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2.2.2《对数函数及其性质》课件


2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质

问题1:我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题.某种 细胞分裂时,有一个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂 成8个 ……,1个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞个数 y 和x 的函数关系是什么?
问题2:反过来,1个细胞经过多少次分裂,大约可以等于1 万个、10万个…细胞? 问题3:已

知细胞个数y,如何求分裂次数x?

对数函数的概念

一般地,函数y = (a>0,且a≠1) 叫做对数函数.其中 x是自变量.函数的定义 域是(0,+∞).
注意:

1.对数函数对底数的限制条件:a>0,且a≠1
2.函数的定义域是(0,+∞).

对数函数的图像与性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? lo g 2 x 和 y ? lo g 1 x 的图象。
2

作图步骤: ① 列表 ② 描点

③ 连线

作y=log2x的图象
列 表 描 点 连 线 x 1/4 1/2 1 2 4 …

y=log2x
y 2 1
0
11 42

-2

-1

0

1

2



1

2 3

4

x

-1 -2

y

认真观察函数 y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升

定义域 : 值 域 :

( 0,+∞) R

在(0,+∞)上是: 增函数

列 表 y ? log2 x …
2

x



1/4

1/2

1

2

4

… …

y ? log1 x …

-2
2

-1
1

0
0

1
-1

2
-2



描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1

2 3

4

x

这两个函数 的图象有什 么关系呢?

-1 -2

关于x轴对称

认真观察函数

y 2 1 11
42

y ? log 1 x
的图象填写下表 图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降
2

0 -1 -2

1 2 3

4

x

定义域 : ( 0,+∞)

值 域 :

R

在(0,+∞)上是: 减函数

对数函数的基本性质
对数函数y=logax (a>0,且a≠1)的图象与性质

a>1
图 象 性 质
y

0<a<1
y 0 (1,0) x

0

(1,0)

x

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过定点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0

当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

对数函数的定义域
例1 求下列函数的定义域: 2 (a ? 0, 且a ? 1) (1)y ? loga x 解: ∵x2 ﹥0 即x ≠ 0 ∴函数y= logax2 的定义域是{x| x ≠ 0} (2) y ? loga (4 ? x) 解:∵ 4-x﹥0即x﹤4

∴函数y=loga (4-x) 的定义域是{x|x﹤4 }

变式

求下列函数的定义域:y=log2x-1 3x-2.
? 2 ?x>3, ? 即? 1 ?x>2, ? ? x ≠1 ,

?3x-2>0, ? 解:函数中的 x 需满足?2x-1>0, ?2x-1≠1, ? 2 ∴x>3且 x≠1.

? ? ? 2 故原函数的定义域为?x?x>3且x≠1? ? ? ?

.

例2 比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log (1) 解法1:画图找点比高低 log28.5 log23.4
0 1 3.4 8.5

0.3

1.8与 log

0.3

2.7

y

y ? log2 x

解法2: 分析:利用对数函数的单调性 考察函数y=log 2 x ,

x

解:∵2 > 1,
∴函数y=log 2 x 在区间(0,+∞) 上是增函数; ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5

∴ log23.4< log28.5

例2 比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2)log (2) 解法1:画图找点比高低

0.3

1.8与 log

0.3

2.7

解法2:考察函数y=log
解:∵0.3< 1, ∴函数y=log ∵1.8<2.7
0.3

0.3

x

,

x ,在区间(0,+∞)上是减函数;
2.7

∴ log

0.3

1.8> log

0.3

(3) log a 5.1, log a 5.9(a ? 0, a ? 1)
解:当a ? 1时,函数y ? loga x在( 0, ? ?)是增函数。

? 5.1 ? 5.9 ? loga 5.1 ? loga 5.9
当0 ? a ? 1时,函数 y ? loga x在( 0, ? ?)是减函数。

? 5.1 ? 5.9 ? loga 5.1 ? loga 5.9

3 例 3.比较 log43,log34,log4 的大小. 3 4

反函数

思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动,分别以位移s和时间t
为自变量,可以得到哪两个函数?这两个函数相同吗?

思考2:设 2 ? y ,x、y分别为自变量可以得到哪两个函数?这两个函
数相同吗?

s 和s=3t 得到 t ? 3 x

y ? 2 x 和x ? log2 y

y ? log 2 x

x 这时:我们就说 y ? 2 和y ? log2 x互为反函数。

下面我们从图像的角度来观察一下反函数之间的关系:

如图示:

y

y ? 2x

y=x

A(m,n)
y ? log2 x
1
0 1

B(n,m)
x

(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数; (2)反函数的图像关于y=x对称; (3)反函数上对称点的横纵坐标互换;定义域、值域互换。

1. 两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两 对数值的大小.

课后练习

课后习题


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