当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学教学中的三角代换之妙用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学教学中的三角代换之妙用 作者:周丽香 来源:《新校园· 中旬刊》2013 年第 10 期 三角函数是高中数学的重要内容,其中“三角代换”应用广泛,变形灵活多样。它利用三角 函数的性质和一些基本三角公式将代数或几何问题转化成三角问题,进而灵活运用三角知识求 解,达到化难为易、化繁为简的目的,实质是换元思想,体现

了“三角”是数学中的工具的特 征。本文就三角代换在几种题型中的妙用加以说明。 一、应用三角代换求最值 三角代换在求函数最值中是一种常用的方法。其实质是把求函数最值的问题利用三角函数 知识进行合理替换,使之转化成三角函数问题,将所给函数中的自变量用某个三角函数进行代 换,并对代换后的式子适当变形,从而达到解题目的。 例 1:求 y=x+■的最大值。 解:不妨设 x=sinα,α∈[-■,■], 则变为 y=sinα+cosα=■sin(α+■), 故 ymax=■当且仅当 α=■时,能取到最大值。 例 2:求函数 y=x-3-■的值域。 解:原函数可化为 y=(x+3)-■■-6, 设 x+3=tanα■=secα,α∈(-■,■), y=tanα-■secα-6=■-6 (因为 sinα≤10,所以,y sinα-(y+6)cosα=■, ■sin(α+β)=■, ■≤1,又 y 所以函数的值域是-∞ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 在进行三角代换求函数最值时,如何选择代替函数变量的三角函数,以及代换后如何根据 原函数限定所选三角函数中角的范围是本题的重点。如对根式■或者■的形式,利用三角代 换,将原无理函数转化为三角函数,再利用三角函数的性质使问题获解。 一般地,当变量的取值范围是[-1,1]时,用正弦或余弦代换;当变量的取值范围是(-∞, +∞)时,用正切或余切作代换等等,应根据具体问题作相应的三角代换。 对■,令 X=αtanα,则■=|a|secα; 对■,令 X=asecα,则■=|a|tanα; 对■,令 X=acosα,则■=|a|sinα;即可将根式转化为有理式。 二、利用三角代换证明不等式 将代数式通过三角代换,转化为三角函数式,进而借助三角函数的有界性,或者运用数形 结合的思想方法求解。 例 3:若 x2+y2=1,求证:-■≤x2+2xy-y2≤■ 证明:令 x=cosθ,y=sinθ,θ∈(0,2π), ∴x2+2xy-y2=cos2θ+2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ =■sin(2θ+■), ∵θ∈(0,2π),∴sin(2θ+■)∈[-1,1], ∴-■≤■sin(2θ+■)≤■, 即-■≤x2+2xy-y2≤■. 三、利用三角代换解定积分的有关问题 当被积函数含有根式时,积分的困难在于含有根式,如何化去根式成为许多学生的难点所 在,用三角公式代入,将无理根式化为有理的三角函数的积分来解决。 例 4:求下面的定积分■■dx. 解:令 x=2sint, ■■dx=■2costd(2sint)=■4cos2tdt=■(1+cos2t)d(2t)=(2t+sin2t)■-■ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn =2π+sinπ-sin(-π)=2π. 总之,通过三角变换可以使上述题目化繁为简,化难为易。但是三角代换时,要注意新变 量与原变量间的取值范围是否一致。

相关文章:
三角代换的经典例题
三角代换的经典例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角代换的经典例题 2 2 若实数 x、 y 满足 4x 2 ? 5xy ? 4 y 2 ? 1 ,设 S ? x ? y , ...
三角代换在解题中的应用
三角代换在解题中的应用_数学_自然科学_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 三角代换在解题中的应用 作者:李国强?? 来源:《中学教学参考· 理科版...
三角代换的经典例题
三角代换的经典例题_数学_高中教育_教育专区。三角代换的经典例题 2 2 若实数 x、 y 满足 4x 2 ? 5xy ? 4 y 2 ? 1 ,设 S ? x ? y , 求 1 S ...
代换法在高中数学解题中的灵活应用
2 不同类型的代换法在高中数学解题中的灵活应用 2.1 三角代换的解题思路 三角代换在高等数学解题中御用比较广泛,它的解题思路有一定的技巧性,运用三角代换 解题,...
三角代换公式
三角代换公式_数学_高中教育_教育专区。自己归纳编辑的一些常用的三角代换公式,在高中数学竞赛中十分有用三角代换公式常用的三角代换可以总结为以下几种: 1. 代数问题...
代换法在高中数学解题中的应用研究
在这种教学方式过程中,带领学生将高中数学题逐个 理清题意,分析题干,将复杂的...三角函数代换法 三角函数代换法就使用正确的三角代换,用三角函数来表示原数学题...
不定积分之三角代换
不定积分之三角代换_经济/市场_经管营销_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档不定积分之三角代换_经济/市场_经管营销_专业资料。三角代换 (1) ?1? ?...
三角代换在证明不等式中的应用
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 三角代换在证明不等式中的应用 作者:马文渊 来源:《学周刊· A》2013 年第 09 期 摘要:三角代换是初等数学解题中常用...
高中数学三角恒等变换单元知识整合
高中数学三角恒等变换单元知识整合_数学_高中教育_教育专区。张喜林制 单元知识整合...2 cos 2 ( (2)常数的代换. 在三角函数中,“1”的代换有 ? 4 ??)? ...
2016 高一数学 三角
三角变换: 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换. 三角恒等...使用述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决. 第 2 页共 2 页 高一数学 新...
更多相关标签: