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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固:2-3-1 平面向量基本定理


基 础 巩 固 一、选择题 1.向量的夹角 θ 的范围是( A.0° ≤θ<180° C.0° <θ<180° [答案] B 2.设 e1、e2 是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中, 不能作为基底的是( A.e1+e2 和 e1-e2 C.e1+2e2 和 e2-2e1 [答案] B [解析] 因为 B 中-6e1+4e2=-2(3e1-2e2), 所

以为平行向量,不能作为一组基底. 3.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a,都有 a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a,都有 a=λe1 +μe2(λ,μ∈R) [答案] D [解析] 由平面向量基本定理可知,选项 D 正确.对于任意向量 e1,e2,选项 A、B 不正确,而只有当 e1 与 e2 为不共线向量时,选项 C 才正确. ) ) B.3e1-2e2 和 4e2-6e1 D.e2 和 e1+e2 ) B.0° ≤θ≤180° D.0° <θ≤180° → 4.如图,设 O 是?ABCD 两对角线的交点,有下列向量组:①AD → → → → → → → 与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB.其中可作为该平面内所 有向量基底的是( ) A.①② [答案] B B.①③ C.①④ D.③④ → → → → → → → → [解析] AD与AB不共线,DA∥BC,CA与DC不共线,OD∥OB, 则①③可以作为该平面内所有向量的基底. 5.如果 e1、e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么下列命题 中正确的是( ) A.已知实数 λ1、λ2,则向量 λ1e1+λ2e2 不一定在平面 α 内 B.对平面 α 内任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1,λ2 有无 数对 C.若有实数 λ1、λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 D.对平面 α 内任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1、λ2 不一 定存在 [答案] C [解析] 选项 A 中,由平面向量基本定理知 λ1e1+λ2e2 与 e1、e2 共面,所以 A 项不正确;选项 B 中,实数 λ1、λ2 有且仅有一对,所 以 B 项不正确;选项 D 中,实数 λ1、λ2 一定存在,所以 D 项不正确; 很明显 C 项正确. 6.已知|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则 a 与 b 的夹角大小为 ( ) π A.6 π C.3 5 B.6π 2 D.3π [答案] D [解析] 如图,∵c=a+b,c⊥a, π ∴a、b、c 的模构成一个直角三角形,且 θ=6,所以可推知 a 与 2π b 的夹角为 3 .故选 D. 二、填空题 → → 7.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,M 是 DC 的中 → 点,以 a、b 为基底表示向量AM=______________. 1 [答案] b+2a → → → → 1 → → 1→ 1 [解析] AM=AD+DM=AD+2DC=AD+2AB=b+2a. 8.已知 e1、e2 是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2, 若 a 与 b 是共线向量,则实数 k=________. [答案] -2 [解析] ∵a∥b,则 2e1-e2=λ(ke1+e2). 又∵e1、e2 不共线. ? ? ?2=λk, ?λ=-1, ? ∴ 解得:? ?

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