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【成才之路】2012-2013高中数学 3-5-4第4课时 简单的线性规划习题课同步检测 新人教B版必修5


3.5
一、选择题

第 4 课时 简单的线性规划习题课基础巩固
)

1.(x-2y+1)(x+y-3)<0 表示的平面区域为(

[答案] C [解析] 将点(0,0)代入不等式,符合题意,否定 A、B,代入(0,4)点,符合题意,舍 去 D,故选 C.

?x-y≥0

?2x+y≤2 2.若不等式组? y≥0 ?x+y≤a ?
( ) 4 A.a≥ 3 4 C.1≤a≤ 3 [答案] D

,表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是

B.0<a≤1 4 D.0<a≤1 或 a≥ 3

[解析] 由图形知,要使平面区域为三角形,只需直线 l:x+y=a 在 l1、l2 之间或在

l3 上方.

1

3.在坐标平面上,不等式组?

?y≥x-1, ? ? ?y≤-3|x|+1

所表示的平面区域的面积为( 3 2

)

A. 2 C. 3 2 2

B.

D.2

[答案] B [解析] 不等式组?
? ?y≥x-1 ?y≤-3|x|+1 ?

的图形如图.

1 1 解得:A(0,1) D(-1,0) B(-1,-2)C( ,- ) 2 2 1 1 1 ∴S△ABC= ×|AD|×|xC-xB|= ×2×( +1) 2 2 2 3 = ,故选 B. 2

?x-y+2≤0 ? 4.已知变量 x、y 满足约束条件?x≥1 ?x+y-7≤0 ? ?9 ? A.? ,6? ?5 ?

,则 的取值范围是(

y x

)

9? ? B.?-∞, ?∪[6,+∞) 5? ?
2

C.[3,6] [答案] A

D.(-∞,3]∪[6,+∞)

[解析] 由约束条件画出可行域如图, 可看作是点(x,y)与原点连线的斜率,

y x

y ?9 ? 所以 ∈[kOC,kOA]=? ,6?. x ?5 ?

?2x+y≤40 ?x+2y≤50 5.若变量 x,y 满足? x≥0 ?y≥0 ?
A.90 C.70 [答案] C

,则 z=3x+2y 的最大值是(

)

B.80 D.40

[解析]

?2x+y≤40 ?x+2y≤50 由? x≥0 ?y≥0 ?

得可行域如图所示.

将 l0:3x+2y=0 在可行域内平行移动,移动到 B 点可得 z=3x+2y 的最大值. 由?
?x+2y=50 ? ? ?2x+y=40

,得 B 点坐标为(10,20),

∴zmax=3×10+2×20=70,故选 C.

3

?y+x-1≤0, ? 6.已知变量 x、y 满足约束条件?y-3x-1≤0, ?y-x+1≥0, ?
A.4 C.1 [答案] B [解析] 作出如图可行域. B.2 D.-4

则 z=2x+y 的最大值为(

)

根据图形知在点 B 处取得最大值.

zmax=2×1+0=2.
二、填空题

?x+y≥2, ? 7.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y≤4, ?x-y≥0. ?
[答案] 4

则 2x+3y 的最小值是________.

[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分):

4

当直线 l0 平移到过 A(2,0)点时,2x+3y 取最小值. (2x+3y)min=2×2+0=4. 8.由直线 x+y+2=0,x+2y+1=0 和 2x+y+1=0 围成的三角形区域(包括边界)用 不等式可表示为______.

?x+y+2≥0 ? [答案] ?x+2y+1≤0 ?2x+y+1≤0 ?
[解析] ∵三角形区域在直线 x+y+2=0 的右上方, 又原点在直线 x+y+2=0 的右上方,且 0+0+2>0, ∴三角形区域在 x+y+2≥0 的区域,

同理可确定三角形区域在 x+2y+1≤0 和 2x+y+1≤0 的区域内. 故该平面区域用不等式表示为

?x+y+2≥0 ? ?x+2y+1≤0 ?2x+y+1≤0 ?
三、解答题

.

?x-y+2≥0 ? 9.已知?x+y-4≥0 ?2x-y-5≤0 ?

,求:

(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x +y -10y+25 的最小值. [解析] 作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).
2 2

5

(1)易知可行域内各点均在直线 x+2y-4=0 的上方, 故 x+2y-4>0,将 C(7,9)代入 z 得最大值为 21. (2)z=x +(y-5) 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作直 9 2 线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上,故 z 的最小值为|MN| = . 2 能力提升 一、选择题
2 2

?x≥0 ? 1.不等式组?x+3y≥4 ?3x+y≤4 ?
A. 3 2 2 B. 3

所表示的平面区域的面积等于(

)

4 C. 3

3 D. 4

[答案] C [解析] 不等式组表示的平面区域如图所示,

?x+3y=4 ? 由? ? ?3x+y=4

,得点 A 坐标为(1,1).

? 4? 又 B、C 两点坐标分别为(0,4)、?0, ?, ? 3?
1 ? 4? 4 ∴S△ABC= ×?4- ?×1= . 2 ? 3? 3

6

?x-y≥-1 ? 2. 设变量 x、 满足约束条件?x+y≥1 y ?3x-y≤3 ?
A.4 C.12 [答案] B

, 则目标函数 z=4x+y 的最大值为(

)

B.11 D.14

[解析] 画出可行域可知目标函数最优解为 A(2,3), 所以 ymax=4×2+3=11.

二、填空题

?x-y+3≥0 ? 3. 设变量 x、 满足约束条件?x+y≥0 y ?-2≤x≤3 ?
3 [答案] - 2

, 则目标函数 2x+y 的最小值为________.

3 ? 3 3? [解析] 设 z=2x+y,画出可行域如图,最优解为 M?- , ?,zmin=- . 2 ? 2 2?

7

?x+y≤5, ?2x+y≤6, 4.图中阴影部分的点满足不等式组? x≥0, ?y≥0, ?
6x+8y 取得最大值的点的坐标是________.

在这些点中,使目标函数 k=

[答案] (0,5) 3 k 3 [解析] ∵直线 k=6x+8y 即 y=- x+ 的斜率 k1=- >-1.故经过点(0,5)时.直 4 8 4 线的纵截距 最大.从而 k 最大. 8 三、解答题 5.已知 f(x)=ax -c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. [分析] 这是一个不等式问题, 似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关, 但仔细分 析后可发现,本题的实质是:
?-4≤a-c≤-1, ? 已知实数 a、c 满足不等式组? ? ?-1≤4a-c≤5
2

k

.

求 9a-c 的最值,此即线性规划问题,因此可以用线性规划的方法求解.
? ?-4≤a-c≤-1, [解析] 由已知得? ?-1≤4a-c≤5. ?

?a-c≥-4, ?a-c≤-1, 即? 4a-c≥-1, ?4a-c≤5; ?
目标函数 f(3)=9a-c.令 z=9a-c 作出可行域,如图

8

由图可知,目标函数 z=9a-c 分别在点 A、B 处取得最值.
?4a-c=-1, ? 由? ? ?a-c=-1, ? ?a-c=-4, 由? ? ?4a-c=5,

得 A(0,1).

得 B(3,7).

将两组解分别代入 z=9a-c 中得 z 的两个最值分别为-1 和 20.∴-1≤z≤20, ∴f(3)的取值范围为[-1,20]. 6.关于 x 的方程 x +ax+2b=0 的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内,求 围. [解析]
2

b-2 的取值范 a-1

b-2 2 可以转化为点(a,b)与 M(1,2)连线的斜率.由题知 x +ax+2b=0 两根在(0,1)与 a-1
(1,2)内,

?b>0 ? 可令 f(x)=x +ax+2b.必满足 f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即?1+a+2b<0 ?2+a+b>0 ?
2

,由线

性规划可知: 点 M(1,2)与阴影部分连线的斜率 k 的取值范围为 kAM<k<kBM, ∵A(-3,1),B(-1,0),
9

1 b-2 ∴ < <1. 4 a-1

10


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