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上海市松江区2013届高三数学三模试卷(文科,含答案)


松江区 2012 学年度第二学期月考试卷 高三数学(文科)
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟) 一、填空题 (每小题 4 分,满分 56 分) 1.已知集合 A ? {x 0 ? x ? 3 , x ? R} , B ? {x x ? 1 ? 2 , x ? R } ,则 A ? B ? 2.已知数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, Sn 是 ?an

? 的前 n 项和,则 lim 3.函数 f ( x) ? 2013.5

▲ ▲

. .

Sn = n ?? na n

2cos x sin x 的最小正周期为 sin x 2cos x





4.某小组中有 6 名女同学和 4 名男同学,从中任意挑选 3 名同学组成环保志愿者宣传队, 则这个宣传队由 2 名女同学和 1 名男同学组成的概率是



(结果用分数表示) .

5.已知圆柱 M 的底面直径与高均等于球 O 的直径,则圆柱 M 与球 O 的体积之比 V圆柱:V球

▲ . ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 6. 已知 e1 、e2 是平面上两个不共线的单位向量, 向量 a ? e1 ? e2 ,b ? me1 ? 2e2 . a ? b , 若 则实数 m = ▲ .
=
15 7.二项式 (x ? ) 的展开式中含 x 一次幂的项是第

1 x



项. 8. 已知直线 l1:x ? 3y ?1 ? 0 ,l2:x ? ty ? 1 ? 0 , 若直线 l1 与

l2 的夹角为 60? ,则 t =





?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 9 . 设变 量 x, y 满 足 约束 条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 目标 函数 ?x ? 1 ? 0 ?
z ? 3x ? 2 y 的最小值为





10. 阅读右边的程序框图, 如果输出的函数值 y 在区间 [ ,1] 内, 则输入的实数 x 的取值范围是 x ?

1 4





11.若等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d ,前 n 项的和为 Sn ,则数列 { 且通项为

Sn } 为等差数列, n

Sn d ? a1 ? (n ? 1) ? .类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列 n 2 {bn } 的首项为 b1 ,公比为 q ,前 n 项的积为 Tn ,则 ▲ .

12.若集合 M ? ?( x, y ) x ? ( y ? 3) ? y ? 1 ? ( y ? 3),?

? ? 它元素 (c, d ) ,总有 c ? a, 则 a ?

5 ? ? y ? 3?, (a, b) ? M , 且对 M 中其 2 ?


1/4



13.已知 f ( x) ? x2 , ?1 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 , an ?| f ( xn ) ? f ( xn?1 ) |, n ? N ? ,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,则 Sn 的最大值等于 ▲ . 14.平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,命题:
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y ? kx ? b 必经过无穷多个整点; ④存在恰经过一个整点的直线; 其中的真命题是



(写出所有真命题编号) .

二、选择题 (每小题 5 分,共 20 分) 15.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是

16.已知 ?:| z |? 1, z ? C , ?:|z ? i |? a, z ? C .若 ? 是 ? 的充分非必要条件,则实数 a 的 取值范围是 A. a ? 1 .
2

B. a ? 1 .

C. a ? 2 .
2

D. a ? 2 .

17. x0 ? 2 py0 ( p ? 0) , 若 则称点 ( x0 , y0 ) 在抛物线 C:x ? 2 py( p ? 0) 外. 已知点 P(a,b) 2 在抛物线 C: x ? 2 py( p ? 0) 外,则直线 l:ax ? p( y ? b) 与抛物线 C 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 18.在过正方体 AC1 的 8 个顶点中的 3 个顶点的平面中,能与三条棱 CD 、A1D1、 BB1 所 成的角均相等的平面共有 A.1 个. C.8 个. B.4 个. D.12 个.

三.解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面 ABC 是等腰直角三角 形,AB ? AC ? 1 , 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AA ? 2 ,E 是 BC 且 1 的中点. (1)求直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的全面积; (2)求异面直线 AE 与 AC 所成角 ? 的大小(结果用反三角函 1 数表示) ;

2/4

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2? x (a ? R) . (1)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若函数 f ( x ) 在 (??, 2] 上为减函数,求 a 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分

电视传媒为了解某市 100 万观众对足球节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调 查.如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图,将每周 平均收看足球节目时间不低于 1.5 小时的观众称为“足球迷”, 并将其中每周平均收看足球节 目时间不低于 2.5 小时的观众称为“铁杆足球迷”. (1)试估算该市“足球迷”的人数,并指出其中“铁杆 足球迷”约为多少人; (2) 该市要举办一场足球比赛, 已知该市的足球场可 容纳 10 万名观众.根据调查,如果票价定为 100 元/张, 则非“足球迷”均不会到现场观看,而“足球迷”均愿意前 往现场观看.如果票价提高 10x 元/张 ( x ? N ) ,则“足球 0.10
0.06 0.16 0.72 0.52 0.44

频率 组距

小时
0.5

迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少

0

1

1.5

2

2.5

3

10x % , “铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少

100 x % .问票价至少定为多少元/张时, x ? 11

才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过 10 万人?

3/4

22. (本题满分 16 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 已知点 P 是椭圆 C 上任一点, P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 , 点 到点 F (?1 0) 的距离 , 为 d2 ,且

d2 2 .直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A 、 B ( A , B 都在 轴上方) ,且 x ? d1 2 ?OFA ? ?OFB ? 180? .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 方程; (3)对于动直线 l ,是否存在一个定点,无论 ?OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?

若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 若数列 {an } 满足条件:存在正整数 k ,使得 an?k ? an?k ? 2an 对一切 n ? N , n ? k 都成 立,则称数列 {an } 为 k 级等差数列. (1)已知数列 {an } 为 2 级等差数列,且前四项分别为 2,0, 4,3 ,求 a8 ? a9 的值; (2)若 an ? 2n ? sin ?n(? 为常数) ,且 {an } 是 3 级等差数列,求 ? 所有可能值的集合, 并求 ? 取最小正值时数列 {an } 的前 3 n 项和 S3n ; (3)若 {an } 既是 2 级等差数列 {an } ,也是 3 级等差数列,证明: {an } 是等差数列.
?

4/4

松江区 2012 学年度第二学期月考 高三数学(文科)参考答案
2013.5 一、填空题 1. {x ? 1 ? x ? 3} 5. 3:2 9. —4 2.

1 2

3. ? 7. 8

4.

1 2

6.2 10. [?2, 0]

8.0 或 3

11.数列 { n Tn } 为等比数列,且通项为 n Tn ? b1 ( q )n ?1 . 12.

4 9
15.D

13.2 16.C

14.①④ 17.A 18. C

二选择题

三、解答题 19.(本题 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1) S ?ABC ?

1 1 1 AB ? AC ? ?1?1 ? ????(2 分) 2 2 2 S侧 ? ( AB ? BC ? AC ) ? AA1 ? (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 4 ? 2 2 ????(4 分)

∴ S全 =2S?ABC ? S侧 =5+2 2 ????(6 分) (2)取 B1C1 的中点 E1 ,连 A1E1 ,则 A1E1 // AE ,即 ?CA E1 即为异面直线 AE 与 AC 所成 1 1 的角 ? .????(2 分) 连 E1C .

在 Rt ?E1C1C 中,由 E1C1 ? 知 A1C ?

2 , CC1 ? 2 2

1 3 2 ?4 ? 2 2 在 Rt ?AC1C 中,由 AC1 ? 1 , CC1 ? 2 知 AC ? 5 ??(4 分) 1 1 1
在 ?A E1C 中, cos ? ? 1

(

2 2 3 2 2 ) ? ( 5) 2 ? ( ) 1 10 2 2 ? ? 10 2 10 2? ? 5 2

∴ ? ? arccos

10 ????(6 分) 10
?x

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 解: (1) f (? x) ? 2

? a ? 2x ????(1 分) 若 f ( x ) 为偶函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? f (? x) , x ?x ?x x x ?x x ?x 即 2 ? a ? 2 ? 2 ? a ? 2 ,2 (1 ? a) ? 2 (1 ? a) ,(2 ? 2 )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都
5/4

成立。由于 2 ? 2 不恒等于 0,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是偶函 数。????(4 分) 若 f ( x ) 为奇函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? ? f (? x) ,
x

?x

? 2? x ? a ? 2x ? 0 ,(2x ? 2? x )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都成立。由于 2 x ? 2? x 不恒等于 0,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ∴当 a ? ?1 时, f ( x ) 是奇函数。?(6 分) ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是奇函数;当 a ? ?1 时, f ( x ) 是偶函数;当 a ? ?1 时, f ( x ) 是非奇
即 2 ? a?2
x

?x

非偶函数。????(7 分) ( 2 ) 因 函 数 f ( x ) 在 (??, 2] 上 为 减 函 数 , 故 对 任 意 的 x1 ? x2 ? 2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,????(2 分)
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 1 ? a ? 2
x ? x1

? (2 x2 ? a ? 2? x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 )(1 ?

a ) ? 0 恒成立。?(4 2 2 x2
x1

a ? 0 恒成立,即 2x1 ? 2x2 ? a 恒成立。 x2 2 2 x1 x2 由于当 x1 ? x2 ? 2 时 (2 ? 2 )max ? 4 ????(6 分) ∴ a ? 4 ????(7 分)
分)由 2 1 ? 2 2 ? 0 ,知 1 ?
x x
x1

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 解: (1)样本中“足球迷”出现的频率= (0.16 ? 0.10 ? 0.06) ? 0.5 ? 16% ????(2 分) “足球迷”的人数= 100 ?16% ? 16 (万)????(2 分) “铁杆足球迷”= 100 ? (0.06 ? 0.5) ? 3 (万)
所以 16 万“足球迷”中, “铁杆足球迷”约有 3 万人. ????(6 分) (2)设票价为 100 ? 10x 元,则一般“足球迷”中约有 13(1 ? 10 x%) 万人, “铁杆足球迷”

约有 3(1 ?

100 x %) 万人去现场看球. ????(3 分) x ? 11 100 x 13x 3x %) ? 16 ? ? ? 10 ????(5 分) x ? 11 10 x ? 11

令 13(1 ? 10 x%) ? 3(1 ?
2

化简得: 13x ? 113x ? 660 ? 0

解得: x ? ?

165 , 或x ? 4 ,由 x ? N ,? x ? 4 13

??(7 分)

即平均票价至少定为 100+40=140 元,才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过 10

万人. ????(8 分) 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 解: (1)设 P( x, y) ,则 d1 ?| x ? 2 |, d 2 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ,????????(2 分)

( x ? 1) 2 ? y 2 d2 2 x2 x2 ? ? ? y 2 ? 1 ? 椭圆 C 的方程为: ? y 2 ? 1(4 分) 化简得: d1 | x?2| 2 2 2

6/4

(2) A(0,1), F (?1, 0) ? k AF ?

?OFA ? ?OFB ? 180? ? kBF
代入

1? 0 ? 1, 0 ? (?1) ? ?1, BF : y ? ?1( x ? 1) ? ? x ? 1 ????(3 分)

x2 4 ? y 2 ? 1得: 3x 2 ? 4 x ? 0 ,? x ? 0, 或x ? ? ,代入 y ? ? x ? 1 得 3 2 4 ? ?x ? ? 3 ? x?0 4 1 ? (舍),或? ,? B ( ? , ) ????(5 分) ? 3 3 ? y ? ?1 ? y?1 ? 3 ? 1 1? 3 ? 1 ,? AB : y ? 1 x ? 1,????(6 分) k AB ? 4 2 0 ? (? ) 2 3 ? (3)解法一:由于 ?OFA ? ?OFB ? 180 , k AF ? kBF ? 0 。????(1 分)
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 设直线 AB 方程: y ? kx ? b ,代入

x2 ? y 2 ? 1得: 2

1 (k 2 ? ) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 1 ? 0 ????(3 分) 2 2kb b2 ? 1 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 1 k2 ? k2 ? 2 2 y y kx ? b kx2 ? b (kx1 ? b)( x2 ? 1) ? (kx2 ? b)( x1 ? 1) k AF ? kBF ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (kx1 ? b)( x2 ? 1) ? (kx2 ? b)( x1 ? 1) ? 2kx1 x2 ? ( k ? b)( x1 ? x2 ) ? 2b

b2 ? 1 2kb ? ( k ? b) ? ? 2b ? 0 1 1 2 2 k ? k ? 2 2 ? b ? 2k ? 0 ,????(5 分) 直线 AB 方程: y ? k ( x ? 2) ? 直线 l 总经过定点 M (?2,0) ????(6 分) ? 解法二:由于 ?OFA ? ?OFB ? 180 ,所以 B 关于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF 上。 ? 2k ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), B1 ( x2 , ? y2 ) 设直线 AF 方程: y ? k ( x ? 1) ,代入
A y

x2 ? y 2 ? 1得: M 2

B

x
F
B 1

1 ( k 2 ? ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 2

O

7/4

k 2 ?1 1 1 k2 ? k2 ? 2 2 y ?y y ?y k AB ? 1 2 , AB : y ? y1 ? 1 2 ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 ,得: x1 ? x2 x1 ? x2 x ?x x y ?x y x ? x1 ? y1 1 2 ? 2 1 1 2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? k ( x1 ? 1) , ? y2 ? k ( x2 ? 1) x y ?x y x ? k ( x1 ? 1) ? x1 ? k ( x2 ? 1) 2 x1 x2 ? x1 ? x2 x? 2 1 1 2 ? 2 ? y1 ? y2 k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 ? ? 2k 2 , x1 x2 ?

k 2 ?1 2k 2 ? 1 1 k2 ? k2 ? 2 2 ? ?2 ? 2 2k 2? 1 k2 ? 2 ? 直线 l 总经过定点 M (?2,0) 2?
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 解 (1) a8 ? a2 ? 3(a4 ? a2 ) ? 0 ? 3? (3 ? 0) ? 9 ????(2 分)

a9 ? a1 ? 4 ? (a3 ? a1 ) ? 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? a8 ? a9 ? 19 ????(4 分) (2) {an } 是 3 级等差数列, an?3 ? an?3 ? 2an
2(2n ? sin ?n) ? 2(n ? 3) ? sin(?n ? 3? ) ? 2(n ? 3) ? sin(?n ? 3? )( n ? N * )??(1 分) ? 2sin ?n ? sin(?n ? 3? ) ? sin(?n ? 3? ) ? 2sin ?n cos3? ( n ? N * ) 所以 sin ? n ? 0 , 或 cos 3? ? 1 sin ? n ? 0 对 n ? N ? 恒成立时, ? ? k? (k ? Z ) 2 k? cos 3? ? 1 时, 3? ? 2k? (k ? Z ),?? ? (k ? Z ), 3 2 k? ?? ? {? | ? ? (k ? Z )} ? {? | ? ? k? (k ? Z )} ????(3 分) 3 2? 2n? ? 最小正值等于 ,此时 an ? 2n ? sin 3 3 2(3n ? 2)? 2(3n ? 1)? 2(3n)? ? sin ? sin ? 0 ( n? N* ) 由于 sin 3 3 3 * ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ? 6(3n ?1) ( n ? N )????(5 分) n[12 ? 6(3n ? 1)] S3n ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3n ? 2 ? a3n ?1 ? a3n ) ? 2 2 * ? 9n ? 3n ( n ? N )????(6 分)
8/4

(3)若 {an } 为 2 级等差数列, an?2 ? an?2 ? 2an ,则 {a2 n?1},{a2 n } 均成等差数列, 分) (1 设等差数列 {a2 n?1},{a2 n } 的公差分别为 d1 , d 2

{an } 为 3 级等差数列, an?3 ? an?3 ? 2an ,则 {a3n?2 } 成等差数列,设公差为 D a1 , a7 既是中 {a2n?1} 的项,也是 {a3n?2 } 中的项, a7 ? a1 ? 3d1 ? 2D ????(3 分) a4 , a10 既是中 {a2 n } 的项,也是 {a3n?2 } 中的项, a10 ? a4 ? 3d2 ? 2D ?3d1 ? 3d2 ? 2D ????(5 分) 设 d1 ? d2 ? 2d ,则 D ? 3d
所以 a2n?1 ? a1 ? (n ?1)d1 ? a1 ? (2n ? 2)d ( n ? N * ) , ( a2n ? a2 ? (n ?1)d2 ? a2 ? (2n ? 2)d , n ? N * ) 又 a4 ? a1 ? D ? a1 ? 3d , a4 ? a2 ? d2 ? a2 ? 2d ,所以 a2 ? a1 ? d ,????(7 分)

? a2n ? a1 ? (2n ?1)d ( n ? N * ) 综合得:? an ? a1 ? (n ?1)d ,显然 {an } 为等差数列。????(8 分)

9/4


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