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精品课件-11.2.1三角形的内角2


内角三兄弟乊争
在一个直角三角形里住着三个内角,平时 ,它们三兄弟非常团结。可是有一天,老二 突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说: “你凭什么度数最大,我也要和你一样大! ”“不行啊!”老大说:“这是不可能的, 否则,我们这个家就再也围不起来了 ……”“为什么?” 老二很纳闷。

同学们,你们知道其中的道理吗?

想一想<

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问题:有什么方法可以得到180°
1.平角的度数是180°

2.两直线平行,同旁内角的 和是180°

下面我们通过折三角形的内 角和拼三角形的内角试试看。

把三个内角折在一起试试看

1

2

2

1 3 3

将三角形的内角剪下, 试着拼拼看。

将三角形的内角剪下,试着拼拼看。

将三角形的内角剪下,试着拼拼看。

结论
三角形内角和定理: 三角形三个内角的和 等于 180° 命题的正确性还要严密的推理证明 想一想:如何证明呢? 已知:△A B C. 求证:∠A +∠B +∠C=180°
B C A

证法一

证法二

证法三

证法四

证法1:

在△ABC的外部,以CA为一边, CE为另一边作∠1=∠A,

三角形的内角和等于18 作BC的延长线CD,

于是CE∥BA (内错角相等,两直线平行).

? (平角的定义) ? ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
(等量代换)
×

∴∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等). A 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° 。

? ?

E

。2 ×
C

1

B

D

证法2:

作BC的延长线CD,过C作CE∥BA, 于是∠A=∠1(两直线平行,内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等)

又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)

? ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换) ? A


? ?

图形相同,
画法不同, 证明也不同.
×

E

。2 ×
1

B

C

D

三角形的内角和等于1800.

证法3:

过A作EF∥BC, ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等)

∠C=∠CAF (两直线平行,内错角相等)
又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180° E F A (平角的定义) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) B C

三角形的内角和等于1800.

证法4:

过A作AE∥BC, ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补)

∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换) E A

B

C

在这里,为了证明的需要,在原 来的图形上添画的线叫做辅助线。在 平面几何里,辅助线通常画成虚线。

思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化 为一个平角或同旁内角互补,这种转 化思想是数学中的常用方法. 三角形内角和定理:

三角形的内角和等于1800.

证法一

三角形的内角和等于1800.

延长BC到D, 在△ABC的外部,以CA为一边, CE为另一边作∠1=∠A, 于是CE∥BA ∴∠B=∠2 (内错角相等,两直线平行).

(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°

A
1

E
2

∴∠A+∠B+∠ACB=180° B

C

D

证法二

三角形的内角和等于1800.

延长BC到D, 过C作CE∥BA,

∴ ∠A=∠1
∠B=∠2

(两直线平行,内错角相等)
(两直线平行,同位角相等) E 1 2

∵∠1+∠2+∠ACB=180° A
∴∠A+∠B+∠ACB=180°

B

C

D

证法三

三角形的内角和等于1800.

过A作EF∥BC, ∴∠B=∠2 ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等)

E
2

A
1

(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°

F

B

C

证法四

三角形的内角和等于1800.

过A作AE∥BC,

∴∠B=∠BAE

(两直线平行,内错角相等)

∠EAB+∠BAC+∠C=180°

(两直线平行,同旁内角互补)
E A ∴∠B+∠C+∠BAC=180°

B

C

在这里,为了证明的需要,在原来 的图形上添画的线叫做辅助线。在平面 几何里,辅助线通常画成虚线。

思路总结
为了证明三个角的和为1800,转 化为一个平角或同旁内角互补,这 种转化思想是数学中的常用方法.

应用新知 (1)在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 ° 则∠ C= 102 ° .
(2)在△ABC中, ∠A :∠B:∠C=2:3:4

则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° .
(3)一个三角形中最多有 (4)一个三角形中最多有 1 个直角?为什么? 1 个钝角?为什么? 2 个锐角?为什么?

(5)一个三角形中至少有

(6)任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少 为 60° .

例题讲解1 已知△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A ,
A

BD是AC边上的高,求∠DBC的度数。

解:设∠A=x0,则∠ABC=∠C=2x0
(三角形内角和定理) ∴x+2x+2x=180 解得x=36 ∴∠C=2×360=720 D ?
B

在△BDC中,∵∠BDC=900

(三角形高的定义)

C ∴∠DBC=1800-900-720(三角形内角和定理) ∴∠DBC=180

如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B 岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛 的北偏西40°方向。求下面各题.

例题讲解2
北 D E C B 北

80° 50° (1)∠DAC=_____ ∠DAB=______ ∠EBC=_______ ∠CAB = ______ 30 ° 40°

(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少? A

解:∵ AD∥BE ∴ ∠DAB﹢∠ABE=180° ∴ ∠ABE = 180°-∠DAB = 180° - 80° =100° ∴ ∠ABC=∠ABE﹣∠CBE =100°﹣40°=60° 在△ABC中,∠C = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180°-30 °-60 °=90°

例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,北 D B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B M 岛的北偏西40°方向。

E C
1



N 2 40 °

解:过点C画MN⊥AD分别交 AD、BE于点M、N

50°

B

在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50° ∴∠1=180 °-90°-50° =40°

A

∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90° 同理得∠2 =50° ∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2 =180 °-40°-50° =90°例题讲解2

北 D
50°

C
1

E
40° 2

B F

你能想出一个更 简捷的方法来求 ∠C的度数吗?

A

解: 过点C画CF∥AD
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2=∠CBE =40 °

∴ ∠1=∠DAC=50 °,

∴ ∠ACB=∠1﹢∠2 =50 °﹢ 40 ° =90 ° 例题讲解2

1.如图,从A处观测C处时仰角 ∠CAD=30°,从B处观测C处时 仰角∠CBD=45°.从C处观测A、 A B两处时视角∠ACB是多少? 解:在△ACD中

C

B

D

∠CAD =30 ° ∠D =90 °

∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °

在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D =90 °
∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 °

∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °
巩固练习

巩固练习 2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现 在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那 么最省事的办法是 ( C )

② ①



(A)带①去 (C)带③去

(B)带②去 (D)带①和②去

巩固练习
3.△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则△ABC是( A、锐角三角形 C、钝角三角形 B、直角三角形 D、等腰三角形

B

)

4. 一个三角形至少有( A、一个锐角 C、一个钝角

B



B、两个锐角 D、一个直角

5. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A=70°,∠ADE=50°, 求∠BDC的度数. 解: ∵DE//BC ∴∠B=∠ADE=50° A ∵∠A=70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B D =180°-70°-50° =60° B ∵ CD平分∠ACB 1 1 ? ?DCB ? ?ACB ? ? 60? ? 30? 2 2 ??BDC ? 180? ? ?B ? ?DCB ? 180 ? ? 50? ? 30? ? 100 ? E C

巩固练习

拓展与思考1
甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点, 太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼 上,那么两楼的距离应是多少? 解:由题意知

?ABC ? 90?, ?ACB ? 45?
??BAC ? 180? ? ?ABC ? ?ACB

A

? 180 ? ? 90? ? 45? ? 甲 ? 45? 450 16米
∴BC=AB=16 答:两楼的距离是16米.



B

450

16米

C

拓展与思考2 1 1 2、在△ABC中,如果∠A= ∠B= ∠ C,那 2 3 么△ABC是什么三角形? 解:设∠A=x°, 那么∠B=2x°,∠C=3x°
根据题意得:

x ? 2 x ? 3x ? 180
解得

x ? 30?

∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° 所以△ABC是直角三角形

小结 1、三角形的内角和:三角形三个内角之和为180°
2、由三角形内角和等于180°,可得出 (1)、直角三角形两锐角互余; (2)、一个三角形最多有一个直角或钝角; (3)、任意一个三角形中,最多有三个锐角,最 少有两个锐角; (4)、一个三角形中至少有一个角小于或等于60° 3、三角形按角分类: 直角三角形 锐角三角形 三角形 斜三角形 钝角三角形

祝同学们学习进步


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