当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学教学中的三角代换之妙用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学教学中的三角代换之妙用 作者:周丽香 来源:《新校园· 中旬刊》2013 年第 10 期 三角函数是高中数学的重要内容,其中“三角代换”应用广泛,变形灵活多样。它利用三角 函数的性质和一些基本三角公式将代数或几何问题转化成三角问题,进而灵活运用三角知识求 解,达到化难为易、化繁为简的目的,实质是换元思想,体现了“三角”是数学中的工具的特 征。本文就三角代换在几种题型中的妙用加以说明。 一、应用三角代换求最值 三角代换在求函数最值中是一种常用的方法。其实质是把求函数最值的问题利用三角函数 知识进行合理替换,使之转化成三角函数问题,将所给函数中的自变量用某个三角函数进行代 换,并对代换后的式子适当变形,从而达到解题目的。 例 1:求 y=x+■的最大值。 解:不妨设 x=sinα,α∈[-■,■], 则变为 y=sinα+cosα=■sin(α+■), 故 ymax=■当且仅当 α=■时,能取到最大值。 例 2:求函数 y=x-3-■的值域。 解:原函数可化为 y=(x+3)-■■-6, 设 x+3=tanα■=secα,α∈(-■,■), y=tanα-■secα-6=■-6 (因为 sinα≤10,所以,y sinα-(y+6)cosα=■, ■sin(α+β)=■, ■≤1,又 y 所以函数的值域是-∞ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 在进行三角代换求函数最值时,如何选择代替函数变量的三角函数,以及代换后如何根据 原函数限定所选三角函数中角的范围是本题的重点。如对根式■或者■的形式,利用三角代 换,将原无理函数转化为三角函数,再利用三角函数的性质使问题获解。 一般地,当变量的取值范围是[-1,1]时,用正弦或余弦代换;当变量的取值范围是(-∞, +∞)时,用正切或余切作代换等等,应根据具体问题作相应的三角代换。 对■,令 X=αtanα,则■=|a|secα; 对■,令 X=asecα,则■=|a|tanα; 对■,令 X=acosα,则■=|a|sinα;即可将根式转化为有理式。 二、利用三角代换证明不等式 将代数式通过三角代换,转化为三角函数式,进而借助三角函数的有界性,或者运用数形 结合的思想方法求解。 例 3:若 x2+y2=1,求证:-■≤x2+2xy-y2≤■ 证明:令 x=cosθ,y=sinθ,θ∈(0,2π), ∴x2+2xy-y2=cos2θ+2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ =■sin(2θ+■), ∵θ∈(0,2π),∴sin(2θ+■)∈[-1,1], ∴-■≤■sin(2θ+■)≤■, 即-■≤x2+2xy-y2≤■. 三、利用三角代换解定积分的有关问题 当被积函数含有根式时,积分的困难在于含有根式,如何化去根式成为许多学生的难点所 在,用三角公式代入,将无理根式化为有理的三角函数的积分来解决。 例 4:求下面的定积分■■dx. 解:令 x=2sint, ■■dx=■2costd(2sint)=■4cos2tdt=■(1+cos2t)d(2t)=(2t+sin2t)■-■ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn =2π+sinπ-sin(-π)=2π. 总之,通过三角变换可以使上述题目化繁为简,化难为易。但是三角代换时,要注意新变 量与原变量间的取值范围是否一致。

相关文章:
三角代换的经典例题
三角代换的经典例题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角代换的经典例题 2 2...高中数学教学中的三角代... 暂无评价 3页 免费 巧用三角代换求解数学问......
例谈三角代换在数学解题中的应用
代换在数学解题中的应用_高三数学_数学_高中教育_...利用三角代换解数学题, 往往能收到事半功倍之效。...中学数学教学参考:上旬, 2015(1-2):131-133. ...
几个常见的三角替换及其在解题中的应用
几个常见的三角替换及其在解题中的应用_教学反思/汇报...《高中数学必修四》三角函数的平方关系为 sin 2 x...这里不凡称 之为三角替换换,下面仅介绍几个常见的...
三角换元的妙用
三角换元的妙用_IT/计算机_专业资料。三角换元的妙用高中的数学学习中,换元是一种十分重要的思想方法,而其中三角换元 更是应用广泛,它应用于去根号,或者变换为...
代换法在高中数学解题中的应用研究
快捷简单的解题方法的是 “教”和“学”的重中之...在这种教学方式过程中,带领学生将高中数学题逐个 理...不等量代换法、变量代换法、 三角函数代换法等等。 ...
三角代换公式
三角代换公式_数学_高中教育_教育专区。自己归纳编辑的一些常用的三角代换公式,在高中数学竞赛中十分有用三角代换公式常用的三角代换可以总结为以下几种: 1. 代数问题...
浅谈三角函数中“1”的妙用
浅谈三角函数中“ ” 浅谈三角函数中“1”的妙用...a 2 的结构特点, 1 b 可考虑利用三角代换来解答...普通高中新课程标准实验教科书 数学 必修 4 A 版 ...
学具在几何教学中的妙用
学具在几何教学中的妙用_教学案例/设计_教学研究_教育...把学生的外部操作与内部的数学思维紧密结 合起来, ...。再让学生拼三角形时,学生都能采 用不同的拼法...
三角函数中“1”的妙用
三角函数中“1”的妙用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数三角...“1”有些合作,下面我就自己在教学中,利用“1”进行解题的体会 与大家共同...
坐标法在解斜三角形问题中的妙用
坐标法在解斜三角形问题中的妙用_数学_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http:/...《中学教学参考· 理科版》2013 年第 12 期 坐标法是一种重要的数学方法,其...
更多相关标签: