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高中数学基础知识要点复习


高中数学基础知识要点复习
第一章 集合与简易逻辑
1.集合的初步知识:⑴集合的基本概念
①集合的元素:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,集合中的 叫做这个集合的元素.
若a是集合A的元素,就说a 集合A,记作 .
若a不是集合A的元素,称a 集合A,记作

.
不含任何元素的集合叫做 ,记作 .
②集合元素的特性: .
③集合的分类: .
④集合的表示法: .
⑤常见数集的记号: (自然数集)、 (正整数集)、
(整数集)、 (有理数集)、 (实数集).
⑵集合与集合的关系
①子集与真子集:对于集合A,B,若A的任何一个元素都是B的元素,就说集合B包含集合A,记作 ,此时也说集合A是集合B的 .
对于集合A与B,若 且 则A=B.
若A EMBED Equation.3 B且A=B,就说A是B的 ,记作 .
传递性:对于集合 EMBED Equation.3 ,如果 EMBED Equation.3 ,则 .
如果A B,B C,则 .
空集是 的子集, 即 .
空集是 的真子集,即 .
含n个元素的集合的子集的个数为 .
含n个元素的集合的真子集的个数为 .
②补集与全集:若A EMBED Equation.3 S,则A在S中的补集CsA= .
若一个集合含有要研究的各个集合的全部元素,则这个集合就可以看做一个全集,全集通常用U表示.
③交集与并集:A∩B= ;
A∪B= .
④摩根律:(CUA)∩(CUB)= .
(CUA)∪(CUB)= .
⑶不等式的解法
①含绝对值的不等式:|x|<a(a>0) EMBED Equation.3 .
|x|>a(a>0) EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
②一元二次不等式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a>0)的解集如下表:


EMBED Equation.3 △= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
二次函数
EMBED Equation.3
( EMBED Equation.3 )的图象
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
一元二次方程
EMBED Equation.3 有两相异实根
EMBED Equation.3 有两相等实根
EMBED Equation.3
无实根 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ⒊简易逻辑
⑴逻辑联结词: 这些词叫做逻辑联结词;
简单命题: 的命题叫做简单命题;
复合命题:由简单命题与 .构成的命题叫做复合命题.
⑵四种命题及其关系:如右图所示.
一个命题与 是等价的.
⑶反证法:通过否定 而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤:
(Ⅰ)假设 不成立,即假设 成立。
(Ⅱ)从这个假设出发,通过 ,得出矛盾。
(Ⅲ)由矛盾 ,从而肯定命题的结论正确。
⑷充分条件与必要条件:
若已知p EMBED Equation.3 q,则说 的充分条件; 的必要条件.
充要条件:若已知p EMBED Equation.3 q,则说p是q的 .
如果原命题 逆命题 ,那么p是q的充分而不必要条件;
如果原命题 逆命题 ,那么p是q的必要而不充分条件;
如果原命题与逆命题都 ,那么p是q的充要条件;
如果原命题与逆命题都 ,那么p是q的既不充分又不必要条件。
第二章 函数
1.映射的定义:映射f:A→B必须是 或 的对应,即允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象且惟一,但不要求B中的元素在A中都有原象,有原象也不要求惟一,象集可以是B的真子集.
2.函数的概念:(1)函数是一种 ,函数y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,其中x是自变量,y是自变量x的函数,f是表示 .
(2)函数三要素是 ,而 起决定作用,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有 二者完全相同的函数才是同一函数.
3.函数的单调性:(1)用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是:① ② ③ .
(2)函数图象直观反映函数变化趋势,当函数的图象(曲线)从左到右是 ,它是增函数,反之为 .
4.反函数:(1)对于任意一个函数y=f(x)不一定有反函数,如果有反函数,那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.
(2)原函数的定义域是反函数的 ,原函数的值域是反函数的 ,在求反函数时,应先确定原函数的值域.
(3)求反函数的步骤是 .在同一直角坐标系中,函数y=f(x)与x=f EMBED Equation.3 (y)是表示 图象,y=f(x)与y=f EMBED Equation.3 (x)的图象关于 对称.
⑷函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母 ;②偶次根式中被开方数 ;
③对数的真数 ,底数 ;④零指数幂的底数 .
⒌解应用问题的一般步骤是:①审题;②建模;③求模;④还原.
6.二次函数三种表示方法:(1)y= 叫做标准式;
(2)y= ,叫做顶点式;(3)y= ,叫做二根式;
二次函的图象与性质:(1)顶点是 ,对称轴是x= .?
(2)当a>0时图象开口 ;,在区间 上是减函数;
在 上是增函数,其最小值为ymin= .
当a<0时,图象开口 ,在区间 上是增函数;在 上是减函数,其最大值为ymax= .
7.指数函数 EMBED Equation.3 的图象和性质
a>1 0<a<1






质 (1)定义域: (2)值域: (3)过点: (4)在 R上是 (4)在R上是 8.指数运算法则: ; ; 。
9.对数函数 EMBED Equation.3 的性质:
a>1 0<a<1 图

象 性

质 定义域: 值域: 过点: EMBED Equation.3 时
EMBED Equation.3 时 EMBED Equation.3 时
EMBED Equation.3 时 在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是 10.对数运算法则: ; ;
; .
11.对数换底公式:
12.区间的概念和记号
定 义 名 称 符 号 {x|a EMBED Equation.3 x EMBED Equation.3 b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间 {x|a EMBED Equation.3 x<b} 左闭右开区间 {x|a<x EMBED Equation.3 b} 左开右闭区间 实数集R可用区间表示为(- EMBED Equation.3 ,+ EMBED Equation.3 ),还可把满足x EMBED Equation.3 a,x>a,x EMBED Equation.3 b,x<b的实数x的集合分别表示为 .表示连续实数集合就有了三种方法:即 、 、 .
13.函数图像变换:要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。
⑴平移变换:y=f(x)——————————————————→y=f(x+a), y=f(x)+b ;
⑵对称变换:y=f(x)——————————————————→y=f(-x),关于 对称;
y=f(x)——————————————————→y=-f(x),关于 对称;
y=f(x)→y=f|x|,把 图象保留,x轴下方的图象关于 对称;
y=f(x)→y=|f(x)|把 图象保留,然后将y轴右边部分关于 对称。
⑶伸缩变换:y=f(x)———————————————————————→y=f(ωx),
y=f(x)————————→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线 对称;

数列
⒈ 数列的有关概念:
⑴ 数列:按照一定 的一列数叫做数列,简记为{an}. 数列中的每一个数都叫做这个数列的 .符号{an}是 …的简记形式,a1叫数列的 ,an是数列的 ;
数列可以看作是一种特殊的 :它是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列 ;
⑵ 通项公式与递推公式:如果数列{an}的 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 .
如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任意一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 .
⑶ 数列的前n项和:数列{an}中, 称为数列{an}的前n项和,记为Sn.
Sn与an之间有以下关系:an= .
⒉ 等差数列与等比数列

等 差 数 列 等 比 数 列 定义 通项公式 中项公式 前n项和公式

质 ①


④ ①


④ 第四章 三角函数
1. 角的概念的推广
⑴“旋转”形成角,注意:“顶点”“始边”“终边”
⑵正角与负角由旋转的 所决定的。零角为 .
⑶象限角:角的顶点重合于坐标 ,角的始边重合于 ,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是 (角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何 )。
⑷终边相同的角:所有与(终边相同的角构成集合
第一象限角的集合为 第二象限角的集合为
第三象限角的集合为 第四象限角的集合为
终边在 EMBED Equation.3 轴上的角的集合 终边在y轴上的角的集合
2. 弧度制
⑴定义:长度等于 长的弧所对的 称为1弧度的角。
⑵角(的弧度数的绝对值: ( EMBED Equation.3 为弧长, EMBED Equation.3 为半径)
⑶角度制与弧度制的换算:1rad= 1(= rad
⑷扇形面积公式:S= (其中 EMBED Equation.3 是扇形弧长, EMBED Equation.3 是圆的半径)
3. 任意角的三角函数
⑴定义:设(是一个任意角,在(的终边上任取一点P(x,y),P与原点的距离r=
则sin EMBED Equation.3 = cos EMBED Equation.3 = tan EMBED Equation.3 = cot EMBED Equation.3 = sec EMBED Equation.3 = csc EMBED Equation.3 =
定义域: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
⑵三角函数值在各象限的符号:
记忆法则:
EMBED Equation.3 为 全
EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 为
⑶特殊角三角函数值
角α(角度) 0○ 30○ 45○ 60○ 90○ 180○ 270○ 360○ 角α(弧度) sin EMBED Equation.3 cos EMBED Equation.3 tan EMBED Equation.3
4. 同角三角函数的基本关系
⑴平方关系: ; ;
⑵商数关系: ;
⑶倒数关系: ; ;
6. 诱导公式
⑴ sin(k 360(+() = , cos(k 360(+() = . tan(k360(+() = ,
⑵ sin(180(+() = , cos(180(+() = . tan(180(+() = ,
⑶ sin((() = , cos((() = , tan((() = ,
⑷ sin(180((() = , cos(180((() = . tan(180((() =
⑸ sin(360((() = , cos(360((() = . tan(360((() = ,
⑹ sin(90( (() = , cos(90( (() = . tan(90( (() = ,
⑺ sin(90( +() = , cos(90( +() = . tan(90( +() = ,
⑻ sin(270( (() = , cos(270( (() = . tan(270( (() = ,
⑼ sin(270( +() = , cos(270( +() = . tan(270( +() = ,
记忆口诀:
7. 两角和与差的三角函数
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;
tg(α+β)= ; tg(α-β)=
8. 二倍角公式
sin2α= ;cos2α= = = ;tan2α=
9.半角公式: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = =
10. 积化和差公式
sinαcosβ= ; cosαsinβ= ;
cosαcosβ= ; sinαsinβ= .
11. 和差化积公式
sinα+sinβ= ; sinα-sinβ= ;
cosα+cosβ= ;cosα-cosβ= .
12. 万能公式: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
由三角恒等式派生的公式 ⑴ sinα±cosα= EMBED Equation.3 sin EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 cos EMBED Equation.3 .
⑵ (sinα±cosα)2=1±sin2α.⑶ 1+cosα=2cos2 EMBED Equation.3 ,⑷ 1-cosα=2sin2 EMBED Equation.3 ,
⑸ asinα+bcosα= EMBED Equation.3 sin(α+φ)= EMBED Equation.3 cos(α-φ1)
13. 三角函数的图象和性质
函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 值域 最 值 当x= ymax=1
当x= ymin=-1 当x= ymax =1
当x= ymin=-1 奇偶性 周期 单调性 x∈ 递增
x∈ 递减 x∈ 递增
x∈ 递减 x∈ 递增 14. 已知三角函数值求角
⑴已知 EMBED Equation.3 ,
①当 EMBED Equation.3 =-1时,x= ;②当 EMBED Equation.3 时,x= ;
③当 EMBED Equation.3 时,x= ;④当 EMBED Equation.3 时,x= ;
⑤当 EMBED Equation.3 =1时,x= ;
⑵已知 EMBED Equation.3 ,
①当 EMBED Equation.3 =-1时,x= ;②当 EMBED Equation.3 时,x= ;
③当 EMBED Equation.3 时,x= ;④当 EMBED Equation.3 时,x= ;
⑤当 EMBED Equation.3 =1时,x= ;
⑶已知 EMBED Equation.3 ,
①当 EMBED Equation.3 <0时,x= ;②当 EMBED Equation.3 时,x= ;
③当 EMBED Equation.3 >0时,x= ;
15. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞]表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做振动的 ;往往振动一次所需要的时间T= EMBED Equation.3 ,它叫做振动的 ;单位时间内往复振动的次数f= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ,它叫做振动的 ;ωx+φ叫做 ,φ叫做 .
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象可以看作用下面的方法得到:先把y=sinx的图象上的所有的点向 (φ>0)或向 (φ<0=平移 个单位,再把所得各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1=到原来的 倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标 (A>1)或 (0<A<1=到原来的 倍(横坐标不变).
若是先压缩后平移,此时平移的量为 个单位.






















平面向量知识要点
1.向量的概念
⑴向量的定义: 叫做向量。
⑵向量的模(长度):①设 a = ( x , y ), 则│a│= ;
②若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
│a│= .
⑶零向量: 叫做零向量;
⑷单位向量: 叫做单位向量;
⑸共线向量: 叫做共线向量;

⑹平行向量: 叫做平行向量;
⑺相等向量: 叫做相等向量;
⑻相反向量: 叫做相反向量.
2. 向量的运算:
运 算 定义(法则) 运算律 坐标运算 加 法 运 算

减 法 运 算

实数与向量的积

平面向量的数量积


3. 平面向量的基本定理:
如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么

4. 两个向量平行和垂直的充要条件: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ∥ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 的夹角 EMBED Equation.3 。
5. 线段的定比分点坐标公式:
设 EMBED Equation.3 ,且 EMBED Equation.3 ,则 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 时,得中点坐标公式: EMBED Equation.3
6. 平移公式
点 EMBED Equation.3 按 EMBED Equation.3 平移到 EMBED Equation.3 ,则 EMBED Equation.3
7. 解斜三角形
(1)正弦定理: EMBED Equation.3 = = 。

(2)余弦定理: EMBED Equation.3


EMBED PBrush





步骤1

画出正弦曲线在长度为2л的闭区间上的简图

步骤2

步骤3

得到sin(x+ EMBED Equation.3 ),x∈R在长度为2л的某闭区间上的简图

得到sin(ωx+ EMBED Equation.3 ),x∈R在长度为一个周期的闭区间上的简图

步骤4

步骤5

得到Asin(ωx+ EMBED Equation.3 ),x∈R在长度为一个周期的闭区间上的简图





得到Asin(ωx+ EMBED Equation.3 ),x∈R的简图






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