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2013高中数学高考题详细分类考点32 数学归纳法


考点 32 数学归纳法
一、填空题 1. ( 2013 ·湖北高考理科·T 14 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过 各 种 多 边 形 数 , 如 三 角 形 数 1,3,6,10 , … , 第 n 个 三 角 形 数 为
n(n ? 1) 1 2 1 ? n ? n ,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k ≥ 3), 以下列出了部分 k 边 2

2 2

形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 N(n,3)=
1 2 1 n ? n, 2 2

N(n,4)=n 2, N(n,5)=
3 2 1 n ? n, 2 2

N(n,6)= 2n 2 ? n ,

……………………………………… 可以推测 N(n,k) 的表达式,由此计算 N(10,24)= 【解题指南】归纳出结论,代入数值计算。 【解析】 三角形数 正方形数
1 1 N (n,3) ? n2 ? n , 2 2

N (n, 4) ? n2

= ( ? )n 2 ? ( ? )n ,
2个 1 2

1 1 2? 2 ? ?

1 2

1 2

五边形数

1 1 1 2 1 1 1 3 1 N (n,5) ? n2 ? n = ( ? ? )n ? ( ? ? )n , 2 2 2? 2? 2 2 2 2 ? ? ?
3个 1 2

六边形数

N (n,6) ? 2n2 ? n = ( ?

1 1 1 1 2 1 1 1 1 ? ? )n ? ( ? ? ? )n = , 2? 2?? 2? 2 2 2? 2 2 ? ? ? ??
4个 1 2 2个? 1 2

……………………………………… 推测 k 边形

1 1 N (n, k ) ? ( 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1 )n 2 ? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 )n ? (k ? 2)n 2 ? (k ? 4)n . 2 2 2? 2 2 2 2? 2 2 2 ? ???2 ?? ? ? ??? ?
( k ?2)个 1 2 ( k ? 4 ) 个? 1 2

所以 N (10,24) ? ? (24 ? 2) ?10 2 ? ? (24 ? 4) ?10 ? 1100 ? 100 ? 1000 . 【答案】 1000 二、解答题 2.( 2013 ·江苏高考数学科·T 23 )设数列 1,-2 ,-2 ,3,3 ,3,-4,-4, -4, -4,………,
an ? (?1)k k 。记 Sn ? a1 ? a2 ?

1 2

1 2

… ,即当

(k ? 1)k (k ? 1) k ?n? (k ? N * ) 时 2 2

? an (n ? N * ) . 对于 l ? N * ,定义集合 P l={n|S n 为 a n 的

整数倍 , k ? N * ,且 1≤ n≤ l } (1)求 P11 中元素个数 . (2)求集合 P2000 中元素个数 . 【解题指南】主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识 , 考 查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力 【解析】由数列 {an } 的定义得 a1 = 1, a2 = - 2, a3 = - 2, a4 = 3, a5 = 3,
a6 = 3, a7 = - 4, a8 = -4, a9 = - 4, a10 = - 4, a11 = 5, 所以 S1 = 1, S2 = - 1, S3 = - 3, S4 = 0, S5 = 3, S6 = 6, S7 = 2, S8 = -2, S9

= -6, S10 = -10, S11 = -5, 从而 S1 = a1 , S4 = 0 ?a4 , S5 = a5 , S6 = 2 a6 , S11 = - a11 , 所以集合 P 11 中元素的个数为 5. ( 2)先证 :Si(2i+1)= -i(2i+1)( i ? N* ). 事实上 , ①当 i = 1 时 , S i(2i+1)= S 3 = -3, -i(2i+1)= -3, 故原等式成立 ; ②假设 i =m 时成立 , 即 Sm(2m+1)= -m(2m+1), 则 i =m+1 时 , S (m+1)(2m+3) = Sm(2m+1) + (2m+1) 2-(2m+2) 2= -m(2m+1)-4m-3 = -(2m 2+5m+3)= -(m+1)(2m+3) 综合①②可得 Si(2i+1) = -i(2i+1).

于是 S(i+1)(2i+1)= S i(2i+1) +(2i+1) 2= -i(2i+1)+(2i+1) 2= (2i+1)(i+1). 由上述内容可知 S i(2i+1)是 2i+1 的倍数 , 而 ai(2i+1)+j = 2i+1( j = 1, 2, …, 2i+1), 所以 Si(2i+1)+j=Si(2i+1) +j(2i+1) 是 ai(2i+1)+j(j = 1, 2, … , 2i+1) 的倍数 . 又 S(i+1)(2i+1) = (i+1)(2i+1) 不是 2i + 2 的倍数 , 而 a(i+1)(2i+1)+j = - (2i + 2) (j =1, 2, …, 2i+2), 所以 S(i+1)(2i+1)+j =S (i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是 a(i+1)(2i+1)+j ,(j =1, 2, …, 2i+2) 的 倍 数 , 故 当

l

=i(2i+1) 时 , 集 合 Pl 中 元 素 的 个 数 为

1+3+ … +(2i-1)=i 2, 于是 l =i(2i+1)+j (1 ? j ? 2i+1) 时 , 集合 Pl 中元素的个 数为 i2+j. 又 2000 = 31 ? (2 ? 31+1)+47, 故集合 P2000 中元素的个数为 312+47=1 008.


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