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广东省东莞市2013届高三数学(文)小综合专题练习:不等式


2013 届高三文科数学小综合专题练习——不等式

一、选择题
1.在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是 A. y ? x ? D. y ? e ?
x

1 x

B. y ? cos x ?

1 ? (0 ? x ? ) cos x 2

C. y ?



x2 ? 3 x2 ? 2

4 ?2 ex

2.某加工厂用某原料由车间加工出 A 产品, 由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需 耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品, 每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料 需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天 功能完成至多 70 多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、 乙两车间每天获利最大的生产计划为 A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 3.下列三个不等式中,恒成立的个数有 ①

ac2 ? bc2

(a ? b, c ? R)





a?m a ? (a, b, m ? 0, a ? b) b?m b
A. 3
2

c c ? ( a ? b ? c ? 0) a b





B. 2

C. 1

D. 0
2

4.不等式 ax ? x ? c ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} ,则不等式 cx ? x ? a ? 0 的解集为 A. {x | ?1 ? x ? } 或 x ? 1} 5.已知 a, b 都是正实数,函数 y ? 2ae ? b 的图象过 (0,1) 点,则
x

1 2

B. {x | ?

1 ? x ? 1} 2

C. {x | x ? ?1 或 x ?

1 } 2

D. {x | x ? ?

1 2

A. 3 ? 2 2

B. 3 ? 2 2

C. 4

1 1 ? 的最小值是 a b D. 2

二、填空题

?x ? y ? 0 ? 6.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 0 ( a 为正整数)表示的平面区域的面积是 4 , ?x ? a ?
则 2 x ? y 的最大值为 .

7. 当 x ? (1,2) 时 , 不 等 式 x ? m x ? 4 ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
2



.

? x ? 2 y ? 10 ?2 x ? y ? 3 ? 8.设不等式组 ? 所表示的平面区域为 D ,则区域 D 中的点 P( x, y) 到直线 0? x?4 ? ?y ?1 ?
x ? y ? 10 的距离的最大值是
9.已知 x, y 满足 ? .

?x ? y ? 1 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? y 仅在 (?1,0) 处取得最大值,则实 ?2 x ? y ? 2 ? 0
.

数 a 的取值范围是

?y ? x ? 10.已知 z ? 2 x ? y ,其中 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则实数 ?x ? m ?

m?
三、解答题

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11.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨、硝 酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨。先库存磷 酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料。若生产 1 车皮甲种肥料产生 的利润为 10000 元;生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 5000 元。那么分别生产甲、乙两 种肥料各多少车皮能产生最大的利润?

12.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货 车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台,若每辆货车至多只运一次,则如何安排车辆能使 该厂所花的运输费用最少,并求出最小费用.

13.记关于 x 的不等式

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 | x ? 1 |? 1 的解集为 Q . x ?1

(1)若 a ? 3 ,求 P ;(2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

14.某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需各种费用 12 万元,从第 二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加 4 万元,该船每年捕捞的总收 入为 50 万元. (1)该船捕捞几年开始盈利? (2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种: ①当年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格卖出; ②当盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出. 问哪一种方案较为合算,请说明理由.

2013 届高三文科数学小综合专题练习——不等式 参考答案
1 4 11.解:设生产甲种肥料 x 车皮,生产乙种肥料 y 车皮,设分别生产甲、乙两种肥料各 x、 y
1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 6. 6 7. (??,?5] 8. 4 2 9. (??,?2] 10.

?4 x ? y ? 10 ?18x ? 15 y ? 66 ? ? 车皮产生的利润为 z ,则 ? x ? 0 ① ?y ? 0 ? ? x, y ? Z ?
x 目标函数 z ? 10000 ? 5000y .
不等式组①所表示的平面区域如右图中的阴影部分. 由 z ? 1000x ? 5000y 得: y ? ?2 x ? 由?

1 z 5000

?4 x ? y ? 10 ?x ? 2 ,即两直线的交点 M (2,2) . ?? ?18x ? 15y ? 66 ? y ? 2
1 1 z 经过点 M (2,2) 时, z 最大, z 它在 y 轴上的截距 即 5000 5000

当直线 y ? ?2 x ? 最大.

? z max ? 10000? 2 ? 5000? 2 ? 30000
答:分别生产甲、乙两种肥料各 2 车皮时产生的利润最大为 30000 元.

12.解:设每天安排甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,该厂每天所花的运输费用为 z 元.

?0 ? x ? 4, x ? N ?0 ? x ? 4, x ? N ? ? 则 ?0 ? y ? 8, y ? N ,即 ?0 ? y ? 8, y ? N ?20x ? 10 y ? 100 ?2 x ? y ? 10 ? ?
目标函数为: z ? 400x ? 300y 不等式组所表示的平面区域如右图中的阴影部分 由 z ? 400x ? 300y 得: y ? ? 当直线 y ? ? 解方程组 ?

y

y ?8

?A

4 1 x? z 3 300

o
x?4

x
2 x ? y ? 10

4 1 1 x? z 经过点 A 时,截距 z 最小,即 z 最小 3 300 300

?x ? 4 ?x ? 4 ,得 ? ,即 A(4,2) ?2 x ? y ? 10 ?y ? 2

? z min ? 400? 4 ? 300? 2 ? 2200
答:每天安排甲型货车 4 辆,乙型货车 2 辆,能使该厂每天所花的运输费用最少为

2200 元.

13.解:(1)由

x?3 ? 0 ,得 ( x ? 3)(x ? 1) ? 0 ,? ?1 ? x ? 3 , x ?1

? P ? {x | ?1 ? x ? 3}
(2) Q ? {x | 0 ? x ? 2} , 由 a ? 0 ,得 P ? {x | ?1 ? x ? a} ,又 Q ? P ,所以 a ? 2 , 故 a 的取值范围是 (2, ?) . ?

14.解:(1)设捕捞 n 年后开始盈利,盈利为 y 元,则

y ? 50 n ? [12 n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 98 2

? ?2n 2 ? 40n ? 98
由 y ? 0 ,得 n ? 20n ? 49 ? 0
2

?10 ? 51 ? n ? 10 ? 51
? n ? N * ,? 3 ? n ? 17
所以捕捞 3 年后,开始盈利. (2)①平均盈利为

y 98 49 ? ?2n ? ? 40 ? ?2(n ? ) ? 40 ? ?28 ? 40 ? 12 n n n 98 当且仅当 2n ? ,即 n ? 7 时,年平均利润最大. n
∴经过 7 年捕捞后年平均利润最大,共盈利 12 ? 7 ? 26 ? 110 万元.

②? y ? ?2n 2 ? 40n ? 98 ? ?2(n ? 10) 2 ? 102 ∴当 n ? 10 时, y 的最大值为 102 即经过 10 年捕捞盈利额最大,共盈利 102 ? 8 ? 110 万元. 故两种方案获利相等,但方案②的时间长,所以方案①合算.


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