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湖北省武汉二中、麻城一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷(理


湖北省武汉二中、 麻城一中 2014-2015 学年高一下学期期中数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)已知向量 =(1,﹣cosθ) , =(1,2cosθ) ,且 ⊥ ,则 cos2θ 等于() A.﹣1 B. 0 C. D.

2. (5 分

)已知 sin2α= ,则 cos (α﹣ A.﹣ B. ﹣
2 2

2

)=() C. D.

3. (5 分)关于 x 的不等式 x ﹣2ax﹣8a <0(a>0)的解集为(x1,x2) ,且:x2﹣x1=15, 则 a=() A. B. C. D.

4. (5 分)若 x∈(e ,1) ,a=lnx,b= A.c>b>a B.b>c>a

﹣1

,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为() C.a>b>c D.b>a>c

lnx

5. (5 分)等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n, Sn)在以下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是()

A.

B.

C.

D. 6. (5 分)已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x) (x∈R) ,且 f(1)= ,则数列{f(n)} (n∈N )前 20 项的和为() A.305 B.315
*

C.325

D.335

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7. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2b,面积记作 S,则下列结论中一定成立的是() A.B>30° B.A=2B C.c<b D.S≤b
2

8. (5 分)已知△ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 的面积为() A. B. C. D.

= ,则△ AOC

9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,S= (b +c ﹣a ) ,则∠B=() A.90° B.60° C.45° D.30°
f(﹣x) 2 2 2

10. (5 分) 已知函数 f (x) =sin (2x+θ) +

cos (2x+θ) (x∈R) 满足 2015

=



且 f(x)在上是减函数,则 θ 的一个可能值是() A. B. C. D.

11. (5 分)在△ ABC 中,动点 P 满足| 的() A.外心

| =|

2

| ﹣2

2

?

,则 P 点的轨迹一定通过△ ABC

B.内心

C.重心
*

D.垂心 , 若函数( f x) =sin2x+2cos
2

12. (5 分) 已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an, n∈N , 且 a5= 记 yn=f(an) ,则数列{yn}的前 9 项和为() A.0 B.﹣9 C. 9



D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)不等式 ≥2 的解集是.

14. (5 分)已知函数 f(x)=x+sinx.项数为 19 的等差数列{an}满足 an∈ 且公差 d≠0.若 f(a1)+f(a2)+…+f(a18)+f(a19)=0,则当 k=时,f(ak)=0.



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15. (5 分) 已知实数 x, y 满足约束条件

且目标函数 z=kx+y 的最大值为 11,

则实数 k=. 16. (5 分)关于函数 f(x)=2(sinx﹣cos x)cos x 的四个结论: ①最大值为 ; ②把函数 f (x) = sin2x﹣1 的图象向右平移 个单位后可得到函数 f (x) =2 (sinx﹣cosx)

cos x 的图象; ③单调递增区间为(k∈Z) ; ④图象的对称中心为( π+ ,﹣1) (k∈Z) .

其中正确的结论有. (将你认为正确结论的序号都填上) .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (1)已知关于 x 的不等式 ax +2x+c>0 的解集为(﹣ , ) ,求 a+c 的值;
2

(2)已知实数 x,y 满足不等式组

求 2x+y 的最大值.

18. (12 分)已知向量 数 f(x)= ? .

=(2cos(

+x) ,﹣1) ,

=(﹣sin(

) ,cos2x) ,定义函

(1)求函数 f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值; (2)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)=1,bc=8,求△ ABC 的面积 S. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b +c =bc+a . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 已知等差数列{an}的公差不为零, 若 a1cosA=1, 且 a2, a4, a8 成等比数列, 求{ 的前 n 项和 Sn. }
2 2 2

20. (12 分)已知 f(x)=

,其中向量 =

, =(cosx,1)

(x∈R) (Ⅰ)求 f (x)的周期和单调递减区间;

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(Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=﹣1,a= 求边长 b 和 c 的值(b>c) .





21. (12 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)求证:{

(n∈N )

*

}是等比数列,并求{an}的通项公式 an;
n

(2)数列{bn}满足 bn=(3 ﹣1)?
*

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1)

对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.

22. (12 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>b>c) ,已知 f(1)=0,且存实数 m,使 f (m)=﹣a. (1)试推断 与 0 的大小,并说明理由;

2

(2)设 g(x)=f(x)+bx,对于 x1,x2∈R,且 x1≠x2,若 g(x1)=g(x2)=0,求|x1﹣x2| 的取值范围; (3)求证:f(m+3)>0.

湖北省武汉二中、 麻城一中 2014-2015 学年高一下学期期 中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分)已知向量 =(1,﹣cosθ) , =(1,2cosθ) ,且 ⊥ ,则 cos2θ 等于() A.﹣1 B. 0 C. D.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;二倍角的余弦. 专题: 计算题;三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: 利用向量数量积的性质可知, 弦公式即可求解 解答: 解:由向量数量积的性质可知, =1﹣2cos θ=0
2

=0,结合向量数量积的坐标表示及二倍角的余

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即﹣cos2θ=0 ∴cos2θ=0 故选 B 点评: 本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示及二倍角余弦公式的简单应用, 属 于基础试题
2

2. (5 分)已知 sin2α= ,则 cos (α﹣ A.﹣ B. ﹣

)=() C. D.

考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用二倍角公式化简 cos (α﹣ 条件计算求得结果. 解答: 解:已知 sin2α= ,则 cos (α﹣
2 2

)为

,再利用诱导公式和

)=

=

=

= ,

故选:D. 点评: 本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题. 3. (5 分)关于 x 的不等式 x ﹣2ax﹣8a <0(a>0)的解集为(x1,x2) ,且:x2﹣x1=15, 则 a=() A. B. C. D.
2 2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式, 然后与已知条件化简求解 a 的值 即可. 解答: 解:因为关于 x 的不等式 x ﹣2ax﹣8a <0(a>0)的解集为(x1,x2) , 所以 x1+x2=2a…①, 2 x1?x2=﹣8a …②, 又 x2﹣x1=15…③, ① ﹣4×②可得(x2﹣x1) =36a ,代入③可得,15 =36a ,解得 a= 因为 a>0,所以 a= . 故选:A.
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2 2 2 2 2 2 2

=



点评: 本题考查二次不等式的解法,韦达定理的应用,考查计算能力. 4. (5 分)若 x∈(e ,1) ,a=lnx,b= A.c>b>a B.b>c>a
﹣1

,c=e ,则 a,b,c 的大小关系为() C.a>b>c D.b>a>c

lnx

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得 a<0,b>1, <c<1,从而可得答 案. 解答: 解:∵x∈(e ,1) ,a=lnx ∴a∈(﹣1,0) ,即 a<0; 又 y= ∴b=
lnx
﹣1

为减函数, >
﹣1

=

=1,即 b>1;

又 c=e =x∈(e ,1) , ∴b>c>a. 故选 B. 点评: 本题考查有理数指数幂的化简求值, 考查对数值大小的比较, 掌握对数函数与指数 函数的性质是关键,属于中档题. 5. (5 分)等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n, Sn)在以下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是()

A.

B.

C.

D. 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的图象. 函数的性质及应用. 等差数列的前 n 项和,等价于二次函数,根据二次函数的图象和性质即可到答案. 解:∵等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和, ×d= n +(a1﹣ )n,
2 2

∴Sn=na1+

∴点(n,Sn)在曲线 y= x +(a1﹣ )x,

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∵d<0, ∴二次函数开口向下, ∵对称轴 x=﹣ >0,

∴对称轴在 y 轴的右侧, 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质,属于基础题. 6. (5 分)已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x) (x∈R) ,且 f(1)= ,则数列{f(n)} (n∈N )前 20 项的和为() A.305 B.315 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件推导出{f(n)}是以 为首项, 为公差的等差数列,由此能求出数列 {f(n)}(n∈N )前 20 项的和. 解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x) (x∈R) , 且 f(1)= , ∴f(2)= + , f(3)= + + ,…,f(n)= +f(n﹣1) , ∴{f(n)}是以 为首项, 为公差的等差数列. ∴数列{f(n)}(n∈N )前 20 项的和 S20=20× +
* * *

C.325

D.335

× =335.

故选:D. 点评: 本题考查数列的前 20 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想 的合理运用. 7. (5 分)在△ ABC 中,若 a=2b,面积记作 S,则下列结论中一定成立的是() 2 A.B>30° B.A=2B C.c<b D.S≤b 考点: 正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 将 a=2b 利用正弦定理化简,得到 sinA=2sinB,但是 A 不一定等于 2B,利用三角 形面积公式表示出 S,将 a=2b 代入并利用 sinC 的值域确定出 S 范围,即可做出判断. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=2b,面积记作 S, ∴由正弦定理得:sinA=2sinB,而 A 不一定等于 2B;
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S= absinC=b sinC≤b , 故选 D 点评: 此题考查了正弦定理, 以及三角形的面积公式, 熟练掌握定理及公式是解本题的关 键.

2

2

8. (5 分)已知△ ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 的面积为() A. B. C. D.

= ,则△ AOC

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可判 (m,n)分别可得 , , ,以 O 为原点, 的坐标,代入 , 为 x,y 轴建立平面直角坐标系,设 C = 可得 m,n 的值,而

S△ AOC= OA?|n|,代计算可得. 解答: 解:由题意可得 又 ∴ 平方可得 代入数据可得 9+ 解得 =0,可得 , = , , =25 +16=25, , 为 x,y 轴建立平面直角坐标系(如图) =(1,0) , =(0,1) , =(m,n) , ,

以 O 为原点,

设 C(m,n)则可得 代入

= 可得:

3(1,0)+4(0,1)+5(m,n)=0. 解得 m=﹣ ,n=﹣ ∴S△ AOC= OA?|n|= 故选:A
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=

点评: 本题主要考查向量的数量积运算和三角形的面积公式. 三角函数和向量的综合题是 2015 届高考的重点和热点,属中档题. 9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,S= (b +c ﹣a ) ,则∠B=() A.90° B.60° C.45° D.30°
2 2 2

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得 sinC 的值,进 而求得 C,然后利用三角形面积公式求得 S 的表达式,进而求得 a=b,推断出三角形为等腰 直角三角形,进而求得∠B. 解答: 解:由正弦定理可知 acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B) =2RsinC=2RsinC?sinC ∴sinC=1,C=
2


2 2

∴S= ab= (b +c ﹣a ) , 解得 a=b,因此∠B=45°. 故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用. 作为解三角形常用的定理, 我们应熟练记忆和掌 握正弦定理公式及其变形公式. 10. (5 分) 已知函数 f (x) =sin (2x+θ) + cos (2x+θ) (x∈R) 满足 2015
f(﹣x)

=



且 f(x)在上是减函数,则 θ 的一个可能值是() A. B. C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 由题意易得 f(x)=2sin(2x+θ+ 调性验证选项可得.

)且是奇函数,可得 θ+

=kπ(k∈Z) ,结合单

解答: 解:化简可得 f(x)=sin(2x+θ)+ 由 2015
f(﹣x)

cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+ =1,

) ,

=

可得 2015

f(﹣x)+f(x)

∴f(﹣x)+f(x)=0,∴函数 f(x)是奇函数. ∴θ+ =kπ(k∈Z) ,即 θ=kπ﹣ ,

故 B,D 可能正确, 又∵f(x)在上是减函数, ∴D 不满足条件. 故选:B. 点评: 本题考查三角函数公式,涉及函数的奇偶性,属基础题.
2 2

11. (5 分)在△ ABC 中,动点 P 满足| 的() A.外心

| =|

| ﹣2

?

,则 P 点的轨迹一定通过△ ABC

B.内心

C.重心

D.垂心

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先将题设中的等式移项,利用| |=
2 2

、|

|=

2

2

及平方差公式化简,再利用两

向量垂直的充要条件得到线段的位置关系,从而获得动点 P 的轨迹. 解答: 解:由| 得| | ﹣| + +
2

| =| ?

2

| ﹣2 ,即 ﹣ ?
2

2

? ﹣ ?


2

| =2

2

=2 ,

?



从而( ∴( ∴

)?( )? =2

)=2 , ,

∵P 为动点,∴ ∴ 设 M 是 AB 中点,则 ∴ , ,





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∴P 在 AB 的垂直平分线上, ∴P 点轨迹一定通过△ ABC 的外心. 故选 A. 点评: 1.从求解过程可以看出,对于给出向量式,求解动点轨迹问题,一般是先将向量 式化为最简,再根据几何图形的特征探究动点,定点和各线段之间的联系.应注意两点: (1)应熟练向量的加、减法运算(尤其是三角形法则,平行四边形法则) ,数乘运算,数量 积的运算及性质. (2)充分利用已知中提供的图形信息,如线段长度相等,直角三角形,中点等,必要时可 添加适当的辅助线或点. 2.应熟练掌握三角形各“心”的含义及性质,如外心是三角形外接圆的圆心,即三边垂直平 分线的交点; 内心是三角形内切圆的圆心, 即三内角平分线的交点; 重心是三边中线的交点; 垂心是三高线所在直线的交点. 12. (5 分) 已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an, n∈N , 且 a5= 记 yn=f(an) ,则数列{yn}的前 9 项和为() A.0 B.﹣9 C. 9 考点: 数列递推式;数列与三角函数的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;三角函数的求值. 分析: 确定数列{an}是等差数列,利用等差数列的性质,可得 f(a1)+f(a9)=f(a2)+f (a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2,由此可得结论. * 解答: 解:∵数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an,n∈N , ∴数列{an}是等差数列, ∵a5= ,∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π,
2 * 2

, 若函数( f x) =sin2x+2cos



D.1

∵f(x)=sin2x+2cos



∴f(x)=sin2x+cosx+1, ∴f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2, 同理 f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2, ∵f(a5)=1, ∴数列{yn}的前 9 项和为 9. 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的性质, 考查数列与函数的联系, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)不等式 ≥2 的解集是.

考点: 其他不等式的解法. 分析: 注意到分母恒大于或等于 0,直接转化为整式不等式求解,注意 x≠1
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解答: 解:

?x+5≥2(x﹣1) 且 x≠1?2x ﹣5x﹣3≤0 且 x≠1?

2

2

故答案为: 点评: 本题考查解分式不等式,在解题过程中,注意等价转化. 14. (5 分)已知函数 f(x)=x+sinx.项数为 19 的等差数列{an}满足 an∈ 且公差 d≠0.若 f(a1)+f(a2)+…+f(a18)+f(a19)=0,则当 k=10 时,f(ak)=0. 考点: 数列的应用. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由函数 f(x)=x+sinx,可得图象关于原点对称,图象过原点,根据项数为 19 的等 差数列{an}满足 an∈ ,且公差 d≠0,我们易得 a1,a2,…,a19 前后相应项关



于原点对称,则 f(a10)=0,易得 k 值. 解答: 解:因为函数 f(x)=x+sinx 是奇函数, 所以图象关于原点对称,图象过原点. 而等差数列{an}有 19 项,an∈ ,

若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a19)=0, 则必有 f(a10)=0, 所以 k=10. 故答案为:10. 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性,等差数列的性质应用,属于中档题.

15. (5 分) 已知实数 x, y 满足约束条件

且目标函数 z=kx+y 的最大值为 11,

则实数 k=4. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用.

分析: 画出满足约束条件

的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,

进一步利用目标函数 z=kx+y 的最大值为 11,判断目标函数经过的点,即可求出 k 的值.

解答: 解:由变量 x,y 满足约束条件



作出可行域:
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∵z=kx+y 的最大值为 11,即 y=﹣kx+z 在 y 轴是的截距是 11, ∴目标函数 z=kx+y 经过 ∴11=k×2+3;解得 k=4. 故答案为:4. 的交点 A(2,3) ,

点评: 本题考查简单的线性规划的应用,在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步 骤为:①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标 函数?④验证,求出最优解. 16. (5 分)关于函数 f(x)=2(sinx﹣cos x)cos x 的四个结论: ①最大值为 ; ②把函数 f (x) = sin2x﹣1 的图象向右平移 个单位后可得到函数 f (x) =2 (sinx﹣cosx)

cos x 的图象; ③单调递增区间为(k∈Z) ; ④图象的对称中心为( π+ ,﹣1) (k∈Z) .

其中正确的结论有③④. (将你认为正确结论的序号都填上) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 化简函数的解析式,求出函数的最值判断①的正误;利用三角函数的图象的平移 判断②的正误; 求出函数的单调增区间判断③的正误; 求出函数的对称中心判断④的正误. 解答: 解:对于①,因为 f(x)=2sinxcosx﹣2cos x= 为 ﹣1,故①错误. sin2x﹣1 的图象向右平移 个单位后得到 f(x)= sin(2x﹣ )
2

sin(2x﹣

)﹣1,所以最大值

对于②,将 f(x)=

﹣1 的图象,而函数 f(x)=2(sinx﹣cosx)cosx=sin2x﹣cos2x﹣1= 故②错误.

sin(2x﹣

)﹣1.

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对于③,由﹣

+2kπ≤2x﹣



+2kπ,得﹣

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,即增区间为

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据方程 f(m)=﹣a 有实根△ ≥0,且 f(1)=0,a>b>c,得出 a>0,c<0, b≥0,从而得 ; ,从而求

(2)根据 x1,x2 是方程 g(x)=0 的两实根,由根与系数的关系计算 出|x1﹣x2|的取值范围;

(3)由 f(1)=0,可设 f(x)=a(x﹣1) (x﹣ ) ,再由 f(m)=﹣a,求出 m 的取值范围, 从而得出 f(m+3)>f(1)=0. 解答: 解: (1)∵f(m)=﹣a,m∈R, 2 ∴方程 ax +bx+c=﹣a 有实根, 2 △ =b ﹣4a(a+c)≥0, ∵f(1)=0,∴a+b+c=0,即 a+c=﹣b; 2 ∵b ﹣4a(﹣b)=b(b+4a)≥0, ∵a>b>c,∴a>0,c<0, 从而 b+4a=﹣(a+c)+4a=3a﹣c>0; ∴b≥0,∴ ;…(4 分)
2

(2)据题意,x1,x2 是方程 g(x)=0,即 ax +2bx+c=0 的两实根; ∴ = ﹣4x1x2

= = = =4 =4


2

(b ﹣ac)

+3;

∵a>b=﹣(a+c) , ∴2a>﹣c>0, ∴ >﹣2; 又 a+c=﹣b≤0, ∴ ;

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∴ ∴

, ;…(8 分)

(3)∵f(1)=0,设 f(x)=a(x﹣1) (x﹣ ) , ∵f(m)=﹣a, ∴a(m﹣1) (m﹣ )=﹣a, ∴(m﹣1) (m﹣ )=﹣1<0, ∵ <m<1, ∴m>﹣2; ∴m+3>1, ∴f(m+3)>f(1)=0.…(12 分) 点评: 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题, 也考查了一元二次方程与对应的不 等式的解法与应用问题,是综合性题目.

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