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haoti数列知识点学生版


等差等比数列
一.知识点: 1.通项公式: ①等差数列 ? an ? 的通项公式为: ②等比数列 ? an ? 的通项公式为: 2.前 n 项和公式 S n : 。 。 。

①等差数列 ? an ? 的前 n 项和公式为:

②等比数列 ? an ? 的前 n 项和公式为:

。 (注意: q =1 与 q ? 1 的分类讨论)

4.等差中项和等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使得 a ,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的 则 A= 。(唯一确定) 如果在 a 与 b 中间插入一个数 C,使得 a ,C,b 成等比数列,那么 C 叫做 a 与 b 的 则 C= 。(注意为 0 的问题和不唯一的问题) 5.等差(等比)数列 ? an ? 中 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n , ???, S kn ? S? k ?1? n , ??? 为 6.等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 7.等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 8.两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 9.两等比数列{an}与{bn}的积、 商、 倒数组成的数列{an ? bn}、?

, ,

______数列.

? an ? ? 1 ? ? 、? ? 仍为等比数列。 ? bn ? ? b n ?

10.等差(等比)数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列。 11.三个数成等差(等比)的设法: ;四个数成等差(等比)的设法: 12.{an}为等差数列,则 c 14. 在等差数列 ?a n ?中: (1)若项数为 2n ,则

? ? (c>0)是
an

数列 数列。

13.{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c ? 1) 是

S偶 ? S奇 ?


S偶 S奇 S奇 S偶 ?

?
, S 2 n ?1 ? a n ?1 ? (2n ? 1)

(2)若数为 2n ? 1 则, S 奇 ? S 偶 ? 15. 在等比数列 ?a n ?中: (1)若项数为 2n ,则

S偶 S奇

?q

(2)若数为 2n ? 1 则,

S 奇 ? a1 S偶

?q

二.例题: 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=( A 33 B 72 C 84 D 189

)

a ? 2. 设 ? an ? 是公差为正数的等差数列, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2 a3 ? 80 , 则 a1 ?a 1 2 ?1 3
A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

S3 1 S6 3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = ( S6 3 S12 3 1 1 A. B. C. 10 3 8

)

D.

1 9

4..已知数列 {a n } 、{bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 ,

a1 , b1 ? N * .设 c n ? abn ( n ? N * ) ,则数列 {c n } 的前 10 项和等于(
A.55 B.70 C.85 D.100



5..在等比数列 ? an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数列,则 S n 等于 A.

2n ?1 ? 2

B . 3n

C. )条件.

2n

D.

3n ? 1

6. a, b, c 成等比数列是 b ?

ac 的(

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要
) D.
a1a8 ? a4 a5

7. 如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A. B. C. a1a8 ? a4 a5 a1a8 ? a4 a5 a1 ? a8 ? a4 ? a5

8.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2



9. 等差数列 ? an ? 中, 7a5 ? 5a9 ? 0 ,且 a9 ? a5 ,则使数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 最小的 n 为 ( )

A. 5

B. 6
2

C. 7

D. 8


10.等差数列 ? an ? 的各项均不为零,且 an ?1 ? an ? an ?1 ? 0(n ? 2) ,则 S2 n ?1 ? 4n ? ( A. ?2 B. 0 C. 1 D. 2

11. 若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是(
A. 4005 B. 4006

) C. 4007 D.4008

12 设等比数列 {a n } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为 三.练习 .

? 1 a ? 1 ? 2 n 1.设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 偶 数
,

n为 奇 数

1 ,n=l,2,3,…· . (I)求 a2,a3; 4

(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

2.

已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比 较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

3. 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列, lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列.又 bn ?

1 , a2 n

n ? 1, 2,3,? . (Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列;
(Ⅱ) 如果数列 ?bn ? 前 3 项的和等于
7 ,求数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d . 24

4.已知数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

5 设正项等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nS n ?的前 n 项和 Tn 。

1 10 10 ,前 n 项和为 S n ,且 2 S 30 ? (2 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。 2

递推公式的几种方法
1、作差求和法 例 1 在数列{ a n }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?

1 ,求通项公式 a n . n(n ? 1)

2、作商求和法
2 2

例 2 设数列{ a n }是首项为 1 的正项数列,且

(n ? 1)a n ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0 (n=1,2,3…) ,则它的通项公式是 a n =▁▁
3、换元法 例 3 已知数列{ a n },其中 a1 ?

4 13 , a 2 ? ,且当 n≥3 时, 3 9

1 an ? a n?1 ? (an?1 ? an?2 ) ,求通项公式 a n 3
4、积差相消法 例 4 设正数列 a 0 ,a1 , a n …,a n ,…满足 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ? 2 = 2a n ?1

(n ? 2) 且 a 0 ? a1 ? 1 ,求 {a n } 的通项公式.
5、 取倒数法例 5 已知数列{ a n }, 其中 a1 ? 1, , 当 n≥2 时,a n ?
2

a n ?1 , 求通项公式 a n 。 2a n ?1 ? 1

6、取对数法

例 7 数列{ a n }中, a1 =3 且 a n ?1 ? a n (n 是正整数) ,求通项公式 a n 例 8 若数列{ a n }中, a1 =2 且 a n ?
2 3 ? an ,求 a n . ?1 (n ? 2 )

7、平方(开方)法 八、待定系数法

1、 a n ?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 a n ?1 ? ? =A( a n ? ? )的形式. 例 8 若数列{ a n }中, a1 =1,且 S n ?1 ?

Sn (n ? 1 ) ,求通项公式 a n 3 ? 4S n
n ?1

n 2、 a n ?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数)型,可化为 a n ?1 ? ? ? C

= A(a n ? ? ? C )的
n

形式.

例 9 在数列{ a n }中, a1 ? ?1, a n ?1 ? 2a n ? 4 ? 3

n ?1

, 求通项公式 a n 。

3、 a n ? 2 ? A ? a n ?1 ? B ? a n 型,可化为 an ? 2 ? ?a n?1 ? ( A ? ? ) ? (a n?1 ? ?a n ) 的形式。 例 10 在数列{ a n }中, a1 ? ?1, a 2 ? 2 ,当 n ? N , a n ? 2 ? 5a n ?1 ? 6a n 求通项公式 a n . 4、 a n ?1 ? Aan ? Bn ? C 型,可化为 a n ?1 ? ?1 n ? ? 2 ? A[a n ? ?1 (n ? 1) ? ? 2 ] 的形式。 例 12 在数列{ a n }中, a1 ?

3 , 2a n ? a n ?1 =6 n ? 3 求通项公式 a n . 2
1 1 ) ,求其通项公式。 ( an + an 2

九、猜想法例 13 在各项均为正数的数列 {an } 中, S n =


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