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平面几何讲义



第一章 平面几何证题方法通论



1.1 概念和命题………………………………………………………………………. 1.2 逻辑推理概要…………………………………………………………………… 1.3 几何命题的证明与三段论………………………………………………………. 1.4 间接证法………………………………………………………………

…………. 1.5 综合法和分析法…………………………………………………………………. 第二章 几何证题方法分论………………………………………………………….. 2.1 证线段或角相等…………………………………………………………………. 2.1 证线段或角的和差倍分…………………………………………………………. 2.3 证线段或角的不等………………………………………………………………. 2.4 证直线的垂直或平行……………………………………………………………. 2.5 证几何定值问题…………………………………………………………………. 2.6 证线段成比例或等积式…………………………………………………………. 2.7 几何证题的其它方法……………………………………………………………..

第一章

平面几何证题方法通论

平面几何是中学数学教育中的一个重要内容.这是因为几何是从人们生产、生活实际需 要中产生和发展起来的,它在人们的日常生活和生产实际中有广泛的应用,而且,学习几何 能够很好地培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、绘图能力和计算能力,从而提高学生 的数学素养.平面几何证题更是培养逻辑思维能力的重要而有效的载体.本章重点介绍逻辑推 理的基本知识和几何证题的一般方法.

1.1 概念和命题
数学总是运用一些抽象的概念,从已知结论出发,经过逻辑推理导出另一些新的结论, 从而构成数学的知识体系. 概念、判断、推理都是人们的思维形式,而形式逻辑是研究思维形式的逻辑结构以及 正确思维的逻辑规律的科学.正确的思维,必须遵循和使用形式逻辑,运用概念以作判断和 推理,因而概念是推理的基础. 1.1.1 数学概念 概念是反映客观事物本质属性的思维形式.数学概念的形式,一般有两种方式: (1)直接从现实世界的数量关系和空间形式中抽象出来.如自然数的概念,源于对事物 的数数;几何中的“点” 、 “直线” 、 “平面” 、 “点在直线上”等概念.“点”的本质属性是只 有位置,没有大小的抽象.观察日常生活中那些“笔直的,无限伸长的”事物抽象出“直线” 的概念等.这类概念称为原始概念,原始概念是下定义的,只能通过具体事例来描述它. (2)在已有概念的基础上,经过多次层次的抽象、概括而形成新的概念,在数学上称为 概念的定义. 数学中大量的概念都是要定义的 . 定义是通过指出概念所反映事物的本质属性性来明 确概念的逻辑方法. 例如,平行四边形的定义: “两组对边互相平行且相等的四边形叫做平 行四边形.” 这里“对边”是一个原始概念, “平行四边形”是已定义过的概念,利用这几个已知概 念明确了一个新概念. 1.1.2 数学命题 对于某种事物(现象)及其属性,凡有所肯定或否定的断语,称为判断. 例如: (1)两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形; ( 2)经过两点可以作且只能 作一条直线; (3)对顶角相等; (4)三角形的内角和等于 180 ; (5) a + b = b + a 等等都是
0

判断. 判断的表述要依附语句.在数学中,表判断的语句称为命题. 从上述几个判断可以看出,数学命题可以分为定义、公理、定理和法则(公式)等几 种类型. 定义——说明名词或术语意义的命题. 公理——在数学中不经过证明直接运用的命题 . 它是人类在亿万次实践活动中所总结 的客观规律,由实践证明了的真命题. 在平面几何中,常用的公理有: (1)经过两点有且只有一条直线. (2)连接两点的所有直线中,线段最短. (3)过直线外一点,有且只有一条直线和此直线平行. (4)矩形的面积等于它的长和宽的乘积. (5)等量公理(如等量加等量其和相等). 定理——由已经证明的真命题和公理,经过逻辑推理而得出的正确的结论. 例如, “两直线相交只有一个交点.”可以从公理(1)经过逻辑推理而证明; “三角形的 内角和等于 180 ” ,它由“平角等于 180 ”和平行线的性质定理经过逻辑推理而证明. 由一个定理很容易导出的结论称为该定理的推论; 仅仅是为了证明某个定理作准备的定 理,叫作引理. 1.1.3 命题的结构 数学命题一般分为简单命题与复合命题.简单命题由一个判断构成,结构简单,如(1)
0 0

2 是无理数; (2)直线 a 平行于直线 b ; (3) ? A

B.

复合命题是由两个或两个以上判断和逻辑联接词构成的命题. 例 1.1.1 (1)如果两个三角形中有两边及其夹角对应相等,那么这两个三角形全等; (2)若两条平行线和第三条直线相交,则同位角相等,内错角相等,外错角相等,同 旁内角互补,同旁外角互补. 在例 1.1.1 中, (1)由三个判断组成, (2)由 6 个判断组成,以联接词“如果…,那么” 或“若…,则…”相联系而组成命题. 一个命题包含两部分:条件和结论(或者假设和终结;题设和题断;已知和求证).条 件以“如果” 、 “若” 、 “假设” 、 “已知”等词开头,结论以“那么” 、 “则” 、 “求证”等词开头.

命题的一般形式表述为“若 A ,则 B .”其中 A 为条件, B 为结论. 有些命题的条件和结 论表述得不分明,但很简洁,需要将字句加以改造,分出条件和结论.在几何上,改造字句 时,配上图形,用字母和记号表示,就显得简单明了. 例 1.1.2 改写下列命题的条件和结论: (1) 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半; (2) 三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半. 解:如图 1.1.1,已知 D 为 D ABC 边 BC 上的一点, ? A 则 AD =

900 , BD = DC,

1 BC . 2

A D B D 图1.1.1 C B

A E C

图1.1.2

(2)如图 1.1.2 已知 D ABC 中, AD = DE, AE = EC , 则 DE / / BC ,且 DE = 1.1.4 命题的四种形式 一般地,命题有四种形式: (1)原命题:若 A ,则 B . (2)逆命题:若 B ,则 A . (3)否命题:若 A ,则 B ( A 表示非 A ). (4) 逆否命题:若 B ,则 A . 这四个命题的相互关系可用下图表示: 原命题 若 A,则 B 互 否 互逆 互 为 逆 否 否命题 若 A,则 B 图 1.1.3 逆否命题 若 B,则 A 逆命题 若 B,则 A 互 否

1 BC . 2

例 1.1.3 写出下列命题的四种形式,并判断真假. (1)原命题:若两角对顶,则两角相等.(真) (2)原命题:三角形中,若两边相等,则对角相等.(真) 解: (1)逆命题:若两角相等,则两角是对顶角.(假) 否命题:若两角不是对顶角,则两角不相等.(假) 逆否命题:若两角不相等,则两角不是对顶角(真) (2)逆命题:三角形中,若对角相等,则对边相等.(真) 否命题:三角形中,若两边不相等,则对角不相等.(真) 逆否命题:三角形中,若对角不相等,则对边不等.(真) 可见,原命题是真,逆命题不一定真,而逆否命题必真.这是因为原命题表示“某事物 具有某种性质” ,而逆否命题表示“不具有某种性质的事物就不是该事物” ,这是对同一事物 的两种不同形式的判断,所以同真同假. 同真同假的两个命题称为等效命题 原命题和逆否命题是等效命题;因为否命题是逆命 题的逆否命题,所以逆命题与否命题是等效命题. 若一个定理的逆命题真, 则称此逆命题为逆定理. 所以一个定理的逆命题必须经过证明 它的真确性,才能称为逆定理. 1.1.5 逆命题的构造方法 原命题“若 A ,则 B ”逆命题“若 B ,则 A ”. 当条件 A 和结论 B 都只包含一个事项时,以 B 为条件, A 为结论,则为逆命题. 当条件 A 和结论 B 所包含的事项不止一项时,构造逆命题时,一个结论只能交换一个 条件,而且不同的交换方法,可得到不同的逆命题. 例 1.1.4 原命题:三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半. 条件: D ABC 中, 镲 睚

禳 AD = DB 镲 1 ? 结论: DE / / BC , DE = BC . 镲 2 AE = EC 镲 铪

构造逆命题时,将结论“ DE / / BC ”交换条件“ AE = EC ”. 条件: D ABC 中, AD = DB, DE / / BC , 结论:则 AE = EC ,且 DE =

1 BC . 2

逆命题:过三角形一边 AB 的中点 D 而平行于 BC 的直线必过 AC 的中点 E ,且

DE =

1 BC . 2

1.1.6 充分条件和必要条件 如果命题“若 A ,则 B ”是真命题,是指从条件 A 出发,经过逻辑推理,可以得到结论

B ,即如果 A 成立, B 一定成立( A 蕴含 B ).记为
A? B.
则称 A 是 B 的充分条件, B 是 A 的必要条件.
2 2 2 如, “若 x > 2 ,则 x > 4 ”是一个真命题,那么 x > 2 是 x > 4 的充分条件, x > 4

是 x > 2 的必要条件. 如果原命题 “若 A ,则 B ” 真, 逆命题 “若 B , 则 A” 也真, 即既有 A ? B , 又有 B ? A , 记作 A ? B . 则称 A 是 B 的充分必要条件,简称充要条件. 表述概念定义的命题中其条件必须是充分必要条件. 例如,平行四边形的定义: “一组 对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.”我们可以说“四边形为平行四边形的充要条件 是一组对边平行且相等.” 例 1.1.5 指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件: (1) p : (x - 2)(x - 3) = 0, q : x - 3 = 0 ; (2) p : x = 4, q : x = 16; (3) p :同位角相等, q :两直线平行; (4) p :四边形的两条对角线相等, q :四边形是平行四边形. 解: (1) p 是 q 的必要条件而不是充分条件 .因为 x - 3 = 0 ?
2

(x 2)( x - 3) = 0 ,而

(x - 3) = 0

x- 3 = 0.
2

(2) p 是 q 的充分条件而不是必要条件. 因为 x = 4 ? x (3) p 是 q 的充要条件.因为同位角相等 ? 两直线平行.

16 ,而 x2 = 16

x = 4.

(4) p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件. 因为四边形的两条对角线相等 ? 四 边形是平行四边形,四边形是平行四边形 ? 四边形的两条对角线相等.

习题 1.1
1.什么叫做命题?一个命题的内容包括哪两部分?

2.改造下列定理的字句,配以图形和字母说明. (1)三角形的内角和等于 180 ; (2)一个三角形中,较大的边所对的角也大; (3)等腰三角形底边上的中线是底边的高,也是顶角的平分线; (4)在圆中,垂直于弦的半径必平分线所对的弧. 3.命题有哪几种形式?怎样由原命题得出它的其他形式?它们相互关系怎样? 4.写出下列命题的四种形式,指明命题的真假: (1)垂直于两平行线中的一条直线,必垂直于另一条直线; (2)四条边相等的四边形是菱形; (3)等腰三角形两底角相等; (4)直角三角形的两个锐角互余; (5)在一圆中,两条平行弦所夹的弧相等; (6)若四边形有一组对边互相平行,则另一组对边彼此垂直. 5.就下面的定理写出它的逆命题,画图,用字母符号表示,并辨明真假. (1)若两个三角形由两边对应相等,则夹角大的,它所对的边也大. (2)从圆外一点引圆的两条切线长相等.
0

禳 (1) AB = AC 镲 (3) D ABC中镲 睚 镲 (2) AD平分?A 镲 铪

(3) AD ^ BC . (4) AD平分BC

6. 指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件: (1) P : A = B, q : ac = bc; (2) P : a + 5 是无理数, q : a 是无理数.
2 2

(3) p : 两个三角形全等, q : 两个三角形相似. (4) p : a > b, q : a > b . (5) p : x = 1或x = 2, q : x - 1 =
2

x - 1.

(6) p : a, b 是整数, q : x + ax + b = 0 有且仅有整数解.

1.2 逻辑推理概要
推理是又一种重要的思维形式,它是通过判断与判断词之间的有机联系,从已知前提推 断新的结论的思维形式.逻辑思维对推理的基本要求是:推理要合乎逻辑,就是进行推理时 要合乎推理的逻辑形式,要遵守逻辑思维的规律.合乎逻辑的推理,称为逻辑推理.

1.2.1 逻辑思维的基本规律 1.同一律 同一律的内容是:在同一时间内,从同一方面思考或议论同一事物的过程中,必须保 持同一的认识.即同一事物过程中,所用的概念、判断必须确定,必须保持前后一致.具体地 说,一是思维对象保持同一,不能中途变更;二是概念保持同一,要用同一概念表示同一思 维对象, 既不能用不同概念表示同一事物, 也不能把不同事物混起来用同一概念表示, 否则, 推理所得的结论不真. 例如:如下推理: 物质是不灭的, (大前提) 桌子是物质, (小前提) 所以,桌子是不灭的.(结论) 其结论是错误的.因为大前提中的“物质”是抽象的、哲学意义上的概念, “不灭”是指转化 为其它物质;而小前提中的“物质”是具体的器物,与大前提中“物质”不是同一概念.结 论中“桌子是不灭的” ,桌子打碎了或烧掉了,转化为其它物质,就不是桌子了. 2.矛盾律 矛盾律的内容是:在同一时间内,从同一个方面,对同一思维对象不能既肯定它是什 么,又不能否定它是什么.即在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断,不能同真,必有一 假. 矛盾律是同一律的引伸,它是用否定的形式表达同一律的内容. 3.排中律 排中律的内容是:在同一时间内,从同一个方面,对同一思维对象,必须作出明确的 肯定或否定,不能模棱两可. 排中律要求人们的思维有明确性,它是同一律和矛盾律的补充和发挥,进一步指出正 确的思维不仅要求明确、不互相矛盾,要鲜明地表明肯定或否定. 排中律和矛盾律都不允许思维有逻辑矛盾,违反了排中律,同时也就违反了矛盾律.它 们的区别在于:矛盾律指出两个矛盾的判断,不能同真,必有一假;排中律指出了两个互相 矛盾的判断,不能同假,必有一真. 4.理由充足律 理由充足律的内容是:在思维过程中使用的判断必须是已经证实其真确性的判断,思 维推断要“有理有据” ,指明“因为有 A,使用有 B”.

1.2.2 推理的种类 常用的推理有类比推理、归纳推理、演绎推理等 1.类比推理 类比推理又称类比法,是一种从特殊到特殊的推理.它是根据两个或两类有部分属性相 同,从而推出它们的其它属性也相同的推理. 例如。平面几何中有定理“两条直线相交只有一个交点” ,在立体几何中用类比法推知 “两平面相交只有一条交线”. 由类比推理得出的结论不一定真实, 但类比推理不失为一种获取新知识的工具. 在几何 中一般不使用类比推理. 2.归纳推理 归纳推理又称为归纳法.它是一种从个别特殊到一般的推理.例如, 1 = 1,1+ 3 = 2 ,
2 2

1+ 3 + 5 = 32 ,... 推理猜想: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 .
又如,

2

ì 三角形内角和为1800 = (3 - 2).1800 ? ? ? ? 四边形内角和为3600 = (4 - 2).1800 ? ? 前提 í ? 五边形内角和为5400 = (5 - 2).1800 ? ? ? ? ? ? ...............
结论:凸 n 边形的内角和为 (n - 2).180 .
0

由于归纳法是由个别,特殊到一般的推理,结论是否正确,往往需要经过严格的证明 才能断定. 根据归纳法对象是否完备,归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法. (1)不完全归纳法:根据对某类事物中的一部分对象所具有的属性,推断该类事物都 具有此属性的一种推理.它的推理形式为:
A1具有性质p ,

A2具有性质p, ...... An具有性质p.

( A1 热A2 ... 忍An

A)

A类事物具有性质p
不完全归纳法仅列举了对象中的一小部分, 前提和结论之间未必有必然联系. 结论是否

正确,还必须经过理论证明和实践的检验. 例如, 法国数学家费马 (Fermat,1601-1665) 根据 22 + 1 = 5,22 + 1 = 17,22 + 1 = 257 ,
2 , 提出猜想: “任何形如 2 + 1(n 22 + 1 = 65537 都是素数(质数)
4
n

1

2

3

N ) 的数(称为费马数,

记为 Fn )都是素数.”但是,半个世纪后,欧拉(Euler)发现
F5

= 22 + 1 = 4294967297 = 641 6700417

5

并非素数,推翻了费马的猜想. 不完全归纳法作为逻辑推理是不严格的. 因此在几何证明题时并不采用. (2)完全归纳法 完全归纳法是根据某类事物中每一个对象都具有性质 p , 而作出该类事物具有性质 p 的 一般性结论的推理. 在完全归纳法中,涉及有无穷多种可能性的数学归纳法在几何中用得较少,大多数情 况下是涉及有限多种可能性,这种归纳法称为有限归纳法(或穷举法). 例如, 证明定理 “圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半” 时, 分三种情况证明: (1) 圆心在圆周角一边上; (2)圆心在圆周角内部; (3)圆心在圆周角外部.由于这三种情况穷 尽了所有可能,因此对这三种情况分别证明后,定理就完全证明了. 在运用有限归纳时最要紧的是“完全” ,即是否穷尽了所有可能.否则容易漏掉的这种情 况,结论不成立. 3.演绎推理 演绎推理,又称演绎法,它是由一般到个别(特殊)的推理,基于一个逻辑公理:如 果某个集合 A 中的所有元素都具有性质 F , a ? A ,则 A 具有性质 F . 由此可见,演绎推理的前提和结论有着必然的联系,只要推理的前提是真的,推理是 合乎逻辑的,推理得到的结论就一定正确. 演绎推理按照形式逻辑的推理方法进行推理, 就是合乎逻辑的. 形式逻辑的推理形式由 两个前提和一个结论组成,称为三段论,一般形式为:

凡M 都是p, (大前提) S 属于M. (小前提) \ S 是p.(结论) 或

凡M都具有性质F (大前提) S 属于M. (小前提) \ S 具有性质F (结论)

它的特点是: (1)如果大前提和小前提都真,那么结论必真.(2)从一般原理(数学中的定 义、公理、法则、已知的定理)推出特殊事实.

由形式逻辑的三段论法推理得到的结论, 实际上包含在大前提里面. 形式逻辑对大前提 是不管的,要管也管不了.例如, 三角形的内角和等于 100 , (大前提)
0

A, B, C 是 D ABC 的内角, (小前提)

\ A + B + C = 1000 .

(结论)

这个推理是合乎形式逻辑的,但结论显然是错误的,其原因在于大前提不正确,这是形式逻 辑的局限性 .尽管如此,在数学证明尤其是几何题的证明中,主要是用演绎法,因为作为三 段论的大前提是定义、公理、法则和已经证明的定理,都是正确的,因而所得出的结论也都 是正确的.

习题 1.2
1.逻辑推理有哪几种类型?试举例说明. 2.演绎推理的逻辑形式是怎样的? 3.下列三段论法是否正确?如果错误,指明原因,加以改正. (1)有一锐角相等的两个直角三角形相似, (大前提)

D ABC 和 D A1B1C1 中, ? A

(小前提) A1 都是锐角,

\ D ABC ~ D A1B1C1 .
(2)凡锐角互余, (大前提)

(结论)

行 A, B 都是锐角, (小前提)

\ ?A 与 ?B 互余.(结论)
(3)有四只脚的都是动物, (大前提) 桌子有四只脚, (小前提)

\ 桌子是动物.(结论)
(4)正方形的对角线互相垂直,(大前提) 四边形 ABCD 不是正方形, (小前提)

\ 四边形 ABCD 的对角线不垂直.(结论)
(5)圆的半径相等, (大前提)

(小前提) OA, OB 都是 O 的半径,

\ OA = OB .(结论).

1.3 几何命题的证明与三段论法
1.3.1 什么是几何命题的证明 在几何中,要判断一些新命题的真实性,主要是运用演绎推理,即遵照形式逻辑的思 维规律,运用三段论法进行推理,而且,一般不是只使用一个推理,而需要进行一连串的推 理才能完成. 例 1.3.1 判断命题“三角形的内角和等于 180 .”是真实的. 设 D ABC ,断言 ? A
0

A E

?B

?C

1800 (如图 1.3.1)

推理:延长 BC 至 D ,作 CE / / BA . Ⅰ.若两直线平行,则内错角相等, (大前提) (小前提) ?A 和 ?ACE 是平行线 CE, BA 的内错角,

B

图1.3.1

C

D

\ ?A

ACE (结论)

Ⅱ. 若两直线平行,则同位角相等, (大前提) (小前提) ?B 和 ?ECD 是平行线 CE, BA 的同位角,

\ ?B

ECD (结论)

Ⅲ.等量加等量,其和相等(等量公理,大前提)

?A

ACE , ? B

ECD , ? ACB

ACB ,(小前提)

\ ?A

?B

?A C B

? ACE ? ECD

. (A CB 结论 )
0

Ⅳ.若几个邻角的非公共边成一直线,则这几个角的和为 180 (大前提)

?A C E , ?ECD , ?ACB 的非公共边成一直线, (小前提)

\ ? ACE

? ECD

? ACB

1800 .(结论)

Ⅴ.等于同一个量的两个量相等(大前提)

?A

?B

? ACB ? ACE ?

ECD

ACB ;

而 ? ACE

? ECD ? ACB ? ACB

1800 , (小前提)

\ ?A ?B

1800 .(结论)

上述五个推理,大前提和小前提都正确,所以得到的最后的结论必定正确 .因此,断言 “三角形的内角和等于 180 .”是真实的. 象这样,使用一个或一连串合乎逻辑的推理,由某些真实的命题(大小前提) ,断言某 个新命题的真实性的思维形式,叫做逻辑证明,简称“证明”. 几何命题的证明,就是运用演绎推理——三段论法,以正确的命题(定义、公理、已经 证明的定理)为前提,推出欲证命题的结论. 1.3.2 证明的表达形式 在例 1.3.1 中,每一个推理都是完整的三段论法,叙述冗长,使人感到啰嗦、枯燥.在实 际应用中,一般都用省略三段论,就是省略三段论的大前提或小前提.几何命题的证明过程 中,总是配以几何图形的,如果小前提从图形上看出是不言自明的,则可省去小前提;如果 大前提是人所共知的,则可省去大前提(必要的话,将大前提写在结论后面的括号内;对于 显而易见的结论,甚至大、小前提都可省去. 用省略三段论表述例 1.3.1 的证明. 如图 1.3.1,延长 BC 至 D ,作 CE / / BA .
0

?A

ACE (内错角) ,? B

ECD (同位角)

(1) (2) (3) (4) (5)

\ ? A ? B ? ACB


? ACE

? ECD

ACB

B, C, D 在一条直线上(所作图形)

\ ? ACE
故 ?A

? ECD ? ACB ? ACB

1800 , (平角的定义)

?B

1800 (等量代换)

这里, (1)是前两个推理的结论,又是(2)的小前提; (2)的大前提是人所共知的,省去; (4)和(5)省去小前提,而大前提用括号表示在结论后面. 但整个证明过程是严谨的,使 人感到条理清楚,简明扼要. 例 1.3.2 如图,已知: D ABC 中, AD = DB, AE = EC , 求证: DE / / BC ,且 DE / =

1 BC . 2

A E F

证明:过 C 作 CF / / BA ,交 DE 的延长线于 F . D 在 D CFE 和 D ADE 中,

AE = CE, ? A

行 ECF , CEF =

AED B

图 1.3.2

C

\ D CFE @D ADE, 故CF = AD, EF = ED


CF / / DB, CF = AD = DB

\ CFDB为平行四边形,因而DE / / BC, DF = BC
D E= E F= \ D E= 1 = DF 2

1 BC . 2

请读者思考,上述证明中,哪些推理省略了大前提或小前提.

习题 1.3
1. 如图 1.3.2,已知 ? BDE

?1

2 ,求证: AB / / CD . A
E C 图 1.3.2 D

B

试用完整三段论法写出证明过程,再用省略三段论写出 证明. 2.已知: C 是线段 AB 上一点, D

E

AD / / BE, AD = AC, BE = BC ,
求证: DC ^ CE . A C 图 1.3.3 B

3.已知:在中 D ABC , ? C

900 , AC = BC ,

C E

D 是 AB 上一点, AD = AC, DE ^ AB ,
求证: BD = DE = CE .

A

4.求证:连接梯形两对角线中点的线段与两底边平行, 图1.3.4 且等于它们差的一半.(要求画图,写出已知、求证和证明). 5.两圆相交,从公共弦的延长线上一点所作两圆的切线相等(要求同第 4 题).

D

B

1.4 间接证法
欲证明某个几何命题,根据命题的条件和结论,直接证明,称为直接证法;如果直接 证明“若 A 则 B ”不太容易时,可以间接地去证明它的等效命题为真,从而肯定原命题为 真,称为间接证法.

我们知道, 原命题与逆否命题是等效命题. 欲证“若 A 则 B ” , 可间接证明“若 B 则 A ” , 此种证法称为反证法. 原命题与逆命题不一定是等效命题 .如果命题的条件与结论所指的事物是唯一的(如线 段的中点唯一,两直线的交点唯一等) ,称为符合“同一法则” ,在此种情况下,原命题与逆 命题是等效命题. 当证明原命题不易时,可证明它的逆命题,这种方法称为“同一法”. 1.4.1 同一法举例 用同一法证明“若 A 则 B ” ,实际上是间接证明“若 B 则 A ”.就是说,欲证明某图形具 有某种性质,用同一法的方法是:先作出具有欲证性质的图形,用演绎法进行推理,判断所 作图形与原图形重合,从而证明了题设图形具有某种性质. 例 1.4.1 已知:梯形 ABCD 中, AD / /CD, E, F 分别为
/

AE DF = AB, CD 上的一点,且 ,求证: EF / / BC . EB FC
证明:过 E 作 EF / / BC 交 CD 于 F .
/
/

A

D

E B 图1.4.1

F C

AD / / BC, \ AD / / EF / / / BC .
AE DF / \ = (平行线截得线段成比例) EB F / C
又已知

\

AE DF = , \ EB FC

D/ F = / F C

DF . FC

DC DF DF / + F / C DF + FC = 由合比定理, ,即 / = . / F C FC FC FC

\ F / C = FC, F / 与 F 重合,即 EF / 与 EF 重合.
\ EF / / BC .
例 1.4.2 以正方形一边为底向形内作一等腰三角形,若它的底角等于 15 ,则将它的顶
0

点与正方形另两个顶点相连,必构成一个正方形. 已知:如图 1.4.2, E 是正方形 ABCD 内部一点, ? 求证: D EAB 是正三角形.
/ / 证明:以 AB 为底边向正方形内作三角形 D E AB ,并连 E C, E D .
/

ECD

? EDC

150 .

E / B = AB = BC,

\ D BE / C 为等腰三角形,其顶角 ?E / BC = 900 - 600 = 300 ,
底角 ?BCE =
/

1 (1800 - ? E / BC ) 2

750 ,

D E

C

\ ? E /CD
同理, ? 又已知 ?

900 - 750 = 150
150

E / DC

ECD

? EDC

150 ,
A B 图1.4.2

\ E

/

与 E 重合.

\

D EAB 是正三角形.

综合上述例题的证明过程,可见同一法的证题步骤是: (1)作出具有欲证图形性质的图形; (2)由此进行逻辑推理,断言所作图形符合已知条件; (3)根据同一法则,断言所作图形与已知条件的图形重合; (4)断言已知图形具有某种性质. 1.4.2 反证法 反证法是证明原命题的逆否命题真的一种方法. 它是从欲证结论的反面出发,即否定欲 证结论,以此为前提,根据公理和前提定理(已知定理) ,进行逻辑推理,得出矛盾,从而 肯定原命题真. 例 1.4.3 证明:两条直线相交只有一个交点. 证明: 假定直线 l1 和 l2 相交有两个交点 A 和 B ,根据公理“经过两点有且只有一条直 线” ,现 l1 经过 A, B 两点,l2 也经过 A, B 两点.所以,l1 与 l2 重合.此与 l1 ,l2 相交矛盾.故 l1 ,

l2 相交只有一个交点.
例 1.4.4 在四边形 ABCD 中, E , F 分别为 AB, CD 的 中点,且 EF

= ( AD + BC ) ,求证: AD / / BC .
E B

1 2

A

证明:假设 AD 不平行于 BC ,连 BD ,取 BD 的 中点 G ,连 GE, GF ,则

G

D F C

EG / / AD, EG =
AD 不平行 BC ,

1 1 AD; GF / / BC , GF = BC 2 2

图1.4.3

\ E, G, F 不共线(两相交直线的平行线必相交) ,于是

EF < EG + GF = ( AD + BC ) .
此与已知条件相矛盾.故 AD / / BC . 例 1.4.5 已知: D ABC 中, BE, AF 分别是

1 2

C E

G

F B 图1.4.4

行 ABC , BAC 的平分线,且 BE = AF ,
求证: ? ABC

A

BAC .

证明:过 E 点作 EG / / AF ,过 F 作 AC 的平行线交

EG 于 G ,则 EG = AF = BE ,

\ ? EGB

EBG . BAC ,则 ? ABC BAC ,则 BAC 或 ? ABC BAC .

ABC 假定 泄
(ⅰ)若 ? ABC

? FGB ? EGB ?

E G F?

EGB

EAF

= ? EGB < ? EGB = ? EBG = FBG

1 CAB 2 1 ABC 2 1 ABC 2

? FGB 在 D FBG 中,

衆 FBG,

BF < FG = AE .
1 ? ABC 2 1 ? BAC 2

(1)

? EBA 在 D EBA 和 D FAB 中,BE = AF , AB 公共,
\ BF > AE
(1) 式与(2)式互相矛盾.

EAB
(2)

\

ABC 不小于 ?BAC ,即 谐 ABC

BAC . BAC .

(ⅱ) 若 ? ABC

BAC ,则类似(ⅰ)的推理,可证明 校 ABC
BAC .

综合(ⅰ) 、(ⅱ)得 ? ABC

反证法的逻辑基础是排中律:对于所论命题,除了“若 A 则 B ”和“若 A 则 B ”外没 有第三种情形,两者必然一真一假.反证法证题,否定结论,从 B 出发,进行逻辑推理,推 出矛盾,断言“若 A 则 B ”为假,从而肯定“若 A 则 B ”为真. 反证法证题的步骤是:

(1)否定结论(有几种可能情况一一列出) ; (2)从否定的结论出发,进行逻辑推理,得出某些结果; (3)指出所得结果与已知条件矛盾,或与定义、公理、已证定理矛盾,或所得结果互 相矛盾,即归结到谬误.(反证法又称归谬法). (4)肯定原命题的结论为真. 同一法与反证法都是间接证法,它们既有联系又有区别.同一法是根据同一法则证明其 等价命题——逆命题为真;反证法是证明其等价命题——逆否命题为真.凡是能用同一法证 明的命题,都可以用反证法证明;但是能用反证法证明的命题,不一定能用同一法证明.因 为反证法推出的矛盾,不一定是“唯一性”方面的.

习题 1.4
1.同一法和反证法的推理形式各是怎样的? 2.用同一法证明下列各题: (1)已知:直线 a, b, l ,且 a / / b ,且 a ^ l ,求证: a ^ l . (2)已知: D ABC中,AB = AC , ? A

A

1 2

ABC ,

D B C 第2(2)题

D 为 AC 上一点, AD = BC ,求证: BD = BC .
(3)在 D ABC 中,过 AB 的中点,作 DE / / BC ,交 AC 于 E , 求证: E 为 AC 的中点. (4)在矩形 ABCD 中, AB = 2 BC , E 是 CD 边上的一点, 若 ? CBE

p , 则 AB = AE . 12

A F

D

(5) 已知:在梯形 ABCD 中, AD / / BC ,且 AD + BC = AB ,

E

A, B 的平分线必过 CD 的中点 E . 求证: 行
3.用反证法证明下列各题: (1)同时平行于第三条直线的两条直线平行. (2)已知:在梯形 ABCD 中, AD / / BC , AC , BD 相交 于 E ,过 E 作底边的平行线 FG ,分别交 AC , BD 于 F , G ,求证:
EF = EG .

B 第2(5)题
D F E

C

C G

A

第3(2)题

B

(3)求证:直角三角形中必有一个不大于 45 的角.

0

BC 有公共边 BC ,且 Aⅱ B + A C > AB + AC ,求证: (4)已知: D ABC 和 D A?
A?在 D ABC 的外部.

(提示: A?不在 D ABC 的外部,则 A?在 D ABC 的内部或 AB ( AC ) 上) (5)若等腰三角形内一点对两腰的视角不等,则该点至底边的距离亦不等,近大角的 距离较小.

1.5 综合法和分析法
直接证法按证题的思路顺逆而言,可分为综合法和分析法. 综合法是由已知条件逐步推导到结论的一种证明方法(即由已知到未知的证明方法). 其一般方法是: 要证明命题 “若 A 则 N ” ,可证明 “若 A 则 B ” , “ 若 B 则C ” ,…., “ 若 M 则 N ”,于是有“若 A 则 B ”成立.因此,综合法是从前提出发,根据定义、公理和前此定 理逐步进行逻辑推理,一直推导到要证明的结论. 例 1.5.1 已知:在 D ABC 中, AB > AC , AD 是

A 1 2

?A 的平分线,求证: BD > CD .
证明:延长 AC 至 E ,使 AE = AB ,连 DE , 在 D ABD 和 D AED 中, AB = AE, ? 1

? 2, AD

AD

\ D ABD @D AED, \ BD = ED, ? B E.

B

C D 图1.5.1 E

在 D CED 中, ? ECD

B (三角形的外角大于不相邻的内角)

\ ? ECD

E

\ ED > CD ,故 BD > CD .
[注] 更简单的证明,可利用角平分线的性质, 例 1.5.2 如图,在 D ABC 中, ? C

900 , AD 平分

BD AB = ,读者自己完成. DC AC C

?A , CH ^ AB 交 AD 于 F , DE ^ AB ,垂足为 E ,
求证: CDEF 是菱形. 证明:在 D ACD 和 D AED ,

1 A

F 2 H E 图1.5.2

D

B

? ACD

? AED

900 , AD = AD, ? CAD

EAD ,

\ D ACD @D AED ,. \ CD = DE


? CFD

900 - 行 FAH , CDF = 900 CDF . \ CF = CD,

FAC

\ ? CFD


\ C F= D E .

C H^

AB , DE ^ AB , \ CF / / DE

是菱形. \ CDEF 分析法是由结论逐步追溯到已知条件的一种证明方法.其一般方法是:要证明命题“若 ,方法是“要证 N 成立,只要证 M 成立” , “ 要证 M 成立,只要正 L 成立” ,…, A则 N ” “ 要证 C 成立,只要证 B 成立” , “ 要证 B 成立,只要 A 成立即可” , “现 A 成立,故必有

N 成立”.因此,分析法就是从结论出发,逐步追溯结论成立的充分条件,最后追溯到已知
条件为止. 例 1.5.3 如图 1.5.3 所示, 已知: 在 D ABC 中,? A

2 B, CD 是 ? C 的平分线, 求证:

BC = AC + AD .
证明 要证 BC = AC + AD ,在 CB 上截取 CE = CA , 连 DE ,只要证明 BC = CE + AD ,由于 BC = CE + BE , 只要证明 AD = BE 即可.易见 D ACD @D ECD ,有 AD = DE 和 ? DAC

A D B E 图1.5.3
,B 知

C

? DEC

2 B .要证 AD = BE ,只要证 DE = BE .
B D E. 这 可 由 ? D E B

要 证 D E = B E, 只 要 证 明 ? B

? BDE

B ,故结论得证.

? B ? BDE 2 E

例 1.5.4 如图 1.5.4,已知:在 D ABC 中,

A

O ?A 的平分线交 BC 于 D , O 是 D ABC 的内 C OA AB + AC B D = 心,求证: . OD BC 图1.5.4 OA AB + AC = 证明 要证 , 因为 BAC 是折线, 若延长 BA 至 E ,使 AE = AC ,则只要 OD BC OA BE OA BA = = 证 ;顾及到 O 是 D ABC 的内心,连 BO , BO 是 ?B 的平分线,有 ; OD BC OD BD OA BE BA BE BA BE = = = 要证 ,只要证 ;要证 ,连 CE ,,只要证 CE / / DA ,; 要 OD BC BD BC BD BC
证 CE / / DA , 只 要 证 ? E

B A D 或 ? ACE

DAC , 这 由 ? E

A C E ,

? BAD

行 DAC, BAD + ? DAC

?E

ACE 即可知,所以结论成立.

由以上例题可见,综合法和分析法都是进行演绎推理. 综合法从已知条件推导到结论, 分析法从结论追溯到已知条件. 综合法每一步推导都推到必要条件,但不是充分条件,而分 析法的每一步追溯到的都是充分条件,是否必要可以不管. 两种证明方法是相互联系的,分 析过程中往往要顾及已知条件,就是分析中有综合;综合法从已知条件出发,需要考虑到证 明的结论,逐步综合,而且证明途径需要通过分析来探索. 两种证明方法又各有利弊. 一般 来说,分析法比较找到证题思路,综合法书写较为简洁.因此,证题时常常用分析法找到思 路,然后改用综合法写出证明. 用分析法找到不同的思路,就有不同的证明方法. 例 1.5.5 已知:四边形 ABCD 内接于

o , AC ^ BD 于 P , OE ^ AB 于 E ,求证:

OE =

1 CD . 2 1 CD , OE, CD 无直接联系, 2

C D P
1 FB , 2

分析一 要证 OE = 需引入第三条中介线段. 作直径 AF ,

F o E 图1.5.5(1) B

OE ^ AB 于 E 有 AE = EB, \ OE =

A

于是只要证 FB = CD . 要证 FB = CD ,只要证 FB = CD ,即证 ? FAB 又

CBD . BCP .它们

显然相等.故结论成立.

?FAB 与 ?AFB 互余, ?CBD 与 ?BCP 互余, \ 只要证 ? AFB C

综合一(读者完成) 分析二 (如图 1.5.5(2) ) 要证 OE =

F D P A E 图1.5.5(2)
DAC , \ 只要证 ? DAE

o B

1 CD ,作 OF ^ CD 于 F ,只要证 2

OE = DF .连结 OA, OD ,则易见 OE, DF 分别为直角

三 角 形 O A E 和 DOF 的 两 直 角 边 . 要 证 O E = D F , 只 要 证 D O A E @ D D O F .已有

O A= O D, 只要证 ? OAE
要证 ? DAE

DOF .

? DOF

DAC ;

DAC , 由 于 ?O A E 与 ?AOE 互 余 , ?D A C 与 ?ADB 互 余 , 只 要 证

? AOE

ADB ,它们显然相等(都等于

1 AB 的度数). \ 结论得证. 2

证明(综合二) 作 OF ^ CD 于 F ,连结 OA, OD ,

? AOE

ADB =
DOF .

1 AB 的度数, 2

\ ? OAE

在直角三角形 OAE 和 DOF 中,

? DOF

DAC , OA = OD

\ D OAE @D DOF \ OE = DF =
1 CD . 2

证题时,无论是用综合法还是分析法,在思考问题的过程中,如何迅速找到正确的 途径,常是证题中最使人感到困惑的事情. 一般来说,证题的线索不易找,而有了线索判别 它是否可行比较容易. 因此,在实际上看问题时不必拘泥于纯粹用综合法或纯粹用分析法, 可以两者并用. 方面,由前提往结论靠,另一方面由结论往前提靠拢,最后两者汇合到一起. 找到思路以后,判定这个思路是否行得通时,再按逻辑推理的要求进行推理. 在寻找证题线索时,适当地作辅助线是关键,作辅助线不同,证题时的思路和方法也不 同. 例 1.5.6 设 AB 是 求证: ? DAB

o 的弦, AD 为直径.过 B 作 o 的切线,过 A 作 BC 的垂线 AC ,

BAC .

这是两证两角相等的题目.我们把两角相等的各种证题方法分别试用,就要作不同的辅 助线而得到不同证法.

D E A 1 2 o 3 B C A 1 2 3

D o B C A 1 2 3 C

D

B

D D 1 A 2 3 C E
(1)利用全等三角形的对应角相等; (2)利用等腰三角形的底角相等; (3)利用相似

D 1 2 C

E 1 2 C B

B

A

B

三角形的对应角相等; (4)利用等角的余角相等; (5)利用等弧所对的圆周角相等. 一分析如下:

现逐

分析一: ?ACB 是直角,试作 BE ^ AD ,在 D ABC 和 D ABE 中,有相等的直角和 公共边,只须证 ? 3

4 就可以全等了.由于 ? 4 是弦切角,应等于 ?D ,又 ?ABD 是半圆 D ,因而有 ? 3 4,

内 的 圆 周 角 , 也 是 直 角 , ?3 与 ?D 都 是 ?1 的 余 角 , ? 3

D ABC @ D ABE ,故 ? 1

2.

分析二:因 ?1 是弦 AB 与直径 AD 所夹的角.若连 OB ,则 ?1 是等腰三角形 OAB 的一 底边,得 ? 1

3 ,只须证 ? 2
2.

3 . 由 OB ^ BC , AC ^ BC ,自然 OB / / AC ,自然

?2

3 ,故 ? 1

分析三:? 2 在 RtD ABC , ?1 是否在另一个 RtD 中呢,连 DB ,就得到 RtD ABD ,在 此两直角三角形中,有 ? 3

D ,于是两直角三角形相似,故 ? 1

2.

分析四:易知 ? 2 是 ?3 的余角,那么 ?1 是哪一个角的余角.若连 BD , ?1 就是 ?D 的 余角,但证法与分析一相同,现换一角度思维,若过 A 作切线 AE 交 BC 延长线于 E , ?1 就是 ?BAE 的余角,因从 E 所引的二切线相等, ? BAE

3 ,故 ? 1

2.

分析五:若 AC 交圆于 E ,则 ?1 和 ? 2 是 BD 和 BE 所对的圆周角,要证 BD = BE , 可连 DE ,只须证 DE / / BC , DE 和 BC 都是 AD 的垂线,它们显然平行.由定理“弦与切 线平行,则切点平分这弦所对的弧”知 BD = BE ,故 ? 1

2.

若 AC 不与圆相交,其延长线必与圆相交于 E (如图(6 ) ) ,仍得 BD = BE ,此时

?1

BDE .此时 ? 2 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角,有 ? 2 2.

BDE (圆内接四边形

的外角等于内对角). 故 ? 1

可见几何题有多种证明方法, 证完一个题以后要再思考一下, 是否还有其他更简单的证 明方法,这有利于提高我们的思维能力和证题能力. 在平面几何分析法和综合法证题中, 有时需要运用多种方法来进行, 以下两个例子就运 用归纳法与同一法证明命题. 例 1.5.7 (Menelaus 定理)设 L, M , N 分别为 D ABC 的边 BC , CA, AB 所在直线上的 点(与 D ABC 的顶点不重合) ,则 L, M , N 三点共线的充要条件是:

BL CM AN . . =- 1 LC MA NB

(*)

证明:设 L, M , N 三点共线,要证 (*) 式.连此直线, 不外乎下述两种可能性: (1) L, M , N 三点中有且仅有一点(例如 M )位于

A N B C L 图1 D M

D ABC 一边的延长线上,而其它两点则分别位于另两边
(如图(1) ) (2) L, M , N 三点分别位于 D ABC 各边延长线上(如图 2 .对于第一种情况,过 C 作 CD / / AB ,交直线 MN 于 D ,则

N A B 图2 C M D L

BL BN CM CD = , = LC DC MA NA \ BL CM AN BN CD AN . . = . . = - 1. LC MA NB DC NA NB

对于第二种情况,上述证明也完全使用.必要性证毕. 反之,设 (*) 式成立.现要证 L, M , N 三点共线. (*) 式左端的三个比值有且只有两种可 能性: (1)三个比值中两正一负; (2)三个比值均为负. 对于第一种情况, L, M , N 三点中必有且仅有一点位于 D ABC 某边的延长线上,不 妨设此点为 M ,下面用同一法证之. 连直线 ML ,设其交 AB 于 N ,则 N 必位于线段 AB 上,且依本题必要性部分知
/ /

BL CM AN / . . = - 1, LC MA N / B
再由 (*) ,有

AN / NB \ AB N/B = AN / + N / B N/B =
/

=

AN , NB +1

AN / N/B

=

AN AN + NB AB , + 1= = NB NB NB

. \ N / B= N B 于是 N 必与 N 重合,即 L, M , N 三点共线. 对于第二情况亦可类似地证明,不同之处仅在于 N 必位于 AB 或 BA 延长线上而已. 例 1.5.8 (Ceva 定理) 设 X , Y , Z 分别为 D ABC 边 BC , CA, AB 所在直线上的点 (不 与 D ABC 顶点重合) ,则 AX , BY , CZ 三线共点或平行的充要条件是
/ /

BX CY AZ . . =1 XC YA ZB
证明:若 AX / / BY / /CZ (如图(1)),则

(**)
Y A
,

Z

BX BA CY ZB = , = XC AZ YA BA \ BX CY AZ BA ZB AZ . . = . . = 1. XC YA ZB AZ BA ZB

B

X 图(1)

C

今设 AX , BY , CZ 三线共点于 O ,要证 (**) 式成立,不外乎下面两种可能性:

A Z B A O X 图(2)
(1) X , Y , Z 分别位于 D ABC 各边上(如图(1) ) ;

Z Y Y C B C 图(3) X O

(2) X , Y , Z 仅有一点(例如 Y )位于 D ABC 的一边上而其它两点分别位于另两边的 延长线上(如图(2) ). 对于第一种情况,运用例 1.5.7,由直线 COZ 截 D ABX 得

BC XO AZ . . = - 1, CX OA ZB

由直线 BOY 截 D ACX 得

XB CY AO . . = - 1, BC YA OX
上两式相乘

XB CY AZ . . = 1, CX YA ZB


BX CY AZ . . = 1, XC YA ZB

(**) 式成立.
对于第二种情况,可与第一种情况完全相同地证明之,必要性证毕. 下证充分性.要由 (**) 式证明 AX , BY , CZ 三线共点或平行, 这只要证明: 如果 (**) 式 成立,且 AX , BY , CZ 不全平行则必共点.
/ 由于 AX , BY , CZ 不全平行, 故不妨设 BY , CZ 交于 O , 连 AO 并延长交 BC 于 X ,

则由本题必要性的部分知有

BX / CY AZ . . = 1. X / C YA ZB
故有

BX / XC
/
/

/

=

BX . XC

于是, X C = XC , X 必与 X 重合.即 AX , BY , CZ 三线共点于 O .

习题 1.5
1.用综合法证明下列命题: (1)已知:在 D ABC 中, CD 是 AB 边上的中线, 且 CD =

1 AB ,求证: D ABC 是直角三角形. 2

(2)如图,已知: D 为等腰三角形 ABC 的

A
BC 延长线上一点, CD = CE, BE 的延长线交 AD

F
于 F .求证: BF ^ AD . (3)如图,已知: G 是正方形 ABCD 的 AB 边 上任意一点, EF ^ DG 交 DA, CB 于 E , F . 求证: EF = DG . 2.用分析法证明下列各题: (1)求证:连结梯形两对角线中点的线段与两底边 平行且等于它们差的一半. (2)已知:在 D ABC 中, AD, BE 是 BC 和 AC 上 的高, F 是它们的交点,求证:

E B C 第1(2)题 D C F E A G 第1(3)题 B D

AF .FD = BF .FE .
(3) 已知: AB 是

D
o 的直径,从 o 作任意射线交

C

A o B

B 的切线于 C ,过 A 作弦 AD ,使 AD / / OC ,求证:
CD 和 o 相切于 D .
以下各题,要求写出简要分析,再写证明过程. 3.已知:在 D ABC 中, ? C

第2(3)题 C

900 , AC = BC ,

E

D 是 AB 上一点, D = AC, DE ^ AB ,求证:
DE = DB = CE .
4.已知: D ABC 中, AB = BC ,直线 EF 过点 A ,

A 第3题

D

B

且 EF / / BC , D 为 EF 上任意一点(不与 A 重合) ,求证: AB + AC < DB + DC.

D ABC 中,E 是 BC 的中点,D 是 CA 延长线上的点,AD = 5.已知:
于 F ,求证: DF = EF .

1 AC , DE 交 AB 2

6. 设 D 为 D ABC 的 BC 边的中点,过 D 引一直线分别与 AC 及 BA 的延长线相交于

E , F ,求证: AE.BF = CE. AF .
7.已知:从圆上一点 D 作 DE 垂直于直径 AB ,过 A, D 各做圆的切线交于 C ,连结 C , B ,交 DE 于 F .求证:

E
DF = FE (提示:过 B 作切线交 CD 的延长线于 G ).
8.设 BC 切

o A D C 第8题 B

o 于 B , OC 垂直于半径 OA ,交 AB 于 D ,

求证: BC = CD . 9.已知:在 D ABC 中, AM 是 ?A 的平分线, AM 的垂直平分线

DN 交 BC 的延长线于 N ,求证: MN 2 = BN .CN .
(提示:连结 AN ,证 D ABN ~ D CAN ). 10.已知:AB 为 过点 D 作

o 的直径,AC 切 o 于 A , 割线 BC 交 o 于 D , 交切线 AC 于 C ,

o 的切线交于 AC 于 E ,求证: AE = EC .(提示:连结 AD ).


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