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直线方程的概念与直线的斜率(公开课)


直线方程的概念
与直线的斜率
胜利一中数学组

学习目标 1. 了解直线的方程与方程的直线的概念和关系. 2. 理解直线的斜率和倾斜角的概念,掌握过两点

的直线斜率的计算公式.
3. 了解直线斜率与倾斜角的大小关系.

温故知新: 我们已经知道平面直角坐标系内,一 次函数y=kx+b(

K≠0)的图象是直线,那 么所有的直线都能用一次函数表示吗?

二元一 次方程

形式

y=kx+b( K≠0) x=a y=b

图象

直线

探究(一):

直线与二元一次方程之间的对应关系是 怎样建立的呢?
例:已知y=2x+1的图象,观察并检验: (1).A点(1,3)为直线上的点, (2). ? x ? ?2 是方程的解,它表示 ?
? y ? ?3
O B X Y A y=2x+1

?x ? 1 ? ?y ? 3

是方程的解吗?

的点B(-2,-3)在直线上吗?
结论:二元一次方程y=2x+1的解和直线 上的点是一一对应的

一.直线的方程与方程的直线
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线 上,且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解 ,这时,这个方程就叫这条直线的方程,这条直 线叫做这个方程的直线。 直线
一一对应

“数与形 的结合”

二元一次方程

判断正误:

y
l

(1)直线l(如图)是方程 x ? y + 2 ? 0的

2 ?2

直线

o
y m

x

y?2 ? 1是直线m(如图)的方程 1 ? 2 ? 方程 x ?1 ?1 o
1.以一个方程的解为坐标的点都在直线上 2.直线上点的坐标都是这个方程的解

x

两个条件缺一不可

探究(二):

看一看:
观察下列函数的图象,发现它们的异同。
y=x+1 y=2x+1
y

y=-x+1

相同点:都过定点(0,1) 不同点:方向不一样 (倾斜程度不同)
o

x

怎样刻画倾斜程度???

楼梯倾斜程度的刻画:

坡度=

高度
宽度

1m

结论:坡度越大,楼梯越陡.

直线倾斜程度的刻画:
y

Q(x2,y2)
级宽 级高
2 2-y P(x1,y1) x2-x1 yy-y1 1

x2-x1 O x

级高 坡度= 级宽

y2 ? y1 x2 ? x1

想一想:对于一条与x轴不垂直的定直线,
y2 ? y1 的值与P、Q两点的位置有关吗? x2 ? x1
y
Q P’ P M M’ Q’

y2 ? y1 是一个定值 x2 ? x1

怎么证明???
x

o

等价问题:

对于一条与x轴不垂直的定直线y ? kx + b, k、b为定值, 设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )是直线上任意两个不同点,且x1 ? x2, 求证 y2 ? y1 x2 ? x1 为定值.

y 2 ? kx2 + b y1 ? kx1 + b y2 ? y1 ? kx2 ? kx1 ? k ? x 2 ? x1 ?
y2 ? y1 即 =k,x2 ? x1 x2 ? x1

二.描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
定义:直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率 y
Q( x2 , y2 )
P( x1 , y1 )

已知两点 P(x1,y1), Q(x2,y2), 如果 x1≠x2,则直线 PQ的斜率 为: y ?y
y2 ? y1 ? ?y

k=

2

1

x2 ? x1
?y ? ?x

纵坐标的 增量

x2 ? x1 ? ?x

o

x





横坐标 的增量

12

思考1:
如果 x1=x2,则直线 PQ的斜率怎样?
斜率不存在,这时直线PQ垂直于x轴

如果 y1=y2,则直线 PQ的斜率怎样?
斜率为0,这时直线PQ平行于x轴 或与x轴重合 y y
Q( x1 , y2 ) P( x1 , y1 ) Q( x1 , y2 )

P( x1 , y1 )

o

x

o

x

思考2:
运用上述公式计算直线PQ的斜率时,需要考 虑P、Q的顺序吗?

k AB

y 2 ? y1 ? x2 ? x1

?

y1 ? y2 ? kBA x1 ? x2

答:与A、B两点的顺序无关。

例1:求经过A(-2,0) B(-5,3) 两点的直线 的斜率 解: ? 5 ? ( ?2 ) ? 3

k AB ?

?3?0

?

3

? ?1

变式训练: (1): A(-2,0) (2): A(-2,3) (3): A(-2,0)

B(-2,3) B (-2,3) B(-2+a,3)

三.直线的倾斜角 x轴正向与直线l向上方向之间所成 的角叫做直线的倾斜角

y

l

x

o

?

注意: (1)直线向上方向; (2)x轴的正方向。

大家来找茬: 下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对,违背了 定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

x

?
(1) (2)

?

o

x

?
o
(4)

x

(3)

探究(三):
观察下列直线的倾斜角,回答下列问题
y l ? O y l y y

l
? x O x

l

? O x

O

x

问题1.当直线与x轴平行或重合时,直线的倾斜角是多少 ?

*规定:当直线与x轴平行或重合时,直线的倾斜角为0°
问题2.直线倾斜角的范围是怎样的?
0 1800 *倾斜角的取值范围 0 ? ?<

探究(三):
y y y

l
? O

l

l
?

l

y

?

O

x

x

O

x

O

x

问题3.直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系是怎样的?
当α=00 时,k = 0 当00<α<900时,k>0 ,k值增大,倾斜角也随着增大 当α=900 时,k不存在 当900<α<1800时,k<0,k值增大,倾斜角也随着增大

反应大比拼:

如图,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3, 则:( D )

A.k1 ? k 2 ? k3
B.k3 ? k1 ? k 2 C.k3 ? k 2 ? k1 D.k1 ? k3 ? k2

1.已知过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的 直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范

围是

(-2,1)

.

2.直线:(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的 斜率为1,则实数a=

2 3或 ? 3



3.求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R) 的直线l的斜率k的取值范围
解:

由斜率公式得直线l 的斜率

( 3m 2 + 12m + 13) ? 2 3m 2 + 12m + 11 3(m + 2) 2 ? 1 ? ? k? 2 2 2?0
? 3 1 ( m + 2) 2 ? ? ? 1 2 2 2 1 2

? k的 取 值 范 围 为 ? ? k

(1)已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB,KBC

KAB=2

KBC=2

(2)如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系? A、B、C三点共线

(3)如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上, 求a的值

a=-3

课堂小结:
1、直线的方程与方程的直线

y2 ? y1 y1 ? y2 2、斜率公式: ? k (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
3、直线的倾斜角定义及其范围: ? ? ? 180 0
? ?

?? ? 0? ? k ? 0 ? ? 0 ? ? ? 90? ? k ? 0 ? 之间的关系? 4、斜率k与倾斜角 ? ? ?a ? 90 ? k 不存在 ?90? ? ? ? 180? ? k ? 0 ?

作 业:
1,复习本节课所学
2,完成《成才》相关内容


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