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北京市清华大学附中2015届全国高校自主招生考试数学复习讲义:第四讲 数列与极限(无答案)


第四讲 数列与极限
例 1 ( 2009 四川初赛)已知正项非常值数列 ?an ?, ?bn ? 满足 an , bn , an?1 成等差数列,

bn , an?1, bn?1 成等比数列,令 cn ? bn ,则下列关于数列 ?cn ?的说法正确的是(
A. ?cn ?为等差数列 C. ?cn ?的每一项为奇数 B. ?cn ?为等比

数列 D. ?cn ?的第一项为偶数



例2 (2010 年上海交大) a, b, c ? R, abc ? 0, b ? c, a(b ? c) x 2 ? b(c ? a) x ? c(a ? b) ? 0 有两相等实根。 求证:

1 1 1 , , 成等差数列。 a b c

例 3 ( 2008 浙 江 初 赛 ) 已 知 数 列 {xn } , 满 足 (n ? 1) xn?1 ? xn ? n, 且x1 ? 2 , 则

x2 0 0 5?



例 4(2009 年北京大学)已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项:13,25,41。求证: 2009 为其中的一项:

例 5(2010 年上海交大)两个等差数列 200,203,206,…和 50,54,58…都有 100 项,它们共同的项的个数是( )

例 6 若 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数(如 [1.3] ? 1, [ ?2 ] ? ?3 等等) ,

1 4

则? =

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ??? ? ? ? ? 2 ? 1? 2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? 4 ? 3 ? 4 ? ? 2011? 2010? 2011? ?


例 7(2006 年复旦大学)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,

an ?

1 , 求S 2003 . ( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ? 1)( n ? n ? 1)

例8 (2012 年华约) 等差数列 a1 , a2 ,? 满足 a3 ? ?13, a7 ? 3 。 这个数列的前 n 项和为 Sn , 问数列 S1 , S 2 ,? 中哪一项最小,交求出这个最小值。

例 11 ( 2011 年 华 约 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

2x , f (1) ? 1, ax ? b

1 ?1? 2 f ? ? ? , 令x1 ? , 2 ?2? 3

xn?1 ? f ( xn ) .
(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)证明: x1 , x2 ? xn ?

1 . 2e

例 12. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, an?1 ? nPn ? qan . (1)若 q ? 1. 求 an 等于多少? (2)若 P ? 1, q ? 1. 求证:数列 ?an ? 有界.


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