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2013年高考第一轮复习教案-10函数图像及其变换


《新课标》高三数学(人教版)第一轮复习单元讲座

第 10 讲
一.课标要求:

函数图象及数字特征

1.掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、 一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等; 2.掌握各种图象变换规则,如:平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等; 3.识

图与作图:对于给定的函数图象,能从图象的左右、上下分布范围,变化趋势、对 称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与 性质一些综合性问题; 二.命题走向 函数不仅是高中数学的核心内容,还是学习高等数学的基础,所以在高考中,函数知识占 有极其重要的地位。其试题不但形式多样,而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与 形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是高 考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。 从历年高考形势来看: (1)与函数图象有关的试题,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移变换、 伸缩变换、对称变换,注意函数的对称性、函数值的变化趋势,培养运用数形结合思想来解题 的能力,会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题; (2)函数综合问题多以知识交汇题为主,甚至以抽象函数为原型来考察;
1

(3)与幂函数有关的问题主要以 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 为主,利用它们
2 3

?1

的图象及性质解决实际问题; 预测 2013 年高考函数图象: (1)题型为 1 到 2 个填空选择题; (2)题目多从由解析式得 函数图象、数形结合解决问题等方面出题; 函数综合问题: (1)题型为 1 个大题; (2)题目多以知识交汇题目为主,重在考察函数的 工具作用;

三.要点精讲 1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌 握这两种方法是本讲座的重点。
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作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单 调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处,
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要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的
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研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点 用图象变换
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法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换, 以及确定怎样的变换, 这也是个难 点。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a ) 的图像可以把函数 y ? f ( x ) 的图像沿 x 轴方向向左
( a ? 0 ) 或向右 ( a ? 0 ) 平移 | a | 个单位即可得到;
左移 h 右移 h

1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x ) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x ) 的图像沿 x 轴方向向上
( a ? 0 ) 或向下 ( a ? 0 ) 平移 | a | 个单位即可得到;
上移 h 下移 h

1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f ( ? x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于 y 轴对称即可得到;
y轴

y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f ( ? x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于原点对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
直线 y ? x
x轴

原点

y=f(x)

?

x=f(y)

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Ⅴ、函数 y ? f ( 2 a ? x ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得 到;
直线 x ? a

y=f(x)

?

y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ? | f ( x ) | 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x ) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代 原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x ) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? a f ( x ) ( a ? 0 ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像中的每一点横坐标不变纵 坐标伸长 ( a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;
y?a

y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、函数 y ? f ( a x ) ( a ? 0 ) 的图像可以将函数 y ? f ( x ) 的图像中的每一点纵坐标不变横 坐标伸长 ( a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
1 a

倍得到。

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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x? a

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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 四.典例解析
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题型 1:作图 例 1. (06 重庆 理)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓 形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

A

B

C

D

解析:显然当 x ? 角三角形的面积, f (

?
2

时,阴影部分的面积等于
?
4 ? 1 2 ) ?

1 4

圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直
?
2 1 4 ,

?
2

) ? 2(

? ?2
2

?

?
2

,即点 (

? ?2
2

) 在直线 y ? x 的下方,

故应在 C、D 中选择。而当当 x ? 的等腰直角三角形的面积, f (

?
2

时,阴影部分的面积等于
? ?2
2 ) ? 3? ? 2 2

圆的面积加上以圆的半径为腰
3? 2

3? 2

) ? 2 (? ?

?

,即点 (

3? 2

,

3? ? 2 2

) 在直

线 y ? x 的上方,故应选择 D。 点评: 该题属于实际应用的题目, 结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即 可。 要明确函数图像与函数自变量、 变量值的对应关系, 特别是函数单调性与函数图象个关系; 例 2. (1996 上海,文、理 8)在下列图象中,二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y=( 的图象只可能是( )
2

b a



x

第 4 页 共 15 页

解析一:由指数函数图象可以看出 0<

b a

<1。抛物线方程是 y=a(x+

b 2a

)-

2

b

2 2

,其顶

4a

点坐标为(-

b 2a

,-

b

2

) ,又由 0<

b a

<1,可得-

1 2

<-

b 2a

<0.观察选择支,可选 A。

4a
2

解析二:求 y=ax +bx 与 x 轴的交点,令 ax +bx=0,解得 x=0 或 x=- 故选 A。

2

b a

,而-1<-

b a

<0。

点评:本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质,源于课本,考查基本知识,难度 不大。本题虽小,但一定要细致观察图象,注意细微之处,获得解题灵感。 题型 2:识图 例 3. (06 江西 12)某地一年内的气温 Q ( t ) (单位:℃)与时间 t (月份)之间的关系如图所示, 已知该年的平均气温为 10℃, C ( t ) 表示时间段 ? 0, t ? 的平均 令 温, C ( t ) 与 t 之间的函数关系用下图表示,则正确的应该是 ( ) 气

解析:平均气温 10℃与函数图像有两个交点,观察图像可知两交点的两侧都低于平均气
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温, 而中间高于平均气温。时间段内的平均气温,应该从开始持续到平均气温左交点向右一 段距离才开始达到平均气温,持续上升一段时间,最后回落到平均气温。答案 A。 点评:联系生活,体会变量间的相互关系,重视观察图像的变化趋势,结合导数的知识处 理实际问题。 例 4. (2002 上海文,理 16)一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系, 如图 2—1 所示,图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温.图(2)表示某家庭在这年 12 个月中每个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中,正 确的是( )

图 A.气温最高时,用电量最多 B.气温最低时,用电量最少 C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时,用电量随气温渐低而增加 解析:经比较可发现,2 月份用电量最多,而 2 月份气温明显不是最高。因此 A 项错误。同 理可判断出 B 项错误。由 5、6、7 三个月的气温和用电量可得出 C 项正确。 点评:该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力,要从题目解说入手,结合图像和实际 解决问题。 题型 3:函数的图象变换 例 5. (2002 全国理,10)函数 y=1-
1 x ?1

的图象是(



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解析一:该题考查对 f(x)=

1 x

图象以及对坐标平移公式的理解,将函数 y=

1 x

的图形变

形到 y=

1 x ?1 1 x ?1

,即向右平移一个单位,再变形到 y=-

1 x ?1

即将前面图形沿 x 轴翻转,再变形

到 y=-

+1,从而得到答案 B。

解析二:可利用特殊值法,取 x=0,此时 y=1,取 x=2,此时 y=0。因此选 B。 点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题。 例 6. (05 广东理 9)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) 的图象关于 直线 y ? x 对称。 现将 y ? g ( x ) 的图象沿 x 左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单 得的图象是由两条线段组成的折线(如图 2 示) ,则函数 f ( x ) 的表达式为(
? 2 x ? 2,? 1 ? x ? 0 ? A. f ( x ) ? ? x ? ? 2 ,0 ? x ? 2 ?2 ? 2 x ? 2 ,? 1 ? x ? 0 ? f (x) ? ? x B. ? ? 2 ,0 ? x ? 2 ?2 ? 2 x ? 2 ,1 ? x ? 2 ? C. f ( x ) ? ? x ? ? 1, 2 ? x ? 4 ?2 ? 2 x ? 6 ,1 ? x ? 2 ? D. f ( x ) ? ? x ? ? 3,2 ? x ? 4 ?2

轴 向 位, 所 所



解析:原函数的图像仍然是由两条折线段组成,折线段的端点(-2,0)(0,1)(1,3) 、 、 向下平移 1 个单位是端点(-2,-1)(0,0)(1,2) 、 、 ,再向右平移 2 个单位端点为(0,- 1)(2,0)(3,2) 、 、 ,关于直线 y ? x 对称后折线段端点为(-1,0)(0,2)(2,3) 、 、 。答
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案 A。 点评: 该题是应用函数图象变换求函数解析式。 由函数图像的变换的函数的性质逆向变换 既可,注意函数图像的变换中平移、对称都不会改变原来函数的形状。 题型 4:函数图象应用 例 7.函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的图像可能是 ( )
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x

y

y
x

y
x

y x
C

o

o

o

o
D

x

A

B

解析:∵函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 的定义域是函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的定义域的交集
( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ) ,图像不经过坐标原点,故可以排除 C、D。

由于当 x 为很小的正数时 f ( x ) ? 0 且 g ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 。∴选 A。 点评:明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系,数值相乘“同号为正、异号 为负” 。 例 8. (2000 春季北京、安徽,14)已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图,求 b 的范围。 解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图 原点,即 f(0)=0,得 d=0, 又 f(x)的图象过(1,0), ∴f(x)=a+b+c ① ②
3 2

y
象过

o

1

2

x

又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0 ①+②得 b<0,故 b 的范围是(-∞,0)

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解法二:如图 f(0)=0 有三根 0,1,2, ∴f(x)=ax +bx +cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax -3ax +2ax, ∴b=-3a, ∵当 x>2 时,f(x)>0,从而有 a>0, ∴b<0。 点评:通过观察函数图像,变形函数解析式,得参数的取值范围。 题型 5:函数图像变换的应用 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a A.2 B.3
|x|
3 2 3 2

? | log

a

x | 的实根个数为(



C.4
|x|

D.2 或 3 或 4
? | log
a

根据函数与方程的关系,知方程 a
y ? | l o g a x | 的图像交点的个数。

x | 的根的个数即为函数 y ? a

|x|

与函数

该题通过作图很可能选错答案为 A,这是我们作图的易错点。若作图标准的话,在同一个 直角坐标系下画出这两个函数的图像,由图知当 0 ? a ? e 当a ?
1 16
?e

? 1 时,图像的交点个数为 3 个;

时,图像的交点个数为 4 个;当 a ?

1 2

时,图像的交点个数为 2 个。选项为 D。

点评:该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的 交点问题” ,借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。 例 10.设 f ( x ) ? | 2 ? x 2 | ,若 a ? b ? 0 ,且 f ( a ) ? f ( b ) ,则 a b 的取值范围是( A. (0 , 2 ) B. (0 , 2 ]
2



C. (0 , 4 ]

D. (0 , 2 )

解析:保留函数 y ? 2 ? x 在 x 轴上方的图像,将其在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴上方 区即可得到函数 f ( x ) ? | 2 ? x 2 | 的图像。 通过观察图像,可知 f ( x ) 在区间 ( ? ? , ? 2 ] 上是减函数,在区间 [ ? 2 , 0 ] 上是增函数, 由 a ? b ? 0 ,且 f (a ) ? f (b ) 可知 a ? ? 2 ? b ? 0 ,所以 f ( a ) ? a 2 ? 2 , f ( b ) ? 2 ? b 2 ,从而
a ?2?2?b
2 2

,即 a 2 ? b 2 ? 4 ,又 2 | a b |? a 2 ? b 2 ? 4 ,所以 0 ? a b ? 2 。选项为 A。
2

点评:考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则,通过研究函数 y ? 2 ? x

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的图像和性质,进而得到 f ( x ) ? | 2 ? x 2 | 的图像和性质。 题型 6:幂函数概念及性质
m

例 11.函数 y ? x

n

( m , n ? Z , m ? 0 , | m |, | n |

y

互质)图像如图所示,则( A. mn ? 0 , m , n 均为奇数 B. mn ? 0 , m , n 一奇一偶 C. mn ? 0 , m , n 均为奇数 D. mn ? 0 , m , n 一奇一偶



O

x

解析: 该题考察了幂函数的性质, 由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在 ( 0 , ?? )
m n
m ? |m | |n |

上单调递减,此时只需保证

? 0 ,即 mn ? 0 ,有 y ? x

n

? x

;同时函数只在第一象

限有图像,则函数的定义域为 ( 0 , ?? ) ,此时 | n | 定为偶数, n 即为偶数,由于两个数互质, 则 m 定为奇数。 答案:选项为 B。 点评:该题突破了传统借形言数思路,属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂函 数 y ? x 在 ? ? 0 , 0 ? ? ? 1, ? ? 1 几种不同情况下函数的图像的特点,更甚至在同一种情形 下 ? 取不同数值对函数图像的影响也要了解。 例 12.画出函数 y ?
3 ? 2x x ?3
?

的图象,试分析其性质。

解析: 先要找出它是哪一种函数平移而来的, 它应是由反 比
y ?


3 ? 2x x?3 ?




x?3


? ? 3


x?3







? 2 ( x ? 3) ? 3

? 2 (这种变换是解决

这类问题的关键) ,由此说明, y ?

3 ? 2x x ?3

是由 y ? ?

3 x

图象

向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位得到的,如图所示: 具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确,即
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x ? 0 , y ? ? 1, y ? 0 , x ?

3 2

。故图象一定过(0,-1)和 ?

?3

? , 0 ? 两个关键点。 ?2 ?

再观察其图象可以得到如下性质:定义域 { x | x ? 3 , x ? R }值域 { y | y ? ? 2 , y ? R } ,单 调区间 ( ? ? , 3 ) 和 ( 3 , ? ? ) 上单调递增; 既不是奇函数也不是偶函数, 但是图象是中心对称图形, 对称中心是(3,-2) 。 点评:幂函数 y ? 用并集号 ? 。 题型 7:抽象函数问题 例 13 . 函 数
f (x)

1 x

的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间不能

的定义域为 D:

{ x | x ? 0}

且 满 足 对 于 任 意 x1 , x 2 ? D , 有

f ( x 1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ).

(Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明; (Ⅲ)如果 f ( 4 ) ? 1, f ( 3 x ? 1) ? f ( 2 x ? 6 ) ? 3 , 且 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数,求 x 的取 值范围。 (Ⅰ)解:令 x 1 ? x 2 ? 1, 有 f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1), 解得 f (1) ? 0 . (Ⅱ)证明:令 x1 ? x 2 ? ? 1,
有 f [( ? 1) ? ( ? 1)] ? f ( ? 1) ? f ( ? 1), 解 得 f ( ? 1) ? 0

令 x 1 ? ? 1, x 2 ? x 有 f ( ? x ) ? f ( ? 1) ? f ( x ), ? f ( ? x ) ? f ( x ). ∴ f ( x ) 为偶函数。 (Ⅲ) f ( 4 ? 4 ) ? f ( 4 ) ? f ( 4 ) ? 2 , f (16 ? 4 ) ? f (16 ) ? f ( 4 ) ? 3 . ∴ f ( 3 x ? 1) ? f ( 2 x ? 6 ) ? 3即 f [( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 )] ? f ( 64 ) (1) ∵ f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数, ∴(1)等价于不等式组:

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? ( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 ) ? 0 , ? ( 3 x ? 1)( 2 ? 6 ) ? 0 , 或? ? ? ( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 ) ? 64 , ? ? ( 3 x ? 1)( 2 x ? 6 ) ? 64 .

1 ? 1 ? x ? 3或 x ? ? 3 , ? ? ? x ? 3 , ? ? 或? 3 ? ? ? 7 ? x ? 5, ?x ? R ? ? 3 ?

∴ 3 ? x ? 5或 ?

7 3

? x ? ?

1 3

或 ?

1 3

? x ? 3.

∴x 的取值范 围为 { x | ?

7 3

? x ? ?

1 3

或 ?

1 3

? x ? 3 或 3 ? x ? 5}.

点评:以抽象函数为模型,考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知 识,还考查运算能力和逻辑思维能力。认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件 f(x1+x2) =f(x1)·f(x2)找到问题的突破口,由 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 f ( x ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( )
2 2 2 2 x x x x

是解决问题的关键。 例 14 . ( 2005 广 东 19 ) 设 函 数
f ( x ) 在 ( ?? , ?? )

上 满 足

f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ), f ( 7 ? x ) ? f ( 7 ? x ) ,且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f ( 3 ) ? 0 .

(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x ) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。
? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ? ? ? f ( 4 ? x ) ? f (1 4 ? x ) ? f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ? f ( x ) ? f (1 4 ? x )

解析: (Ⅰ)由 ?

? f ( x ) ? f ( x ? 10 ) ,

从而知函数 y ? f ( x ) 的周期为 T ? 10 又 f (3) ? f (1) ? 0, 而 f (7 ) ? 0 ,
f ( ? 3) ? f ( ? 3 ? 10) ? f (7 ) ? 0

,所以 f ( ? 3) ? ? f (3)

故函数 y ? f ( x ) 是非奇非偶函数; (II) 又 f (3) ? f (1) ? 0, f (11) ? f (13) ? f ( ? 7 ) ? f ( ? 9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 y ? f ( x ) 在[0,2005]上有 402 个解,
第 12 页 共 15 页

在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f ( x ) 在[-2005,2005]上有 802 个解。 点评:充分利用函数的数字特征,并将其转化为函数的性质,再来解题。 题型 8:函数图象综合问题 例 15.如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们的横坐标分别是 a、a+1、a+2。 又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记△AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′的面 积为 g(a)。 (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论。 解: (1)连结 AA′、BB′、CC′, 则 f(a)=S△AB′C=S 梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B =
1 2

(A′A+C′C)=
1 2

1 2

( a ?

a ? 2 ),

g(a)=S△A′BC′=

A′C′·B′B=B′B= a ? 1 。
1 2 ? 1 2
? 1 2 ( 1 a?2 ? a ?1 ? 1 a ?1 ? a )? 0

(2) f (a ) ? g (a ) ?

( a ?

a ? 2 ? 2 a ? 1) a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )]

[( a ? 2 ?

∴f(a)<g(a)。 点评: 本题考查函数的解析式、 函数图象、 识图能力、 图形的组合等, 充分借助图象信息, 利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口,解题思路:图形面积不会拆拼、数形结 合、等价转化。 例 16.设曲线 C 的方程是 y ? x ? x ,将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、 s ( t ? 0 ) 个
3

单位长度后得到曲线 C 1 , (1)写出曲线 C 1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C 1 关于点 A ( , ) 对称;
2 2 t s

(3)如果曲线 C 与 C 1 有且仅有一个公共点,证明: s ?
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t

2

?t

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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4

解析: (1)曲线 C 1 的方程为 y ? ( x ? t ) ? ( x ? t ) ? s ;
3

(2)证明:在曲线 C 上任意取一点 B1 ( x1 , y1 ) , 设 B 2 ( x 2 , y 2 ) 是 B1 关于点 A 的对称点,则有 ∴ x1 ? t ? x 2 , y 1 ? s ? y 2 。 代入曲线 C 的方程,得 x 2 , y 2 的方程: s ? y 2 ? ( t ? x 2 ) ? ( t ? x 2 ) 。
3

x1 ? x 2 2

?

t 2

,

y1 ? y 2 2

?

s 2



即 y 2 ? ( x 2 ? t ) ? ( x 2 ? t ) ? s 可知点 B 2 ( x 2 , y 2 ) 在曲线 C 1 上。
3

反过来,同样证明,在曲线 C 1 上的点 A 的对称点在曲线 C 上。 因此,曲线 C 与 C 1 关于点 A 对称。 (3)证明:因为曲线 C 与 C 1 有且仅有一个公共点,
?y ? x ? x ? ∴方程组 ? 有且仅有一组解, 3 ? y ? (x ? t) ? (x ? t) ? s ?
3

消去 y ,整理得 3 tx ? 3 t x ? ( t ? t ? s ) ? 0 ,这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根,
2 2 3

∴ ? ? 9 t ? 1 2 t ( t ? t ? s ) ? 0 ,即得 t ( t ? 4 t ? 4 s ) ? 0 ,
4 3 3

因为 t ? 0 ,所以 s ?

t

3

?t。

4

点评:充分利用函数图像变换的原则,解决复合问题。

五.思维总结 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、 值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定 形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变 换、对称变换。

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常见的函数数字特征有: (1)函数奇偶性: 奇函数 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ; 偶函数 f ( ? x ) ? f ( x ) 。 (2)函数单调性: 单调递增
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 或 ( x 1 ? x 2 )( f ( x 1 ) ? f ( x 2 )) ? 0 ;

单调递增

? 0 或 ( x 1 ? x 2 )( f ( x 1 ) ? f ( x 2 )) ? 0 。

(3)函数周期性 周期为 T : f ( x ? T ) ? f ( x ) 或 f ( x ? (4)对称性 关于 y 轴对称: f ( ? x ) ? f ( x ) ; 关于原点对称: f ( ? x ) ? ? f ( x ) ; 关于直线 x ? a 对称: f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) 或 f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) ; 关于点 ( a , b ) 对称: f ( x ) ? 2 b ? f ( 2 a ? x ) 或 f ( a ? x ) ? b ? b ? f ( a ? x ) 。
T 2 ) ? f (x ? T 2 );

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