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高中数学教学中的三角代换之妙用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学教学中的三角代换之妙用 作者:周丽香 来源:《新校园· 中旬刊》2013 年第 10 期 三角函数是高中数学的重要内容,其中“三角代换”应用广泛,变形灵活多样。它利用三角 函数的性质和一些基本三角公式将代数或几何问题转化成三角问题,进而灵活运用三角知识求 解,达到化难为易、化繁为简的目的,实质是换元思想,体现了“三角”是数学中的工具的特 征。本文就三角代换在几种题型中的妙用加以说明。 一、应用三角代换求最值 三角代换在求函数最值中是一种常用的方法。其实质是把求函数最值的问题利用三角函数 知识进行合理替换,使之转化成三角函数问题,将所给函数中的自变量用某个三角函数进行代 换,并对代换后的式子适当变形,从而达到解题目的。 例 1:求 y=x+■的最大值。 解:不妨设 x=sinα,α∈[-■,■], 则变为 y=sinα+cosα=■sin(α+■), 故 ymax=■当且仅当 α=■时,能取到最大值。 例 2:求函数 y=x-3-■的值域。 解:原函数可化为 y=(x+3)-■■-6, 设 x+3=tanα■=secα,α∈(-■,■), y=tanα-■secα-6=■-6 (因为 sinα≤10,所以,y sinα-(y+6)cosα=■, ■sin(α+β)=■, ■≤1,又 y 所以函数的值域是-∞ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 在进行三角代换求函数最值时,如何选择代替函数变量的三角函数,以及代换后如何根据 原函数限定所选三角函数中角的范围是本题的重点。如对根式■或者■的形式,利用三角代 换,将原无理函数转化为三角函数,再利用三角函数的性质使问题获解。 一般地,当变量的取值范围是[-1,1]时,用正弦或余弦代换;当变量的取值范围是(-∞, +∞)时,用正切或余切作代换等等,应根据具体问题作相应的三角代换。 对■,令 X=αtanα,则■=|a|secα; 对■,令 X=asecα,则■=|a|tanα; 对■,令 X=acosα,则■=|a|sinα;即可将根式转化为有理式。 二、利用三角代换证明不等式 将代数式通过三角代换,转化为三角函数式,进而借助三角函数的有界性,或者运用数形 结合的思想方法求解。 例 3:若 x2+y2=1,求证:-■≤x2+2xy-y2≤■ 证明:令 x=cosθ,y=sinθ,θ∈(0,2π), ∴x2+2xy-y2=cos2θ+2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ =■sin(2θ+■), ∵θ∈(0,2π),∴sin(2θ+■)∈[-1,1], ∴-■≤■sin(2θ+■)≤■, 即-■≤x2+2xy-y2≤■. 三、利用三角代换解定积分的有关问题 当被积函数含有根式时,积分的困难在于含有根式,如何化去根式成为许多学生的难点所 在,用三角公式代入,将无理根式化为有理的三角函数的积分来解决。 例 4:求下面的定积分■■dx. 解:令 x=2sint, ■■dx=■2costd(2sint)=■4cos2tdt=■(1+cos2t)d(2t)=(2t+sin2t)■-■ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn =2π+sinπ-sin(-π)=2π. 总之,通过三角变换可以使上述题目化繁为简,化难为易。但是三角代换时,要注意新变 量与原变量间的取值范围是否一致。


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