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2015年 高一下学期期末考试数学


1

2015 年 高一下学期期末考试 数学试卷
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设 b ? a , d ? c ,则下列不等式中一定成立的是 ( ) A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d D. a ? d ? b ? c 2.已知数列{an}的通项公式 an ? n 2 ? 3n

? 4(n ? N * ) ,则 a4 等于( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3. 某学校有 1 6 0 名教职工,其中教师 1 20 名,行政人员 1 6 名,后勤服务人员 24 名,今从中抽取一个容量为 20 的样本,采用( )较为合适. A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.其他抽样 4.等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 的前 9 项的和等于( A.66 B.99 C.144 D.297 5.若△ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 : 11 : 13 ,则△ABC ( A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形. C.一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 6.如下图,是把二进制数 1111(2) 化成十进制数的一个程序框图,判断框内可以 填人的条件是( ) A. i ? 4 B. i ? 3 i=i+1 开始 S=1 i=1 C. i ? 3 S=1+2S D. i ? 4 否 ? 是 输出 S ( ) )

结束 )

7.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为 A.

3 4

B.

2 3

C.

3 2

D.

4 3


8. 有五条线段长度分别为 1,3,5,7,9 , 从这 5 条线段中任取 3 条, 则所取 3 条线段能构成一个三角形的概率为 ( A.

1 10

B.

3 10

C.

1 2

D.

7 10
2 2

9. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M , 并以线段 AM 为边作正方形, 则这个正方形的面积介于 36cm 与 81cm 之间的概率为( A. ) B.

1 4

1 3

C.

1 2

D.

1 6

10.一个样本 M 的数据是

2 2 2 x1 , x2 , ?, xn ,它的平均数是 5,另一个样本 N 的数据是 x1 , x2 , ?, xn , 它的平均数

是 34.那么下面的结果一定正确的是( A. sM ? 9
2

) C. sM ? 3
2

B.

sN ? 9

2

D.

sN ? 3

2

2

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.372 和 684 的最大公约数是 12.在△ABC 中,若 B=30°,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积是______。 13.以下给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图(如图所示) ,其中判断框内应填入的条件是 2 4 6 20

14.若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是
2



三.解答题(共 80 分) 15. (12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据。

x
y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (2) 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据 (2) 求出的线性回归方程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
? xi y i ? nx y ? ? ? i ? 1 ?b ? n (线性回归方程 y ? bx ? a 中的系数 a , b 可以用公式 ? ) 2 ? 2 xi ? nx ? ? i ?1 ? ? ?a ? y ? bx

3

16. (12 分)某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张 A、B 型 桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分 别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利润最大?

17. (14 分)在面积为 B=30°.

3 的△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c 成等差数列, 2

(1)求 ac ; (2)求边 b 。 b ? 3 ? 1。

18. (14 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段

?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后 得 到 如 下 部 分 频 率 分 布 直 方 图 . 观 察 图 形 的 信 息 , 回 答 下 列 问 题 :

(Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全 这个频率分布直方图; (Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段为

?60,80?的学生中抽取一个容量为 6 的样本,
将该样本看成一个总体,从中任取 2 人, 求至多有 1 人在分数段 ?70,80? 的概率.

4

19. (14 分)已知等比数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项, 等差数列 {bn }中, b1 = 2 ,点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. ⑴求 a1 和 a2 的值; ⑵求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; ⑶ 设 cn ? a n ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (14 分)一船由甲地逆水驶至乙地,甲、乙两地相距 S (km),水的流速为常量 a(km/h),船在静水中的最大速度为 b (km/h) (b>2a),已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水中的速度 v (km/h) 的平方成正比,比例系数为 k ,问: (1)船在静水中的航行速度 v 为多少时,全程燃料费用最少? (2)若水速 a = 8.4 km/h,船在静水中的最大速度为 b=25 km/h,要使全程燃料费用不超过 40 k S 元,求船在静水中 的航行速度 v 的范围。

5

参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 C 6 C 7 C 8 B 9 A 10 A

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11. 12 ; 12. 2 3 ; 13.i>20; 14.;{m|m<-3}

三.解答题(共 80 分)

17. 解: (1)∵ S ?ABC ? 又 S ?ABC ?

1 1 1 ac sin B ? ac sin 30? ? ac , 2 2 4
……6 分

1 3 3 ,∴ ac ? ,∴ ac ? 6 。 4 2 2

(2)∵B=30°,∴
2 2 2

3 a 2 ? c 2 ? b2 ? cos30? ? , 2 2ac
……10 分

∴ a ? c ? b ? 3ac , ∴ (a ? c)2 ? b2 ? (2 ? 3)ac , 又由 a, b, c 成等差数列知 a ? c ? 2b ,而 ac ? 6 , 代入上式得 3b2 ? 6(2 ? 3) ,∴ b ? 3 ? 1。

……14 分

6

19. 解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 ∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2,解得 a1=2 ……3 分

a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4
(2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 又 Sn—Sn-1=an, (n ? 2, n ? N *) ∴an=2an-2an-1, ∵an≠0, ∴

an ? 2(n ? 2, n ? N *) ,即数列{an}是等比树立∵a1=2,∴an=2n a n ?1
……8 分

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1, (3)∵cn=(2n-1)2
n

∴Tn=a1b1+ a2b2+· · · ·anbn=1×2+3×2 +5×2 +· · · ·+(2n-1)2 , ∴2Tn=1×2 +3×2 +· · · ·+(2n-3)2 +(2n-1)2
2 3 2 3

2

3

n

n

n+1

因此:-Tn=1×2+(2×2 +2×2 +· · ·+2×2 )-(2n-1)2 , 即:-Tn=1×2+(2 +2 +· · · ·+2 )-(2n-1)2 , ∴Tn=(2n-3)2 +6
n+1
3 4

n

n+1

n+1

n+1

……14 分

7


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