,便

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可获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为 1 ,若中奖,则家具城返还顾客
5

现金 200 元.某顾客消费了 3400 元,得到 3 张奖券. ⑴求家具城恰好返还该顾客现金 200 元的概率; ⑵求家具城至少返还该顾客现金 200 元的概率.

例题:设飞机 A 有两个发动机,飞机 B 有四个发动机,如有半数或半数以 上的发动机没有故障,就能够安全飞行,现设各个发动机发生故障的概率 其中 t 为发动机启动后所经历的时间,? 为正的常数, p 是 t 的函数 p ? 1 ? e??t , 试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全?(这里不考虑其它故障) .

练习 1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 1? P ,且各发动机

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互不影响. 如果至少 50% 的发动机能正常运行, 飞机就可以顺利地飞行. 问 对于多大的 P 而言,四发动机飞机比二发动机飞机更安全?

练习 2.一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设 他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 1 .
3

⑴设 ? 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 ? 的分布列; ⑵设 ? 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 ? 的分布列; ⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

二项分布的期望与方差

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例题:已知 X ~

B(10 , ,求 E ( X ) 与 D ( X ) . 0.8)

练习 1.已知 X ~ B(n ,p) , E ( X ) ? 8 , D( X ) ? 1.6 ,则 n 与 p 的值分别为( A. 10 和 0.8 B. 20 和 0.4
X



C. 10 和 0.2

D. 100 和 0.8

练 习 2. 已 知 随 机 变 量
E( X ) ?

0.4 服 从 参 数 为 6, 的 二 项 分 布 , 则 它 的 期 望

,方差 D( X ) ?



练习 3.已知随机变量 X 服从二项分布,且 E (? ) ? 2.4 , D(? ) ? 1.44 ,则二项分 布的参数 n , p 的值分别为 , .

练习 4.一盒子内装有 10 个乒乓球,其中 3 个旧的, 7 个新的,每次取一球, 取后放回,取 4 次,则取到新球的个数的期望值是
2 1 例题:甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是 1 , , . 3 5 2



⑴ 现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率; ⑵ 用 ? 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 ? 的概率分布及数学期望.

练习 1.抛掷两个骰子,当至少有一个 2 点或 3 点出现时,就说这次试验成 功. ⑴ 求一次试验中成功的概率; ⑵ 求在 4 次试验中成功次数 X 的分布列及 X 的数学期望与方差.

练习 2.某寻呼台共有客户 3000 人, 若寻呼台准备了 100 份小礼品, 邀请客户 在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为 4% .问:寻呼台能否向 每一位顾客都发出奖邀请?若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少 应准备多少礼品?



正态分布

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知识内容
概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时, 直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数 据看作随机变量 X ,则这条曲线称为 X 的概率密度曲线. 曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是 1 ,而随机变量 X 落 b 在指定的两个数 a , 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. 2.正态分布 ⑴定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素 y 所引起的,而且每一个偶然因素在总体的变化中都只 x=μ 是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的 随机变量的概率分布近似服从正态分布. 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正 态变量. x O 正态 变量概率密度 曲线的函数表 达式为
f ( x) ? 1 2π ? ?
? ( x ? ? )2 2? 2

e

, x ? R ,其中 ? , ? 是参数,且 ?

?0,

?? ? ? ? ?? .

式中的参数 ? 和 ? 分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为 ? 、 标准差 为 ? 的正态分布通常记作 N (? , ? 2 ) . 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线. ⑵标准正态分布:我们把数学期望为 0 ,标准差为 1 的正态分布叫做标准正 态分布. ①正态变量在区间 (? ? ? , ? ? ? ) , (? ? 2? , ? ? 2? ) , (? ? 3? , ? ? 3? ) 内,取值的概 率分别是 68.3% , 95.4% , 99.7% .
? ? ②正态变量在 (?? , ?) 内的取值的概率为 1 ,在区间 (? ? 3? , ? 3? ) 之外的取

值的概率是 0.3% ,故正态变量的取值几乎都在距 x ? ? 三倍标准差之内,这 就是正态分布的 3? 原则. ?若 ? ~ N (? , 2 ) , f ( x) 为其概率密度函数,则称 F ( x) ? P(? ≤ x) ? ??? f (t )dt 为概率 ?
x

t x ? 分布函数,特别的,? ? ? ~ N (0 ,2 ) ,称 ? ( x) ? ??? 1 e 2 dt 1 ? 2 π x?? P(? ? x) ? ? ( ). ?
2

为标准正态分布函数.

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得.

典例分析
(一)正态曲线(正态随机变量的概率密度曲线)

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1.下列函数是正态分布密度函数的是( A. f ( x) ? C.
f ( x) ?


2

1 2 ? π
1 2

e

( x ? r )2 2?

2π ? x2 f ( x) ? e B. 2π

2 π

e

( x ?1) 2 4

D.
? ( x ?1)2 2

f ( x) ?

1 2 π

e

x2 2

2.若正态分布密度函数 f ( x) ? A.有最大值,也有最小值 C.有最大值,但没最大值

1 2 π

e

( x ? R) ,下列判断正确的是(



B.有最大值,但没最小值 D.无最大值和最小值
1 2π e
? x2 2

3.对于标准正态分布 N ? 0 ,? 的概率密度函数 f ? x ? ? 1 的是( ) A. f ? x ? 为偶函数 B. f ? x ? 最大值为
1 2π

,下列说法不正确

C. f ? x ? 在 x ? 0 时是单调减函数,在 x ≤ 0 时是单调增函数 D. f ? x ? 关于 x ? 1 对称 4.设 ? 的概率密度函数为 f ( x) ? A. P(? ? 1) ? P(? ? 1) C. f ( x) 的渐近线是 x ? 0 (二)求 ? , ? 的取值以及概率 例题:设 X ~ N (? , 2 ) ,且总体密度曲线的函数表达式为: f ( x) ? ?
x?R .

1 2 π

e

?

( x ?1)2 2

,则下列结论错误的是( B. P(?1 ≤ ? ≤1) ? P(?1 ? ? ? 1) 1) D.? ? ? ? 1 ~ N (0 ,



1 2 π

e

?

x2 ? 2 x ?1 4



⑴求 ? , ;⑵求 P(| x ? 1|? ?

2) 及 P(1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 2) 的值.

练习 1.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分 布,其密度函数为 f ( x) ?
1 10 2? e
? ( x ?80)2 200

,则下列命题中不正确的是(



A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学标准差为 10 (三)正态分布的性质及概率计算

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1) 例题:设随机变量 ? 服从正态分布 N (0 , , a ? 0 ,则下列结论正确的个数是
____ .

⑴ P(| ? |? a) ? P(| ? |? a) ? P(| ? |? a) ⑵ P(| ? |? a) ? 2P(? ? a) ? 1 ⑶ P(| ? |? a) ? 1 ? 2P(? ? a) ⑷ P(| ? |? a) ? 1 ? P(| ? |? a) 练习 1.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3 , 2 ) ,则 P( X ? 3) ? ( a A. 1
5



B. 1

4

C. 1

3

D. 1

2

练习 2.在某项测量中, 测量结果 X 服从正态分布 N ?1, 2 ? ?? ? 0? , X 在 ? 0 ,? 若 1 ? 内取值的概率为 0.4 ,则 X 在 ? 0 , ? 内取值的概率为 2 .

练习 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2 , 2 ) , P( X ≤ 4) ? 0.84 ,则 P( X ≤ 0) ? ? A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 ) 练习 4.已知 X ~ A. 0.4 加强训练:
9) 1 设随机变量 ? 服从正态分布 N (2 , ,若 P(? ? c ? 2) ? P( ? ?c ? 2)

N (?1, 2 ) ,若 P(?3 ≤ X ≤ -1) ? 0.4 ,则 P(?3 ≤ X ≤1) ? ( ?

B. 0.8

C. 0.6

D.无法计算

,则 c ? _______ .

1) b 2 设 ? ~ N (0 , ,且 P(| ? |? b) ? a(0 ? a ? 1, ? 0) ,则 P(? ≥ b) 的值是 _______ (用 a 表

示) . 3 正态变量 X ~ N (1, 2 ) , c 为常数, c ? 0 ,若 P(c ? X ?
P( X ≤ 0.5) ? 2c ) ? P (2c ? X ? 3 ) ? 0.4 c

,求

的值.

4) 4) 4 某种零件的尺寸服从正态分布 N (0 , ,则不属于区间 (?4 , 这个尺寸范围

的零件约占总数的



(四)正态分布的数学期望及方差
? E 例题:如果随机变量 ? ~ N (? , 2 ) , ? ? D? ? 1 ,求 P(?1 ? ? ? 1) 的值.

(五)正态分布的 3? 原则

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例题:灯泡厂生产的白炽灯寿命 ? (单位: h ) ,已知 ? ~ N (1000 , 2 ) ,要使灯 30 泡的平均寿命为 1000h 的概率为 99.7%,则灯泡的最低使用寿命应控制在
_____ 小时以上.

练习 1.一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为 35.6 小时、标准差 为 4.4 小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续 使用不少于 40 小时的概率是多少? 练习 2.某班有 48 名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为
80 ,标准差为 10 ,理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ______ .

杂题(拓展相关:概率密度,分布函数及其他) 练习 3.以 F ? x ? 表示标准正态总体在区间 ? ?? , x ? 内取值的概率,若随机变量
?

服从正态分布 N ? ? , ? 2 ? ,则概率 P ? ? ? ? ? ? ? 等于( B. F ?1? ? F ? ?1? D. 2F ? ? ? ? ?



A. F ? ? ? ? ? ? F ? ? ? ? ? C. F ? 1 ? ? ? ? ?
? ? ?

练习 4.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道题中,甲 能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随 机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. ⑴ 求甲答对试题数 X 的分布列、数学期望与方差; ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

课后练习

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1、一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球, 从中同时取出 2 个, 则 其中含红球个数的数学期望是_________. (用数字作答) 2.、同时抛掷 4 枚均匀硬币 80 次,设 4 枚硬币正好出现 2 枚正面向上, 2 枚反 面向上的次数为 ? ,则 ? 的数学期望是( A. 20 B. 25 C. 30 ) D. 40

3、某服务部门有 n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若 每个服务对象一天中需要服务的可能性是 p ,则该部门一天中平均需要服 务的对象个数是( A. np(1 ? p) ) B. np C. n D. p(1 ? p)

4、同时抛掷 4 枚均匀硬币 80 次,设 4 枚硬币正好出现 2 枚正面向上,2 枚反面 向上的次数为 ? ,则 ? 的数学期望是( A、 20 B. 25 C. 30 ) D. 40

5、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸 出 1 个球,得到黑球的概率是 2 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白
5

球的概率是 7 .
9

⑴若袋中共有 10 个球,从袋中任意摸出 3 个球,求得到白球的个数的数学 期望; ⑵求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 7 .并
10

指出袋中哪种颜色的球个数最少.

5.某厂生产电子元件, 其产品的次品率为 5% , 现从一批产品中的任意连续

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取出 2 件,求次品数 ? 的概率分布列及至少有一件次品的概率. 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移 栽的成活率分别为 5 和 4 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株
6 5

大树中: ⑴至少有 1 株成活的概率; ⑵两种大树各成活 1 株的概率.

6.一个口袋中装有 n 个红球( n ≥ 5 且 n ? N * )和 5 个白球,一次摸奖从中摸 两个球,两个球颜色不同则为中奖. ⑴试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; ⑵若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; ⑶记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P .当 n 取多少 时, P 最大?

7.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球, A 中摸出一个红球的概率 从

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是 1 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p .
3

⑴从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止. ①求恰好摸 5 次停止的概率; ②记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布.
B B ⑵若 A , 两个袋子中的球数之比为 1 : 2 ,将 A , 中的球装在一起后,从中摸

出一个红球的概率是 2 ,求 p 的值.
5

8、一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次,正面向上恰为 1 次的可能性不为 0 ,而 且与正面向上恰为 2 次的概率相同.令既约分数 i 为硬币在 5 次抛掷中有 3
j

次正面向上的概率,求 i ? j .

9、某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留到小数点后面第 2 位) ⑴5 次预报中恰有 2 次准确的概率; ⑵ 5 次预报中至少有 2 次准确的概率; ⑶5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率;

19 20 10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18, , 层可以停靠.若该

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电梯在底层载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均 为 1 ,求至少有两位乘客在 20 层下的概率.
3

11、10 个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取一球,求直到第 n 次才 取得 k (k ≤ n) 次红球的概率.

12、已知甲投篮的命中率是 0.9 ,乙投篮的命中率是 0.8 ,两人每次投篮都 不受影响,求投篮 3 次甲胜乙的概率. (保留两位有效数字)

13 、 若 甲 、 乙 投 篮 的 命 中 率 都 是
n 率. n ? N , ≥1 ) (

p ? 0.5

,求投篮

n

次甲胜乙的概

14、 省工商局于某年 3 月份, 对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查,

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结果显示,某种刚进入市场的 x 饮料的合格率为 80% ,现有甲,乙,丙 3 人 聚会,选用 6 瓶 x 饮料,并限定每人喝 2 瓶,求: ⑴甲喝 2 瓶合格的 x 饮料的概率; ⑵甲,乙,丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的 x 饮料的概率(精确到 0.01 ) .

15、在一次考试中出了六道是非题,正确的记“√”号,不正确的记“×” 号.若某考生随手记上六个符号,试求:⑴全部是正确的概率; ⑵正确解答不少于 4 道的概率; ⑶至少答对 2 道题的概率.

17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛,校队的实力比系 队强,当一个校队队员与系队队员比赛时,校队队员获胜的概率为 0.6 . 现在校、系双方商量对抗赛的方式,提出了三种方案: ⑴双方各出 3 人; ⑵双方各出 5 人; ⑶双方各出 7 人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问: 对系队来说,哪一种方案最有利?

18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再

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就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加 培训,已知参加过财会培训的有 60% ,参加过计算机培训的有 75% ,假设每 个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. ⑴任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; ⑵任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布和期 望.

19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品 的概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买 商品也是相互独立的.记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两 种商品中的一种的人数,求 ? 的分布及期望.

20、某班级有 n 人,设一年 365 天中,恰有班上的 m ( m ≤ n )个人过生日的 天数为 X ,求 X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.

21、购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保

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人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10000 元的赔偿金.假定在一年 度内有 10000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险 公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 1 ? 0.99910 .
4

⑴求一投保人在一年度内出险的概率 p ; ⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元, 为保证盈利 的期望不小于 0 ,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) .

22、某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检) .若 安检不合格,则必须进行整改.若整改后复查仍不合格,则强行关闭.设 每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率 是 0.5 ,整改后安检合格的概率是 0.8 ,计算(结果精确到 0.01 ) . ⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率; ⑵平均有多少家煤矿必须整改; ⑶至少关闭一家煤矿的概率.

23、设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2 ,机器发生故障时全天停止

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工作.若一周 5 个工作日里均无故障,可获利润 10 万元;发生一次故障 可获利润 5 万元,只发生两次故障可获利润 0 万元,发生三次或三次以上 故障就要亏损 2 万元.求一周内期望利润是多少?(精确到 0.001 )

24、在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击 的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐. 已知只有 5 发子弹, 第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立 的,且命中的概率都是 2 .
3

⑴求油罐被引爆的概率; ⑵如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? .

25、一个袋中有大小相同的标有 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球,某人做

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如下游戏,每次从袋中拿一个球(拿后放回) ,记下标号.若拿出球的标 号是 3 的倍数,则得 1 分,否则得 ?1 分. ⑴ 求拿 4 次至少得 2 分的概率; ⑵ 求拿 4 次所得分数 ? 的分布列和数学期望.

26、某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 A ? a1a2 a3a4 a5 ,
3 4 5) 其中 A 的各位数中,a1 ? 1 ,ak (k ? 2 , , , 出现 0 的概率为 1 ,出现 1 的概率为

3

2 3

.记 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,当程序运行一次时,

⑴ 求 ? ? 3 的概率; ⑵ 求 ? 的概率分布和期望.

27、某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相 互独立的,遇到红灯的概率都是 1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min.
3

⑴ 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; ⑵ 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.

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