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2014版高中数学复习方略配套课件:2.7函数的图像(北师大版·数学理·通用版)


第七节 函数的图像

1.利用描点法作函数图像

列表 、描点、_____ 连线 ,具体为: 其基本步骤是_____
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数 的性质(奇偶性、单调性、周期性). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、 与坐标轴的交点). 最后:描点,连线.

2.函数的图像变换 (1)平移变换: f(x)+k

f(x+h)

f(x-h)

f(x)-k

(2)对称变换: 关于x轴对称 -f(x) ①y=f(x) y= ______; 关于y轴对称 f(-x) ②y=f(x) y= ______; 关于原点对称 -f(-x) ③y=f(x) y= _______; 关于y=x对称 x logax(a>0且a≠1) ④y=a (a>0且a≠1) y= __________________.

(3)翻折变换:

①y=f(x)
②y=f(x)

保留x轴上方图像 将x轴下方图像翻折上去 保留y轴右边图像,并作其 关于y轴对称的图像

|f(x)| ; y= _______ f(|x|) y= _______.

(4)伸缩变换:

a>1,横坐标缩短为原来的 a 倍,纵坐标不变 ①y=f(x) 0<a<1,横坐标伸长为原来的 1 倍,纵坐标不变
a

1

f(ax) ; y= ______

②y=f(x) a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变
0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变

af(x) y= ______.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图

像相同.(

)

(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图像相 同.( ) )

(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于原点对称.(

(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x) 的图像关于直线x=1对称.( )

【解析】(1)错误.例如函数y=|log2x|与y=log2|x|,当x>0 时,它们的图像不相同. (2)错误.函数y=af(x)与y=f(ax)分别是对函数y=f(x) 作了上下伸缩和左右伸缩变换,故函数图像不同 . (3)错误.函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称. (4)正确.点(1+x,y)与(1-x,y)关于直线x=1对称,且 有f(1+x)=f(1-x),从而图像关于直线x=1对称. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

1.函数y=x|x|的图像大致是(

)

? x 2,x ? 0, ? 【解析】选A. y ? x x ? ? 故选A. 2 ? ?? x ,x<0,

2.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图像
是( )

【解析】选C. y ? a ? x ? ( 1 ) x , 由0<a<1知,
1 >1, 故选C. a a

3.函数y=f(x)为偶函数,则函数y=f(x+1)的一条对称轴是
__________. 【解析】≧y=f(x)的图像关于x=0对称, 左移 又y=f(x) y=f(x+1), 一个单位 ?y=f(x+1)的一条对称轴为x=-1. 答案:x=-1

4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 _______. 【解析】在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图像,如 图所示:

由图像知,当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解. 答案:(0,+≦)

考向 1 作函数的图像 【典例1】画出下列函数的图像:
x (1)y=|log2(x+1)|.(2)y ? ( ).

(3)y ? 2x ? 1 .(4)y=x2-2|x|-1.
x ?1

1 2

【思路点拨】对于(1),(2)可通过图像变换画出函数的图 像.对于(3)可先化简解析式,分离常数,再用图像变换画图. 对于(4)可先去掉绝对值号化成分段函数,再分段画出函数 的图像.

【规范解答】(1)将函数y=log2x的图像向左平移一个单位, 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数 y=|log2(x+1)|的图像,如图.

x x (2)作出函数 y ? 的图像,保留 y ? 图像中x≥0的部 ( ) ( )

1 2

1 2

1 x 的图像中x>0部分关于y轴的对称部分,即得 分,加上 y ? ( ) 2 1 |x| y? ( ) 的图像,如图实线部分. 2

1 (3)原函数解析式可化为 y ? 2 ? 1 , 故函数图像可由 y ? 图像 x ?1 x

向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图.

2 ? ? x ? 2x ? 1, x ? 0, (4)≧ y ? ? 2 且函数为偶函数,先用描点法作出 ? ? x ? 2x ? 1, x<0,

[0,+≦)上的图像,再根据对称性作出( -≦,0)上的图像,

得图像如图.

【拓展提升】作函数图像的三个方法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的 函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、 抛物线的一部分)时,就可根据这些函数的奇偶性、周期性、 对称性或曲线的特征直接作出.

(2)图像变换法:
①若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称 和伸缩得到,可利用图像变换作出,但要注意变换顺序; ②对不能直接找到熟悉函数的,要先变形,同时注意平移变换 与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 .

(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法 .为 了通过描少量点,就能得到比较准确的图像,常常需要结合函 数的单调性、奇偶性等性质进行分析. 【提醒】当函数解析式是较复杂的高次、分式、指数、对数及 三角函数式时,常借助于导数探究图像的变化趋势从而画出图 像的大致形状.

【变式训练】分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|. (3)y ?
x?2 . x ?3

(2)y=2x+2. (4)y=|log2x-1|.
?lg x, x ? 1, ??lg x,0 ? x ? 1.

【解析】(1)≧ y ? lg x ? ?

?函数y=|lg x|的图像如图(1).

(2)将函数y=2x的图像向左平移2个单位即可得到函数y=2x+2 的图像,如图(2).

(3)≧ y ?

x?2 1 1 ? 1? , 可见原函数图像可由 y ? ? 图像向 x ?3 x ?3 x

左平移3个单位,再向上平移1个单位得到,如图(3).

(4)先作出y=log2x的图像,再将其图像向下平移一个单位,保 留x轴上方的部分,将x轴下方的图像翻折到x轴上方,即得 y=|log2x-1|的图像,如图(4).

考向 2

识图与辨图

【典例2】(1)已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)
的图像的对称轴是( )

(A)x=1
(C) x ? ? 1
2

(B)x=-1
(D) x ? 1
2

(2)(2013·安庆模拟)函数f(x),g(x)的图像如图,

则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是(

)

6x (3)(2012 ·山东高考)函数 y ? cos x ?x 2 ?2

的图像大致为 ( )

【思路点拨】(1)根据图像平移或根据偶函数的定义求解 . (2)从函数f(x)·g(x)的奇偶性和定义域两方面判断. (3)利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解 . 【规范解答】(1)选D.方法一:函数y=f(2x+1)的图像是由 函数y=f(2x)的图像沿x轴方向向左平移
1 个单位得到的, 2

又y=f(2x+1)是偶函数,其图像关于y轴对称,所以函数 y=f(2x)的图像关于直线 x ? 1 对称.
2

方法二:≧y=f(2x+1)是偶函数,
?f(-2x+1)=f(2x+1),?f(1-x)=f(1+x).

故函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,
函数y=f(2x)的图像关于直线 x ? 1 对称.
2

(2)选A.由函数f(x),g(x)的图像可知,f(x),g(x)分别是偶函 数、奇函数,则f(x)·g(x)是奇函数,可排除B,又≧函数 y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集 (-≦,0)∪(0,+≦),图像不经过坐标原点,可以排除C,D, 故选A.

cos 6x , x ?x 2 ?2 cos( ? 6x) ? f( ? x) ? ? ?f(x), ?x x 2 ?2

(3)选D.≧ y ? f ? x ? ?

?f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除选项 A;当x从
cos 6x 趋近+≦,排除选项B;当x 正方向趋近0时, y ? f(x) ? x ?x 2 ?2 cos 6x y ? f(x) ? x 趋近+≦时, 趋近0,排除选项C,故选D. 2 ? 2? x

【互动探究】若本例题(1)中,函数y=f(2x+1)是“偶函数” 改为“奇函数”,则函数y=f(2x)的图像关于下列哪个点成 中心对称( (A)(1,0)
1 (C) ( ,) 0 2

) (B)(-1,0)
1 (D) ( ? ,) 0 2

【解析】选C.≧y=f(2x+1)是奇函数, ?f(2x+1)的图像关于原点(0,0)对称. 又f(2x)的图像可由f(2x+1)的图像向右平移 1 个单位得
1 到,?y=f(2x)的图像关于点 ( ,) 0 成中心对称. 2 2

【拓展提升】知式选图的方法 (1)从函数的定义域,判断图像左右的位置;从函数的值域, 判断图像上下的位置. (2)从函数的单调性(有时可借助导数判断),判断图像的 变化趋势.

(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复 . (5)从函数的极值点,判断图像的拐点. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项 . 【提醒】注意联系基本函数图像的模型,当选项无法排除时, 代特殊值,或从某些量上寻找突破口.

【变式备选】定义在R上的偶函数f(x)的部分图像如图所示, 则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是 ( )

(A)y=x2+1
(B)y=|x|+1
?2x ? 1, x ? 0 (C ) y?? 3 ? x ? 1, x ? 0
? ex , x ? 0 ? (D ) y ? ? ?x ? ?e , x ? 0

【解析】选C.由奇偶性知函数f(x)在 (-2,0)上的图像如图所示: 则知f(x)在(-2,0)上为减少的,
x ? e , x ? 0, ? 2 而y=x +1,y=|x|+1和 y ? ? ? x ? ?e , x ? 0

由其图像知在(-2,0)上均为减少的.又y=x3+1,x<0时, y′=3x2>0,故y=x3+1在(-2,0)上为增加的,与f(x)的单调 性不同,故选C.

考向 3 函数图像的应用 【典例3】已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.

(1)求实数m的值.
(2)作出函数f(x)的图像并判断其零点个数.

(3)根据图像指出f(x)递减的单调区间.
(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集.

(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.

【思路点拨】先由f(4)=0,求得函数解析式,再根据解析式结

构选择适当的方法作出函数的图像,进而应用图像求解( 2)
(3)(4)(5)四个小题. 【规范解答】(1)≧f(4)=0,?4|m-4|=0,即m=4. (2)≧f(x)=x|m-x| =x|4-x| ? ? ?
? x ? x ? 4 ? , x ? 4, ? ?? x ? x ? 4 ? , x ? 4.

?函数f(x)的图像如图: 由图像知f(x)有两个零点.

(3)从图像上观察可知:f(x)递减的单调区间为[2,4].
(4)从图像上观察可知: 不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}. (5)由图像可知若y=f(x)与y=m的图像有三个不同的交点,则 0<m<4, ?集合M={m|0<m<4}.

【拓展提升】 1.利用函数的图像研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数,其性质(单调

性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研
究,但一定要注意性质与图像特征的对应关系 .

2.利用函数的图像研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时,可以通过函数图像来研究方程的根,

方程f(x)=0的根就是函数f(x)图像与x轴的交点的横坐标,方
程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像的交点的横坐标. 3.利用函数的图像研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等 式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结 合求解.

【变式训练】(2013·乌鲁木齐模拟)已知函数y=f(x)的周
期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图 像与函数y=|lg x|的图像的交点共有( (A)10个 (C)8个 (B)9个 (D)1个 )

【解析】选A.根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解 析式可作图如下:

当x=10时,|lg 10|=1, 当1≤x<10时,|lg x|<1, 当0<x<1时,|lg x|>0, 当x>10时,|lg x|>1. 结合图像知y=f(x)与y=|lg x|的图像交点共有10个.

【易错误区】图像变换不对或识图方法不当致误 【典例】(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函 数y=f(x)的图像如图所示,则y=-f(2-x)的图像为( )

【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:
(1)由y=f(-x)的图像到y=f(2-x)的图像平移变换不当, 得不到正确答案. (2)识图方法不恰当,不能恰当选择特殊点,导致不能选择正 确结论.

【规范解答】选B.方法一(图像变换法):
关于y轴 向右平移 y=f(x) y=f(-x) y= 2个单位 对称 关于x轴 f(2-x) y=-f(2-x). 对称 方法二(特殊点法): 当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时,-f(2-x)= -f(1)=-1.观察各选项,可知应选B.

【思考点评】识图辨图的常用方法
(1)图像变换法.若图像可用图像变换法作出,可直接作出函数 的图像求解. (2)特殊点法.根据特殊点的函数值或其符号来判断,根据需要, 特殊点可能需要多个,有时还要考虑函数值的变化趋势 . (3)导数法.若函数解析式的导数易求,可求导,通过函数的极 值点及图像的变化趋势确定函数的图像.

1.(2012·四川高考)函数y=ax- 1 (a>0,且a≠1)的图像可能
a

是(

)

【解析】选D.当a>1时,y=ax- 为增函数,且在y轴上的截距

为0<1- 1 <1.
a

1 a

当0<a<1时,y=ax-

1 1 为减函数,且在y轴上的截距为1- <0, a a

故选D.

2.(2013·江南十校联考)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图像是 ( )

【解析】选B.当x∈(1,2)时,0<|x|-1<1,
则lg(|x|-1)<0,故选B.

3.(2013·孝感模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收

支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之
间关系的图像.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提

出了两种调整的建议,如图(2)(3)所示.

给出以下说法:
①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中所有正确说法的序号是( (A)①③ (B)①④ ) (D)②④

(C)②③

【解析】选C.对于图(2),当x=0时,函数值比图(1)中的
大,表示成本降低,两直线平行,表明票价不变,故②正确; 对于图(3),当x=0时,函数值不变表示成本不变,当 x>0时, 函数值增大表明票价提高,故③正确.

? x 2 ? 2x ? 1,x ? 0, ? 4.(2013·杭州模拟)已知函数 f(x) ?? 2 ? ? x ? 2x ? 1,x<0,

则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是 ( (A)f(x1)+f(x2)<0 (C)f(x1)-f(x2)>0 (B)f(x1)+f(x2)>0 (D)f(x1)-f(x2)<0 )

【解析】选D.函数f(x)的图像如图所示,且f(-x)= f(x),

从而函数f(x)是偶函数,且在[0,+≦)上是增函数.
又0<|x1|<|x2|,?f(x2)>f(x1),即f(x1)-f(x2)<0.

5.(2012·天津高考)已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图像与函数y=kx-2的

图像恰有两个交点,则实数k的取值范围是______.
【解析】根据绝对值的意义,
y? x2 ?1 1或x<? 1 , ?x ? 1, x> ?? 1. x ? 1 ??x ? 1, ?1 ? x<

在直角坐标系中作出该函数的图像, 如图中实线所示.根据图像可知, 当0<k<1或1<k<4时有两个交点. 答案:(0,1)∪(1,4)

1.函数y=f(|x|)的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像不 可能是( )

? ?f ? x ? , x ? 0, 【解析】选B. y ? f ?| x |? ? ? ? ?f ? ? x ? , x<0,

即在y轴右侧y=f(|x|)与y=f(x)的图像相同,故B不符合.

2.如图,有一直角墙角,两边的长度 足够长,在P处有一棵树与两墙的距 离分别是a米(0<a<12)、4米,不 考虑树的粗细.现在想用16米长的篱 笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积 为S平方米,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则 函数u=f(a)的图像大致是( )

【解析】选C.设|BC|=x,则|CD|=16-x,
? x ? a, 由? 得a≤x≤12. ?16 ? x ? 4,

S=x(16-x)=-(x-8)2+64.

当0<a<8时,f(a)=64,
当8≤a<12时,f(a)=-(a-8)2+64,

即 f(a) ??

?64,0<a<8, ? a ? 8)? 64,8 ? a< 12, ?(
2

故选C.


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