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haoti数列知识点学生版


等差等比数列
一.知识点: 1.通项公式: ①等差数列 ?an ? 的通项公式为: ②等比数列 ?an ? 的通项公式为: 2.前 n 项和公式 Sn : 。 。 。

①等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为:

②等比数列 ?an ? 的前 n 项和公式为:

。 (注意: q =1 与 q ? 1 的分类讨论)

4.等差中项和等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使得 a ,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 则 A= 。(唯一确定) 如果在 a 与 b 中间插入一个数 C,使得 a ,C,b 成等比数列,那么 C 叫做 a 与 b 的 则 C= 。(注意为 0 的问题和不唯一的问题) 5.等差(等比)数列 ?an ? 中 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ???, Skn ? S? k ?1?n , ??? 为 6.等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 7.等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 8.两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 9.两等比数列{an}与{bn}的积、 商、 倒数组成的数列{an ? bn}、?

, ,

______数列.

? an ? ? 1 ? ? 、? ? 仍为等比数列。 ? bn ? ? b n ?

10.等差(等比)数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列。 11.三个数成等差(等比)的设法: ;四个数成等差(等比)的设法: 12.{an}为等差数列,则 c 14. 在等差数列 ?an ? 中: (1)若项数为 2 n ,则

? ? (c>0)是
an

数列 数列。

13.{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c ? 1) 是

S偶 ? S奇 ?


S偶 S奇 S奇 S偶 ?

?
, S 2n?1 ? an?1 ? (2n ? 1)

(2)若数为 2n ? 1 则, S奇 ? S偶 ? 15. 在等比数列 ?an ? 中: (1)若项数为 2 n ,则

S偶 S奇

?q

(2)若数为 2n ? 1 则,

S 奇 ? a1 S偶

?q
)

二.例题: 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=( A 33 B 72 C 84 D 189 2. 设 ?an ? 是公差为正数的等差数列, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2 a3 ? 80 , 则 a1 ?a a ? 1 2 ? 1 3 A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

S3 1 S6 3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = ( S6 3 S12 3 1 1 A. B. C. 10 3 8

)

D.

1 9

4..已知数列 {an } 、{bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于( a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) A.55 B.70 C.85 D.100 )

5..在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于 A.

2n?1 ? 2

B . 3n

C. )条件.

2n

D.

3n ? 1

6. a, b, c 成等比数列是 b ? ac 的(

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要
) D.

7. 如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A. B. C. a1a8 ? a4 a5 a1a8 ? a4 a5 a1 ? a8 ? a4 ? a5

a1a8 ? a4 a5

8.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2



9. 等差数列 ?an ? 中, 7a5 ? 5a9 ? 0 ,且 a9 ? a5 ,则使数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 最小的 n 为 ( )

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8


2 10.等差数列 ?an ? 的各项均不为零,且 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,则 S2n?1 ? 4n ? (

A. ?2

B. 0

C. 1

D. 2

11. 若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是(
A. 4005 B. 4006

) C. 4007 D.4008

12 设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为 三.练习 .

? 1 a ? 1 ? 2 n 1.设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 偶 数
,

n为 奇 数

1 ,n=l,2,3,…· . (I)求 a2,a3; 4

(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

2.

已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比 较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

3. 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列, lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列.又 bn ?
n ? 1, 2,3,? . (Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列;

1 , a2n

(Ⅱ) 如果数列 ?bn ? 前 3 项的和等于

7 ,求数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d . 24

4.已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

5 设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 2

递推公式的几种方法
1、作差求和法 例 1 在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?

1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)

2、作商求和法
2 2

例 2 设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且

,则它的通项公式是 an =▁▁ (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 (n=1,2,3…) 3、换元法 例 3 已知数列{ an },其中 a1 ?

4 13 , a 2 ? ,且当 n≥3 时, 3 9

1 a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ,求通项公式 an 3
4、积差相消法 例 4 设正数列 a0 ,a1 ,an …,an ,…满足 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ?2 = 2a n ?1

(n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1,求 {an } 的通项公式.
5、 取倒数法例 5 已知数列{ an }, 其中 a1 ? 1, , 当 n≥2 时,a n ?
2

a n ?1 , 求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1

6、取对数法

例 7 数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) ,求通项公式 an 例 8 若数列{ an }中, a1 =2 且 a n ?
2 3 ? an ,求 an . ?1 (n ? 2 )

7、平方(开方)法 八、待定系数法

1、 an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 a n ?1 ? ? =A( an ? ? )的形式. 例 8 若数列{ an }中, a1 =1,且 S n?1 ?
n

Sn (n ? 1 ) ,求通项公式 an 3 ? 4S n

2、 an?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数)型,可化为 an?1 ? ? ? C n?1 = A(an ? ? ? C n )的 形式. 例 9 在数列{ an }中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , 求通项公式 an 。

3、 an?2 ? A ? an?1 ? B ? an 型,可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( A ? ? ) ? (an?1 ? ?an ) 的形式。 例 10 在数列{ an }中, a1 ? ?1, a2 ? 2 ,当 n ? N , an?2 ? 5an?1 ? 6an 求通项公式 an . 4、 an?1 ? Aan ? Bn ? C 型,可化为 an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式。 例 12 在数列{ an }中, a1 ?

3 , 2an ? an?1 =6 n ? 3 求通项公式 an . 2
1 1 ( an + ) ,求其通项公式。 2 an

九、猜想法例 13 在各项均为正数的数列 {an } 中, Sn =



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