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高一数学一元二次不等式解法练习题及答案


高一数学一元二次不等式解法练习题及答案

1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0的解是 a
[ ]

A.a<x<

1 a

1 B. <x<a a 1 C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a
1 分析 比较a与 的大小后写出答案. a

/>
1 1 解 ∵ 0<a<1,∴a< ,解应当在“两根之间”,得a<x< . a a 选A.

例2

x 2 ? x ? 6有意义,则x的取值范围是



分析 求算术根,被开方数必须是非负数. 解 据题意有,x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“两根之外”,所以 x≥ 3 或 x≤-2. 例 3 若 ax2+bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2},则 a=________,b= ________. 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1 和 2 是方程 ax2+bx-1=0 的两 个根,考虑韦达定理. 解 根据题意,-1,2 应为方程 ax2+bx-1=0 的两根,则由韦达定理知
1

? b ? ? ( ?1) ? 2 ? 1 ? ? a 得 ? ?? 1 ? ( ?1) × 2 ? ?2 ? ? a
a? 1 1 ,b ? ? . 2 2

例 4 解下列不等式 (1)(x-1)(3-x)<5-2x (2)x(x+11)≥3(x+1)2 (3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

3 (4)3x 2 ? 3x ? 1> ? x 2 2 1 (5) x 2 ? x ? 1> x( x ? 1) 3
分析 将不等式适当化简变为 ax2+bx+c>0(<0)形式,然后根据“解公式”给 出答案(过程请同学们自己完成). 答 (1){x|x<2 或 x>4}

3 (2){x|1≤x≤ } 2
(3)?
(4)R (5)R 说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.

例5 不等式1+x>

1 的解集为 1? x
[
2

]

A.{x|x>0} C.{x|x>1}

B.{x|x≥1} D.{x|x>1 或 x=0}

分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.

1 > 0, 1? x ? x2 x2 通分得 > 0,即 > 0, 1? x x ?1 解 不等式化为1+x-
∵x2>0,∴x-1>0,即 x>1.选 C. 说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.

例 6 与不等式

x?3 ≥ 0同解的不等式是 2?x
[ ]

A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1

C.

2?x ≥0 x?3

D.(x-3)(2-x)≤0

?( x ? 3)(2 ? x) ≥ 0, 解法一 原不等式的同解不等式组为 ? ? x ? 2 ≠ 0.
故排除 A、C、D,选 B.

解法二

x?3 ≥ 0化为x= 3或 (x- 3)(2 -x) > 0即 2 <x≤ 3 2?x

两边同减去 2 得 0<x-2≤1.选 B. 说明:注意“零”.
3

例 7 不等式

ax <1的解为{x|x<1或x> 2},则a的值为 x ?1
[ ]

1 2 1 C.a= 2 A.a<

B.a>

1 2 1 2

D.a=-

分析 可以先将不等式整理为

(a ? 1) x ? 1 < 0,转化为 x ?1

[(a-1)x+1](x-1)<0,根据其解集为{x|x<1 或 x>2}

可知a-1< 0,即a<1,且-
答 选 C.

1 1 = 2 ,∴a= . a ?1 2

说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.

例8 解不等式

3x ? 7 ≥2. x ? 2x ? 3
2

解 先将原不等式转化为

3x ? 7 ? 2≥0 x ? 2x ? 3
2

? 2x 2 ? x ? 1 2x 2 ? x ? 1 即 2 ≥ 0,所以 2 ≤ 0. x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 1 7 由于 2x 2 +x+1= 2(x+ ) 2 + > 0, 4 8
∴不等式进一步转化为同解不等式 x2+2x-3<0, 即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1}. 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题.
4

例 9 已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}与 B={x|x2-2ax+a+2

≤0},若B ? A,求a的范围.

分析 先确定 A 集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关

系,结合B ? A,利用数形结合,建立关于a的不等式.
解 易得 A={x|1≤x≤4} 设 y=x2-2ax+a+2(*)

(1) 若B=?,则显然B ? A,由Δ <0得
4a2-4(a+2)<0,解得-1<a<2.

(2) 若B≠?,则抛物线(*) 的图像必须具有图1-16特征: 应有{x|x1≤x≤x 2 } ? {x|1≤x≤4}从而
? ?12 - 2a·1+a+ 2 ≥ 0 ? 2 ?4 - 2a· 4 +a+ 2 ≥ 0 ? ? 2a ?1≤ ≤4 ?2 ?

解得12 ≤a≤

18 7

综上所述得a的范围为-1<a≤

18 . 7

说明:二次函数问题可以借助它的图像求解.
5

例 10 解关于 x 的不等式 (x-2)(ax-2)>0. 分析 不等式的解及其结构与 a 相关,所以必须分类讨论. 解 1° 当 a=0 时,原不等式化为 x-2<0 其解集为{x|x<2};

2 2 2 ° 当a< 0时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) < 0,其解 a a 集为
2 {x| <x< 2}; a

2 2 3° 当 0<a<1时,因 2 < ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a 集为
2 {x|x< 2 或x> }; a
4° 当 a=1 时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};

2 2 5° 当a>1时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a 集是
2 {x|x< 或x> 2}. a
从而可以写出不等式的解集为: a=0 时,{x|x<2};

2 a< 0时,{x| <x< 2 }; a

6

2 0<a<1时,{x|x< 2 或x> }; a
a=1 时,{x|x≠2};

2 a>1时,{x|x< 或x> 2}. a
说明:讨论时分类要合理,不添不漏. 例 11 若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α <x<β}(0<α <β),求 cx2+bx +a<0 的解集. 分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质上 是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑 使用韦达定理: 解法一 由解集的特点可知 a<0,根据韦达定理知:

? b - =α +β , ? ? a ? ? c =α ·β . ? ?a ?b =- ( α +β ) < 0, ? ?a 即? ? c =α ·β > 0. ? ?a
∵a<0,∴b>0,c<0.



b a b × ? , a c c

b 1 1 =- ( + ) c α β c a 1 1 由 =α ·β ,∴ = · a c α β ∴
7

① ②

对cx 2 +bx+a< 0化为x 2 +

b a x+ > 0, c c

由①②得

1 1 b a 1 1 , 是x 2 + x+ =0两个根且 > > 0, α β c c α β

b a 1 1 ∴x 2 + x+ >0即cx 2 +bx+a<0的解集为{x|x> 或x< }. c c α β
解法二 ∵cx2+bx+a=0 是 ax2+bx+a=0 的倒数方程. 且 ax2+bx+c>0 解为α <x<β,

∴cx 2 +bx+a<0的解集为{x|x>

1 1 或x< } . α β

说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维.

例12 解关于x的不等式:

x <1-a(a∈R) . x ?1

分析 将一边化为零后,对参数进行讨论.

解 原不等式变为

x ax ? 1 ? a - (1-a) < 0,即 < 0, x ?1 x ?1

进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. (1)当 a>0 时,不等式化为

(x- <1};

a ?1 a ?1 a ?1 )(x-1) < 0,易见 <1,所以不等式解集为{x| <x a a a

(2)a=0 时,不等式化为 x-1<0,即 x<1,所以不等式解集为{x|x<1};

(3)a<0时,不等式化为(x- 不等式解集为{x|x<1或x>

a ?1 a ?1 ) ·(x-1) >0,易见 >1,所以 a a

a ?1 }. a
8

综上所述,原不等式解集为:

当a>0时,{x| a ?1 或x<1}. a

a ?1 <x<1};当a=0时,{x|x<1};当a<0时,{x|x> a

例 13 (2001 年全国高考题)不等式|x2-3x|>4 的解集是________. 分析 可转化为(1)x2-3x>4 或(2)x2-3x<-4 两个一元二次不等式.

由(1) 可解得x<-1或x>4,(2)?.
答 填{x|x<-1 或 x>4}. 例 14 (1998 年上海高考题)设全集 U=R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x- 5|<a}(a 是常数),且 11∈B,则 [ A.(
UA)∩B=R UB)=R UB)=R

]

B.A∪( C.(

UA)∪(

D.A∪B=R 分析 由 x2-5x-6>0 得 x<-1 或 x>6,即 A={x|x<-1 或 x>6}由|x-5|<a 得 5-a<x<5+a,即 B={x|5-a<x<5+a} ∵11∈B,∴|11-5|<a 得 a>6 ∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R. 答 选 D.
9

说明:本题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、绝对值不等式、一元二次 不等式等内容都得到了考查

不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中,经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所 有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型: 类型 1:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,(1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 。 类型 2:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? , ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0

? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0
(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

10

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
类型 3:

f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) min ? ?
f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) max ? ? 。
类型 4:

f ( x) ? g ( x)对一切x ? I恒成立 ? f ( x)的图象在g ( x)的图象的上方或 f ( x) min ? g ( x) max (x ? I )
恒成立问题的解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用 函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0
例 1:若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。 解析:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为:

m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,;令 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) ,则 ? 2 ? m ? 2 时, f (m) ? 0
2 ? f (?2) ? 0 ? ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 恒成立,所以只需 ? 即? ,所以 x 的范围是 2 ? ? f (2) ? 0 ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ?1? 7 1? 3 x?( , )。 2 2

二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, x ? R) 有: (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ;
11

(2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 例 2:若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。 解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数 m, 所以要讨论 m-1 是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0

,所以, m ? [1,9) 。

三、利用函数的最值(或值域) (1) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? f ( x) min ? m ; (2) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? m ? f ( x) max 。简单计作:“大的大于最大的,小的小 于最小的”。由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例 3:在 ? ABC 中,已知 f ( B) ? 4 sin B sin 2 ( 求实数 m 的范围。 解析:由

?
4

?

B ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 恒成立, 2

B ) ? cos 2 B ? 2 sin B ? 1,? 0 ? B ? ? ,? sin B ? (0,1] , 4 2 ?m ? f ( B) ? 2 恒成立, f ( B) ? (1,3] , ?| f ( B) ? m |? 2 恒成立, ? ?2 ? f ( B) ? m ? 2 ,即 ? ?m ? f ( B) ? 2 ? m ? (1,3] f ( B) ? 4 sin B sin 2 ( ?
例 4:(1)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。 解析:由于函 a ? sin x ? cos x ?

?

2 sin( x ?

?

? 3? ), x ? ? ? [? , ] ,显然函数有最大值 4 4 4 4

2 ,? a ? 2 。
如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题:
12

(2)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ?

?

? (0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 2

?

解析:我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值范围的变化,这 样使得 y ? sin x ? cos x 的最大值取不到 2 ,即 a 取 2 也满足条件,所以 a ? 2 。 所以,我们对这类题要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分离参数法。 四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。 例 5:已知 a ? 0, a ? 1, f ( x) ? x 2 ? a x ,当x ? (?1,1)时, 有f ( x) ? 1 恒成立 ,求实数 a 的取

2

值范围。 解析:由 f ( x) ? x 2 ? a x ? 1 ,得x 2 ? 1 ? a x ,在同一直角坐标系中做出两个函数的图

2

2

1 1 ? a及(?1) 2 ? ? a ?1 得到 a 分 2 2 1 1 别等于 2 和 0.5,并作出函数 y ? 2 x 及y ? ( ) x 的图象,所以,要想使函数 x 2 ? ? a x 在 2 2 1 区间 x ? (?1,1) 中恒成立,只须 y ? 2 x 在区间 x ? (?1,1) 对应的图象在 y ? x 2 ? 在区间 2 x ? (?1,1) 对应图象的上面即可。当 a ? 1时, 只有a ? 2 才能保证,而 1 1 0 ? a ? 1时,只有a ? 才可以,所以 a ? [ ,1) ? (1,2] 。 2 2
象,如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交,则由 12 ? 由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解。利用函数图 象解题时,思路是从边界处(从相等处)开始形成的。 例 6:若当 P(m,n)为圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上任意一点时,不等式 m ? n ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范围是( ) A、 ? 1 ? 2 ? c ? 2 ? 1 C、 c ? ? 2 ? 1 B、 2 ? 1 ? c ? 2 ? 1

D、 c ? 2 ? 1
13

解析:由 m ? n ? c ? 0 ,可以看作是点 P(m,n)在直线 x ? y ? c ? 0 的右侧,而点 P(m,n)在 圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上,实质相当于是 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1在直线的右侧并与它相离或相切。

?0 ? 1 ? c ? 0 ? ? ?| 0 ? 1 ? c | ? c ? 2 ? 1 ,故选 D。 ? 2 2 ?1 ? 1 ?1
其实在习题中,我们也给出了一种解恒成立问题的方法,即求出不等式的解集后再进行 处理。 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实,对于恒成立问题,有时关键是能否看得 出来题就是关于恒成立问题。下面,给出一些练习题,供同学们练习。 练习题:1、对任意实数 x,不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0(a, b, c ? R) 恒成立的充要条件是 _______。 [c ? a 2 ? b 2 ]

2、设 y ? lg lg

2 x ? 3x ? 9 x a 5 在(??,1] 上有意义,求实数 a 的取值范围. [ ,?? ) 。 9 7

| Log a x |? 1 恒成立,则实数 a 的范围是____。 [( 0, ] ? [3,?? )] 3、当 x ? ( ,3)时,

1 3

1 3

14

1 1 1 1 2 ? ? ......? ? Log a (a ? 1) ? 对一切大于 1 的自然数 n ?1 n ? 2 n ? n 12 3 1? 5 n 恒成立,求实数 a 的范围。 [a ? (1, )] 2
4、已知不等式:

15

含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以 覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在 解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨 论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作 用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有
1) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?

?a ? 0 ; ? ? 0 ? ?a ? 0 . ?? ? 0

2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?

例 1.已知函数 y ? lg[ x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 解:由题设可将问题转化为不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,即有

1 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 。 3
所以实数 a 的取值范围为 (?? ,?1) ? ( ,?? ) 。 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 例 2.设 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 解:设 F ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立 当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立;
16

1 3

y x

- O 1

x

当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为:

? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ?
综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) min 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) max 例 3.已知 f ( x) ? 7 x 2 ? 28x ? a, g ( x) ? 2x 3 ? 4 x 2 ? 40x ,当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? g ( x) 恒 成立,求实数 a 的取值范围。 解:设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? c , 则由题可知 F ( x) ? 0 对任意 x ? [?3,3] 恒成立 令 F ' ( x) ? ?6x 2 ? 6x ? 12 ? 0 ,得 x ? ?1或x ? 2 而 F (?1) ? ?7a, F (2) ? 20 ? a, F (?3) ? 45 ? a, F (3) ? 9 ? a, ∴ F ( x) max ? 45 ? a ? 0 ∴ a ? 45 即实数 a 的取值范围为 [45,??) 。 例 4.函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 x

a 的取值范围。
解:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,
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即对 x ? [1,??) , f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x

考虑到不等式的分母 x ? [1,??) ,只需 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立而得 而抛物线 g ( x) ? x 2 ? 2x ? a 在 x ? [1,??) 的最小值 g min ( x) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得 a ? ?3 注:本题还可将 f ( x) 变形为 f ( x) ? x ? 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主 元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性 更强。一般地有: 1) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 2) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 实际上,上题就可利用此法解决。 略解: x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立,只要 a ? ? x 2 ? 2 x 在 x ? [1,??) 时恒成 立。而易求得二次函数 h( x) ? ? x 2 ? 2 x 在 [1,??) 上的最大值为 ? 3 ,所以 a ? ?3 。 例 5.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x 2 , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解: 将问题转化为 a ?

a ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f ( x) 最小值。 x

4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立。 x

令 g ( x) ?

4x ? x 2 ,则 a ? g ( x) min x
4x ? x 2 ? x 4 ? 1 可知 g ( x) 在 (0,4] 上为减函数,故 g ( x) min ? g (4) ? 0 x

由 g ( x) ?

∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。 注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。
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四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位” 思考,往往会使问题降次、简化。 例 6.对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转化为 一次不等式 ( x ? 2)a ? x 2 ? 4x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。 解:令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x 2 ? 4x ? 4 ,则原问题转化为 f (a ) ? 0 恒成立( a ? [?1,1] )。 当 x ? 2 时,可得 f (a ) ? 0 ,不合题意。 当 x ? 2 时,应有 ?

? f (1) ? 0 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f (?1) ? 0

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 注:一般地,一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 在 [? , ? ] 上恒有 f ( x) ? 0 的充要条件为

? f (? ) ? 0 。 ? ? f (? ) ? 0
四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合 思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有 着密切的联系: 1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象上方; 2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象下上方。

19

例 7.设 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 x , g ( x ) ? 取值范围.

4 x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的 3
y

分析:在同一直角坐标系中作出 f ( x) 及 g ( x) 的图象 如图所示, f ( x) 的图象是半圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) -2 -4 -4 x

g ( x) 的图象是平行的直线系 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 。
要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 则圆心 (?2,0) 到直线 4 x ? 3 y ? 3 ? 3a ? 0 的距离 满足

O

d?

? 8 ? 3 ? 3a 5

?2

解得 a ? ?5或a ?

5 (舍去) 3

由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想 还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会 和总结。

含参不等式恒成立问题中,求参数取值范围一般方法

20

恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中,已知一 个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、 分离参数

在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若 a ? f ? x ? 恒成立,只须求 出 f ? x ?max ,则 a ? f ? x ?max ;若 a ? f ? x ? 恒成立,只须求出 f ? x ?min ,则 a ? f ? x ?min ,转 化为函数求最值。 例 1、已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 范围。 解:根据题意得: x ?

? ?

a ? ? 2 ? ,若对任意 x ??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确定 a 的取值 x ?

a ? 2 ? 1 在 x ??2, ??? 上恒成立, x

即: a ? ? x 2 ? 3x 在 x ??2, ??? 上恒成立,

3? 9 ? 设 f ? x ? ? ?x ? 3x ,则 f ? x ? ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2

当 x ? 2 时, f ? x ?max ? 2 所以 a ? 2 在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式 的两边,即:若 f ? a ? ? g ? x ? 恒成立,只须求出 g ? x ?max ,则 f ? a ? ? g ? x ?max ,然后解不等 然后解不等式求出参数 a 的取值范围,问题还是转化为函数求最值。 例 2、已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 x ? a ? a 2 ? 4 x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 解:令 2x ? t , 式求出参数 a 的取值范围;若 f ? a ? ? g ? x ? 恒成立,只须求出 g ? x ?min ,则 f ? a ? ? g ? x ?min ,

?

?

x ? ? ??,1? ?t ? ? 0, 2? 所以原不等式可化为: a 2 ? a ?

t ?1 , t2

要使上式在 t ? ? 0, 2? 上恒成立,只须求出 f ? t ? ?

t ?1 在 t ? ? 0, 2? 上的最小值即可。 t2

21

f ?t ? ?

t ?1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ?? ? ? ?? ? ? ? t2 ?t ? t ?t 2? 4

2

2

1 ?1 ? ? ? , ?? ? t ?2 ?

? f ? t ?min ? f ? 2 ? ?
二、 分类讨论

3 3 1 3 ? a2 ? a ? ?? ? a ? 4 4 2 2

在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用分 类讨论的思想来解决。 例 3、若 x ?? ?2, 2? 时,不等式 x 2 ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。 解:设 f ? x ? ? x2 ? ax ? 3 ? a ,则问题转化为当 x ?? ?2, 2? 时, f ? x ? 的最小值非负。 (1) 当 ? 在;

a 7 ? ?2 即: a ? 4 时, f ? x?min ? f ? ?2? ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又 a ? 4 所以 a 不存 2 3

a2 a ? a? (2) 当 ?2 ? ? 2 即: ?4 ? a ? 4 时, f ? x ?min ? f ? ? ? ? 3 ? a ? ? 0 ??6 ? a ? 2 又 2 4 ? 2?
?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2
(3) 当 ?

a ?2 2

即 : a ? ?4 时 , f

?x ?m i ? ?f2? n

?7 ? a? 0 ? a ? ? 7 又 a ? ?4

??7 ? a ? ?4 综上所得: ?7 ? a ? 2
三、 确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量 x 看成是主元(未知数),而把另 一个变量 a 看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为 主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。 例 4、若不等式 2 x ? 1 ? m x 2 ? 1 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。

?

?

22

解:设 f ? m ? ? m x 2 ? 1 ? ? 2 x ? 1? ,对满足 m ? 2 的 m , f ? m? ? 0 恒成立,
2 ? ? ?1 ? 7 1? 3 ? f ? ?2 ? ? 0 ??2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0 ?? ?? 解得: ?x? 2 2 2 ? ? ? f ? 2? ? 0 ?2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0

?

?

四、

利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关

? f ? a ? , g ? a ?? ? ,则 f ? a ? ? m 且 g ? a ? ? n ,不等式的解即为实数 a 系来求解,即: ? m, n ? ? ?
的取值范围。 例 5、当 x ? ? ,3 ? 时, loga x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:

?1 ?3

? ?

?1 ? loga x ? 1

?a ? 3 1 ? ?1 ? ? 1 ? (1) 当 a ? 1 时, ? x ? a ,则问题转化为 ? ,3 ? ? ? , a ? ? ? 1 1 ? a ? 3 a ? ?3 ? ?a ? ? ?a 3
1 ? a? ? 1 1 ?1 ? ? 1? ? 3 ?0 ? a ? (2) 当 0 ? a ? 1 时, a ? x ? ,则问题转化为 ? ,3 ? ? ? a, ? ? ? a 3 ? 3 ? ? a ? ?1 ? 3 ? ?a
综上所得: 0 ? a ? 五、 数形结合

1 或a ? 3 3

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数,且正确作出两个函数的图象, 然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,列出关于参数的不等式。 例 6、若不等式 3x2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

? ?

1? 3?

23

解:由题意知: 3x2 ? loga x 在 x ? ? 0, ? 内恒成立, 在同一坐标系内,分别作出函数

? ?

1? 3?

y ? 3x2 和 y ? loga x
观察两函数图象,当 x ? ? 0, ? 时,

? ?

1? 3?

若 数

a ? 1 函数 y ? loga x 的图象显然在函

y ? 3x 图象的下方,所以不成立;
2

当 0 ? a ? 1 时,由图可知, y ? log a x 的图象必须过点 ? , ? 或在这个点的上方,则,

?1 1? ?3 3?

log a

1 1 1 1 ? ?a ? ?1 ? a ? 3 3 27 27 1 27

综上得: 1 ? a ?

上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法,在解题过程中,要灵活运用题设条件综 合分析,选择适当方法准确而快速地解题。

含参数不等式恒成立问题的解题策略(专题探究)
一、教学目标: 理解含参不等式恒成立问题特征;能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学 思想解决含参不等式恒成立问题;培养学生分析解决综合问题的能力。 二、教学方法:启发、探究 三、教学过程:通过含参数不等式恒成立问题的求解,通过变式、启发、引导学生探究解题 策略,培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。
24

例题 1:已知不等式 ( x ? 1)m ? 2 x ? 1 对 x ? ? 0,3? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

变式:已知不等式 ( x ? 1)m ? 2 x ? 1 对 m ? ? 0,3? 恒成立,求实数 x 的取值范围。 例题 2:已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

变式 1:已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ??1, 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

25

变式 2:已知不等式 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ?? ?1, 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

例题 3:当 x ? ?1,2 ? 时,不等式 ? x ? 1? ? log a x 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

26

练习 1:已知函数 f ( x) ? ? 围。

1 2 x ? a ln( x ? 2) 在区间 ? ?1, ?? ? 上为减函数,求实数 a 的取值范 2

练习 2:对于满足 | p |? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? 2 p ? x 恒成立的 x 的取值 范围。

27

思考: 1、若不等式 2 x ?1 ? m( x2 ? 1) 对满足 | m |? 2 的所有 m 都成立,求实数 x 的取值范围。

2、设 0 ? a ?

5 1 ,若满足不等式 | x ? a |? b 的一切实数 x ,能使不等式 | x ? a 2 |? 恒成立,求 4 2

正实数 b 的取值范围。

28

常见不等式恒成立问题的几种求解策略
不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现,它综合考查函数、方程和不 等式的主要内容,并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连,本文结合解题 教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略,以抛砖引玉。 1 变量转换策略 例 1 已知对于任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立,求 x 的取值 范围. 解析 本题按常规思路是分 a=0 时 f(x)是一次函数,a≠0 时是二次函数两种情况讨论, 不容易求 x 的取值范围。因此,我们不能总是把 x 看成是变量,把 a 看成常参数,我们可以 通过变量转换,把 a 看成变量,x 看成常参数,这就转化一次函数问题,问题就变得容易求 解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a∈[-1,1]时,g(a)>0 恒成立,则 ?
? 3 ? 13 ? x ? ?3 ? 13 .
? g (?1) ? 0 ,得 ? g (1) ? 0

点评 对于含有两个参数,且已知一参数的取值范围,可以通过变量转换,构造以该参 数为自变量的函数,利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例 2 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

29

解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、
?? ? 0 ?? ? 0 ? a ? a ? ? ? ? ? ?2 ?? ? 2 零点在区间的右侧三种情况,即 Δ≤0 或 ? 2 或? 2 ,即 a 的取值范围为[-7,2]. ? f ( ?2) ? 0 ? f (?2) ? 0 ? ? ? ? ? f ( 2) ? 0 ? f ( 2) ? 0

点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分 布情况,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例 3 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意 x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 .
?? ? ?2 若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒成立 ? ?x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 ? ? 2 ? a

? ? f ( x) min ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2

a ? ?2? ? ? 2 ? a ? 2 ? ?? ? 2 或? 或? 2 ,即 a 的取值范围为 [?5,?2 ? 2 2 ] . 2 a a ? f ( x) ? f ( x ) ? f ( 2 ) ? 7 ? a ? 2 ? f ( ? ) ? 3 ? a ? ? 2 min ? min ? 2 4 ?

点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数 最值的方法,只要利用 f ( x) ? m 恒成立 ? f ( x) min ? m ; f ( x) ? m 恒成立 ? f ( x) max ? m .本题也 可以用零点分布策略求解. 4 变量分离策略

30

例 4 已知函数 f ( x) ?| x2 ? 4x ? 5 | ,若在区间 [ ?1,5] 上, y ? kx ? 3k 的图象位于函数 f(x)的上 方,求 k 的取值范围. 解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于 ?x ?[?1,5], kx ? 3k ? ? x 2 ? 4x ? 5 恒成立,式 子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于
?x ?[?1,5], kx ? 3k ? ? x2 ? 4x ? 5 恒成立 ? k ?

? x 2 ? 4x ? 5 对于 ?x ? [?1,5] 恒成立,令 x?3

y?

16 ? x 2 ? 4x ? 5 , x ?[?1,5] ,设 x ? 3 ? t , t ? [ 2,8] ,则 y ? ?(t ? ) ? 10, t ? [2,8], ?当t ? 4 ,即 x=1 时 t x?3

ymax ? 2 , ? k 的取值范围是 k>2.

变式 若本题中将 y ? kx ? 3k 改为 y ? k ( x ? 3) 2 ,其余条件不变,则也可以用变量分离法解.
? x 2 ? 4x ? 5 ( x ? 3) 2

由题意得,对于 ?x ?[?1,5], k ( x ? 3) 2 ? ? x 2 ? 4x ? 5 恒成立 ? k ?
? x 2 ? 4x ? 5 ( x ? 3)
2

对于 ?x ? [?1,5]

恒成立,令 y ?

, x ? [?1,5] ,设 x ? 3 ? t , t ? [ 2,8] ,则 y ? ?

16 10 4 5 9 ? ? 1 ? ?( ? ) 2 ? , t ? [ 2,8] , 2 t t 4 16 t

4 5 1 9 9 ?当 ? , 即x ? 时 , y max ? , ? k 的取值范围是 k> . t 4 5 16 16

点评 本题通过变量分离,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,本题构造的函 数求最值对学生来说有些难度,但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”,从而求得最值. 变式 题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”,从而求得最值.本题也可以用零点分布策略 和函数最值策略求解. 5 数形结合策略

31

例 5 设函数 f ( x) ? ?a ? ? x2 ? 4x , g ( x) ? ax ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,试求实数 a 的取值 范围. 解析 由题意得 f ( x) ? g ( x) ? ? x 2 ? 4x ? ax ? 2a ,令 y1 ? ? x 2 ? 4x ①, y 2 ? ax ? 2a ②.
2 ①可化为 ( x ? 2) 2 ? y1 ? 4(0 ? x ? 4, y1 ? 0) ,它表示以(2,0)为圆心,2 为半径的上半圆;②表示

经过定点(-2,0),以 a 为斜率的直线,要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需①所表示的半圆在②所表 示的直线下方就可以了(如图所示).当直线与半圆相切时 就有
| 2a ? 2a | 1? a
2

y

? 2 ,即 a ? ?

3 ,由图可知,要使 3

f ( x) ? g ( x) 恒成立,实数 a 的取值范围是 a ?

3 . 3

O

x

点评 本题通过对已知不等式变形处理后,挖掘不等 式两边式子的几何意义,通过构造函数,运用数形结合的思想来求参数的取值范围,不仅能 使问题变得直观,同时也起到了化繁为简的效果. 6 消元转化策略 例 6 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若
m, n ? [?1,1], m ? n ? 0时 f (m) ? f (n) ? 0 ,若 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对于所有的 x ? [?1,1], a ? [?1,1] 恒成立, m?n

求实数 t 的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易 证明 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(1)=1,则 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1

32

对于所有的 x ? [?1,1], a ? [?1,1] 恒成立 ? 1 ? t 2 ? 2at ? 1 对于所有的 a ? [?1,1] 恒成立,即
? g (?1) ? 0 , 2ta ? t 2 ? 0 对于所有的 a ? [?1,1] 恒成立,令 g (a) ? 2ta ? t 2 ,只要 ? ? g (1) ? 0

? t ? ?2或t ? 2或t ? 0 .

点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转 化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决. 以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略,只是分别从某个侧面入手去探讨不 等式中参数的取值范围。事实上,这些策略不是孤立的,在具体的解题实践中,往往需要综 合考虑,灵活运用,才能使问题得以顺利解决。

33


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