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2014年全国高考试卷解析几何部分汇编(下)


2014 年全国高考试卷解析几何部分汇编(下)
1. (2014 山东理 10) 已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为 心率之积为

x2 y 2 x2 y 2 C ,双曲线 的方程为 ? ? 1 ? ? 1 , C1 与 C2 的离 2 a 2 b2 a 2 b2
) C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0



3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2

A. x ? 2 y ? 0 【解析】 A 2. (2014 山东理 21)

B. 2 x ? y ? 0

已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,A 为 C 上异于原点的任意一点, 过点 A 的直线 l 交
C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF

为正三角形. ⑴求 C 的方程; ⑵若直线 l1 ∥ l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; ② △ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p 【解析】 ⑴ 当 A 的横坐标为 3 时,过 A 作 AG ? x 轴于 G , AF ? 3 ? 2 p ? FD ? AF ? 3 ? 2 y

△AFD 为等边三角形
1 3 p FD ? ? 2 2 4 p 又 FG ? 3 ? 2 3 p p ? ? ? 3 ? ,? p ? 2 ,?C : y 2 ? 4x 2 4 2 ? FG ?
y1 ) , FD ? AF ? x1 ? 1 ⑵ (ⅰ)设 A( x1,
? D ? x1 ? 2, 0 ? ,? k AB ? ?
O F G

A

D

x

B

y1 2

1 l1 //l AB ,? kl1 ? ? y1 2
yE ? , 又 l1 与 C 相切,设切点 E ? xE ,

x?

1 ?2 4 1 1 2 y , x ? ? y ,? y E ? ,? y E ? ? 2 y1 y1 4 2
2

? 4 ? 4 ? ? y12 1? 4 ? 4 ? ?, A? , y1 ? xE ? ? ? ? ? 2 ,? E ? 2 , y1 ? ? 4 4 ? y1 ? y1 ? ? y1

? l AE

4 y1 ? y12 ? : y ? y1 ? 2 ?x? ? y1 4 ? 4 ? ? 4 y12 y1 ?
4 y1 0 ? ? 直线 AE 过定点 ?1, 0? . ? x ? 1? 恒过点 ?1, y12 ? 4

即y?

? 2 y12 x ? ? y ? ?2 8 y1 ? y ? ? 2 2 y1 4 (ⅱ) l AB : y ? y1 ? ? ? x ? ? ,即 ? ,得 y ? y ? ? y1 ? 8 ? ? 0 y 2? 4 ? 1 ? y2 ? 4x ?
2 1

y1 ? y2 ? ?
AB ? 1 ?

8 8 ,? y2 ? ? y1 ? y1 y1
4 4 8 ? y1 ? y2 ? 1 ? 2 2 y1 + 2 y1 y1 y1

点 E 到 AB 的距离 d ?

8 y12 4 ? ?2? 2 y12 4 y1 4 1? 2 y1

?

4 y12 ? ?2 y12 4 1? 4 y12
3

1 1 8 4 y12 y 2 ? S ? AB ? d ? 2 y1 ? ? ?2 ?2 1 ? ≥ 2 ? 23 ? 16 ,当且仅当 y1 ? ?2 2 2 2 y1 y1 4 2 y1
时,“ ? ”成立. 3. (2014 山东文 14) 圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3 ,则圆 C 的标准方程为
2 2



【解析】 ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 4 4. (2014 山东文 15) x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c ,右顶点为 A ,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 a b 为 F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ,且 | FA |? c ,则双曲线的渐近线方程 .
p? p ? ? ? ,即 ? c, ? b ? 代入 ? c2 ? a2 ? b ,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 ? c, 2? 2 ?

为 【解析】 y ? ? x 由已知得

5.

b c2 c 2 b2 c2 ? ? ? 1 ? 1 ? 渐近线方程为 y ? ? x . 得 , 故答案为 y ? ? x . ? ? 1 ? 2 a a2 a 2 b2 a2 (2014 山东文 21) 3 x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 直线 y ? x 被椭圆 C 2 a b

双曲线方程为

截得的线段长为

4 10 . 5

⑴求椭圆 C 的方程; B 两点( A, B 不是椭圆 C 的顶点) ⑵过原点的直线与椭圆 C 交于 A, . 点 D 在椭圆 C 上,且

AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点.
①设直线 BD , AM 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ? k2 ,并求出 ? 的值; ②求 ?OMN 面积的最大值. 【解析】 ⑴ e ?
c 3 x2 ? ,设 c ? 3n, a ? 2n ,则 b ? n ,椭圆方程为 ? y 2 ? n2 a 2 4

? 2 5 x ? 2 10 ? ? 0 5 设 y ? x 与椭圆在第一象限的交点为 ? x0 , y0 ? 则 x0 ? y0 , 2 x0 ? , ?? 5 2 5 ? y0 ? ? 5 ?

将(

2 5 2 5 x2 , ) 代入椭圆得 n ? 1 ,? ? y 2 ? 1 5 5 4

⑵方法一: (ⅰ)设 l AB : y ? kx
? ?2 ? y ? kx ?2k ? ? 2 2k ? ? A? , B? , ?, ? ? 2 2 2 2 2 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ?x ? 4 y ? 4 ? 1 ? 4k 2 ? 2k ? 2k 1? 2 1 k ?? ?x? ? y ? ? x ? l AD : y ? ? k? k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ?2 ? 2 4 ? ? 2k ? ?k ? 2 k ? 4 8 k ? 2 ? ?4?0 x2 ? ? k x? ? ? 2k ? ? 2 2 2 1 k k 1 ? 4 k k 1 ? 4 k ?y ? ? x ? ? k 1 ? 4k 2 ? 16 ? 16 2 2 k2 ?14k 2 ? 8 ? xD ? ? k ? 2 ? xD ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 k ? 4 1 ? 4k 2 ? ? k 2 ? 4 ?

2

yD ?

1 ? 4k 2 ? ? k 2 ? 4 ?
2k 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k
2

4k ? 2k 3

? ?

? k1 ?

1 ? 4k 2 ? ? k 2 ? 4 ? 1 ? 4k 2 ? ? k 2 ? 4 ? 14k ? 8
2

4k ? 2k 3

?

k 4

lBD : y ?

? k? 2 ? ?x? ? 2 4? 1 ? 4k 1 ? 4k ? 2k
2

令 y ? 0 ? xm ?
? ? k2 ? 2k

? ?6 ? ?M? , 0? 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ?6

1 ? 4k 2 ? ? k 4 2

1 ? 4k 2 1 1 ? k1 ? ? k2 , ?? ? ? 2 2
? ?6 ? ? 2k k? 2 (ⅱ) ? , 0 ? ,对 lBD : y ? ? ?x? ? 2 2 2 4? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k ? 3 k 令 x ? 0 得 yN ? 2 1 ? 4k 2

? S△OMN

3 k 1 6 9 1 ? ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 4k ? 1 1 ? 4k 1 ? 4k k
1 1 ≥ 4 当且仅当 k ? ? 时取等号 k 2

4k ?

9 1 9 ?? S△OMN ?max ? ? ? 2 4 8 方法二: (ⅰ)设 B ? x1, y1 ?, D ? x2 , y2 ?

则 A? ? x1, ? y1 ?
? x12 ? y12 ? 1 ? ? 4 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 4

k AD ?

y1 ? y2 x1 ? x2

? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 4 y ? y2 y1 ? y2 1 ? ?? 即 1 x1 ? x2 x1 ? x2 4

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?

? k1 ? k AD ? ?

1 4

又 AB ? AD
? k AB ? k AD ? ?1
? k AB ? 4k1

lBD : y ? y1 ? k1 ? x ? x 1 ?

令 y ? 0,x ? ?

y1 ? x1 k1

令 x ? 0 , y ? y1 ? k1 x 1
? y ? ? M ? ? 1 ? x1, 0 ?, N ? 0, y1 ? k1 x 1 ? ? k1 ? y1 y1 x1 k AB k2 ? ? ? ? ?2k1 y y 1 1 2 ? k AB ? 2x 1? 1 2 ? 1 ? k1 k1 x 1 k1

1 1 ? k1 ? ? k2 ? ? ? ? 2 2

(ⅱ) S△OMN ?
k1 ?

? 1 ? y1 ? ? ? x 1 ? ? y1 ? k1 x 1 ? 2 ? k1 ?

y1 4x 1

? S△OMN ?

9 9 2 2 9 2 ? x12 ? 9 1 2 9 x 1 y1 ? x1 y1 ? x1 ?1 ? ? ? ? x1 ? 4 ? x12 ? ≤ 8 8 8 4? 8 2 8 ?

?? S△OMN ?max ?

9 8

当且仅当 x1 ? ? 2 ,“ ? ”成立. 6. (2014 陕西理 12) 若 圆 C 的 半径为 1 , 其圆心 与点 ( 1 , 0 ) 关于 直线 y ? x 对 称 ,则 圆 C 的 标准方程 为 _________________. 【解析】 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1
,0) 关于直线 y ? x 对称的点 (0,1) 为圆心,又半径 r ? 1 ,所以圆 C 的标准方 根据题意得点 (1

程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 . 7. (2014 陕西理 20) 如图,曲线 C 由上半椭圆 C1 :
2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0, y ≥ 0? 和部分 a 2 b2
A

y P B O x

B 抛物线 C2 :y ? ? x ? 1? y ≤ 0? 连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,
3 其中 C1 的离心率为 . 2

b 的值; ⑴求 a, Q (均异于点 A, B) ⑵过点 B 的直线 l 与 C1, ,若 C2 别交于点 P,

AP ? AQ ,求直线 l 的方程.
0) ,B ( 1 , 0) 【解析】 ⑴ 在 C1,C2 的方程中,令 y ? 0 ,可得 b ? 1 ,且 A(?1,

Q

是上半椭圆 C1 的 左,右顶点. 设 C1 的半焦距为 c ,由
? a ? 2,b ? 1 .
c 3 ? 及 a 2 ? c 2 ? b2 ? 1 得 a ? 2 . a 2

⑵ 解法一:由⑴知,上半椭圆 C1 的方程为

y2 ? x2 ? 1( y ≥ 0) . 4

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 代入 C1 的方程,整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 设点 P 的坐标为 ( xp , yp ) ,
( *) Q 直线 l 过点 B ,? x ? 1 是方程 的一个根. ( *)

由求根公式,得 x p ?

k2 ? 4 ?8k ,从而 y p ? 2 , 2 k ?4 k ?4

? 点 P 的坐标为 (

k 2 ? 4 ?8k , ). k2 ? 4 k2 ? 4

? y ? k ( x ? 1)(k ? 0), 同理,由 ? ,得点 Q 的坐标为 (?k ? 1 ,? k 2 ? 2k ) . 2 y ? ? x ? 1( y ≤ 0) ? uu u r uuu r 2k ? AP ? 2 (k,? 4), AQ ? ?k (1 ,k ? 2) . k ?4 uu u r uuu r ?2k 2 ? Ap ? AQ, ? AP ? AQ ? 0 ,即 2 [k ? 4(k ? 2)] ? 0 , k ?4

8 ? k ? 0 ? k ? 4(k ? 2) ? 0 ,解得 k ? ? . 3 8 经检验, k ? ? 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1) . 3

解法二:若设直线 l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) ,比照解法一给分. 8. (2014 陕西文 11) 抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为____________.

【解析】 x ? ?1 9. (2014 陕西文 20) x2 y 2 1 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0, 3) , 离心率为 , 2 a b 左右焦点分别为 F1 (?c,0),F2 (c,0) . ⑴求椭圆的方程; 1 B ,与以 F1 F2 为直 ⑵若直线 l :? ? x ? m 与椭圆交于点 A , 2 AB 5 3 D 两点,且满足 ? 径的圆交于 C , ,求直线 l 的 CD 4 方程.
?b ? 3, ? ?c 1 【解析】 ⑴ 由题设知 ? ? , 解得 a ? 2 , b ? 3 , c ? 1 , ?a 2 ?b 2 ? a 2 ? c 2 , ? x2 y 2 ∴椭圆的方程为 ? ?1. 4 3

y A C D F1 O F2 B x

⑵ 由⑴知,以 F1 F2 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? 1 , ∴圆心到直线 l 的距离 d ?
2|m| 5

,由 d ? 1 得 | m |?

5 . (*) 2

4 2 5 ? 4m 2 . ∴ | CD |? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ? m2 ? 5 5

设 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ?
1 ? y?? x?m ? ? 2 由? 2 得 x 2 ? mx ? m2 =0 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4

有 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ? m2 ? 3
1 15 AB ? [1 ? (? )][m 2 ? 4(m 2 ? 3)] ? 4 ? m2 2 2



4 ? m2 | AB | 5 3 ?1, ? 得 | CD | 4 5 ? 4m 2
3 ,满足(*) 3

解得 m ? ?

1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y ? ? x ? 或y?? x? . 2 3 2 3 10. (2014 上海理 22) 在平面直角坐标系 xoy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 )
l 记 ? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) ,若 ? ? 0 ,则称点 P 1, P 2 被直线 分隔。

C的 l l 若曲线 C 与直线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1, P 2 被直线 分隔,则称直线 为曲线

一条分隔线。 ⑴求证:点 A(1, 2) , B (?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔; ⑵若直线 y ? kx 是曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围; ⑶动点 M 到点 Q(0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1 ,设点 M 的轨迹为曲线 E ,求证: 通过原点的直线中,有且只有一条直线是 E 的分隔线; 【解析】 ⑴ ∵将 A(1, 2), B( ?1,0) 分别代入 x ? y ? 1 ,得 (1 ? 2 ? 1)(?1 ? 1) ? ?4 ? 0 ∴点 A(1, 2), B( ?1,0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔;
2 2 2 2 ⑵ 联立 y ? kx 与 x ? 4 y ? 1 ,得 (1 ? 4k ) x ? 1 ,依题意,方程无解

1 1 ∴ 1 ? 4k 2 ? 0 ,∴ k ? ? 或 k ? 2 2
2 2 2 ⑶ 设 M ( x, y ) ,则 x2 ? ( y ? 2)2 x ? 1 ,故曲线 E 的方程为 ( x ? ( y ? 2) ) x ? 1 ①

当斜率不存在时,直线为 x ? 0 ,显然与方程①联立无解,

? ? 1? (?1) ? 0 , 又P 2 (?1, 2) 为 E 上两点,且代入 x ? 0 ,有 1 (1, 2) , P
∴ x ? 0 是一条分隔线;
2 4 3 2 当斜率存在时,设直线为 y ? kx ,代入方程,得: (k ? 1) x ? 4kx ? 4 x ? 1 ? 0 2 4 3 2 令 f ( x) ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4x ? 1 ,则:

f (0) ? ?1 , f (1) ? (k ? 2)2 , f (?1) ? k 2 ? 1 ? 4k ? 3 ? (k ? 2)2

当 k ? 2 时, f (1) ? 0 ,故 f (0) f (1) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 (0,1) 之间存在实根 ∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 当 k ? 2 时, f (0) f (?1) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 (?1,0) 之间存在实根 ∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 ∴直线 y ? kx 与曲线 E 始终有公共点,故不是分隔线 综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线 x ? 0 是 E 的分隔线 11. (2014 四川理 10 文 10) 已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点, 点 A ,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA ? OB ? 2(其
2

中 O 为坐标原点) ,则 △ ABO 与 △ AFO 面积之和的最小值是( A. 2 【解析】 B 方法 1: B. 3 C.



17 2 8

D. 10

?1 ? 设直线 AB 的方程为: x ? ty ? m ,点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 F ? ,0 ? ,直线 AB 与 x 轴的 ?4 ?

交点 M (0,m) (不妨假设 y1 ? 0 )
? x ? ty ? m 由? 2 ? y 2 ? ty ? m ? 0 ,所以 y1 y2 ? ?m ?y ? x

又 OA ? OB ? 2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ? ( y1 y2 )2 ? y1 y2 ? 2 ? 0 因为点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,所以 y1 y2 ? ?2 ,故 m ? 2
1 1 1 9 2 9 2 于是 S?ABO ? S?AFO ? ? 2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? ? y1 ? y1 ? ≥ 2 y1 ? ? 3 2 2 4 8 y1 8 y1
9 2 4 当且仅当 y1 ? ? y1 ? 时取“ ? ” 8 y1 3

所以 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 3 . 方法 2:
?1 ? 据题意得 F ? ,0 ? , 设 Ax ( 1, y 1) , Bx ( 2 y, 2) ?4 ?
y1 y2 ? 1 ,
2 2 , 则 x1 ? y12,x2 ? y2 ,y12 y2 ? y1 y2 ? 2,y1 y2 ? ?2 或

因为 A, B 位于 x 轴两侧,所以 y1 y2 ? ?2 , 两面积之和为 S ?
1 1 1 2 1 2 9 x1 y2 ? x2 y1 ? ? ? y1 ? ? y1 ? ? y1 ? ? y1 ≥ 3 . 2 2 4 y1 8 y1 8

12. (2014 四川理 14) 设m?R , 过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点

P( x , y) ,则 | PA | ? | PB | 的最大值是
【解析】 5 方法 1:



A(0,0) , B(1, 3) ,因为 PA ? PB ,所以 PA ? PB ? AB ? 10 ,

2

2

2

故 PA ? PB ≤ 方法 2:

PA ? PB 2

2

2

? 5 (当且仅当 PA ? PB ? 5 时取“ ? ”)

0),B(1, 3) .设 P( x,y) ,则消去 m 得: x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 , 解析:易得 A(0,

所以点 P 在以 AB 为直径的圆上, PA ? PB ,所以 PA ? PB ≤ 13. (2014 四川理 20) 已知椭圆 C :

AB 2

2

?5.

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构 a 2 b2

成正三角形. ⑴求椭圆 C 的标准方程;
Q. ⑵设 F 为椭圆 C 的左焦点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P , T 为直线 x ? -3 上任意一点,

①证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) ; ②当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

?c ? 2 ?a 2 ? 6 ? ? 【解析】 ⑴ 依条件 ?a ? 3b ?? 2 ? ? 2 ?b ? 2 2 2 ?a ? b ? c ? 4 x2 y 2 所以椭圆 C 的标准方程为 ? ?1. 6 2 ⑵ 设 T (?3,m) , P( x1,y1 ) , Q( x2,y2 ) ,又设 PQ 中点为 N ( x0,y0 )
(i)因为 F (?2,0) ,所以直线 PQ 的方程为: x ? my ? 2
? x ? my ? 2 ? 2 ? (m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 2 ?6

? ?? ? 16m2 ? 8(m2 ? 3) ? 24(m2 ? 1) ? 0 ? 4m ? 所以 ? y1 ? y2 ? 2 m ?3 ? ? ?2 y1 y2 ? 2 ? m ?3 ?

2m2 ?6 y1 ? y2 2m , x0 ? my0 ? 2 ? 2 ?2? 2 ? 2 2 m ?3 m ?3 m ?3 ?6 2m m 所以 N ( 2 , ) .因为 kOT ? ? ? kON m ? 3 m2 ? 3 3 所以 O , N , T 三点共线 即 OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点) .
于是 y0 ? (ii) TF ? m2 ? 1 , PQ ? y1 ? y2 所以
TF PQ ? m2 ? 1 24(m ? 1) m2 ? 1 2 m ?3
2

m2 ? 1 ?

24(m2 ? 1) m2 ? 1 m2 ? 3
2

?

m2 ? 3 24(m ? 1)

,令 m2 ? 1 ? x ( x ≥ 1 )



TF PQ

?

x2 ? 2 2 6x

?

2 3 (x ? ) ≥ (当且仅当 x2 ? 2 时取“ ? ”) x 3 2 6

1

所以当

TF PQ

1) 或 ( ?3, ? 1) . 最小时, x2 ? 2 即 m ? 1 或 ?1 ,此时点 T 的坐标为 (?3,

14. (2014 四川文 9) 设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点
P( x,y) ,则 PA ? PB 的取值范围是(

) D. [2 5 , 4 5]

A. [ 5 , 2 5]

B. [ 10 , 2 5]

C. [ 10 , 4 5]

【解析】 B 15. (2014 四川文 11) x2 双曲线 ? y 2 ? 1 的离心率等于____________. 4
5 2 16. (2014 四川文 20)

【解析】

6 x2 y 2 . ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F (?2,0) ,离心率为 2 3 a b ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵设 O 为坐标原点, T 为直线 x ? ?3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P , Q .当四

已知椭圆 C :

边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积. 【解析】 ⑴由已知可得,
c 6 ? , c ? 2 ,所以 a ? 6 . a 3

又由 a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 b ? 2 ,所以椭圆 C 的标准方程是 ⑵设 T 点的坐标为 ? ?3 , m? ,则直线 TF 的斜率 kTF ? 当 m ? 0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ ?

x2 y 2 ? ?1. 6 2

m?0 ? ?m . ?3 ? ? ?2 ?

1 ,直线 PQ 的方程是 x ? my ? 2 . m 当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式.
? x ? my ? 2 , ? 设 P ? x1 ,y1 ? , Q ? x2 ,y2 ? ,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6

消去 x ,得 ? m2 ? 3? y2 ? 4my ? 2 ? 0 , 其判别式 ? ? 16m2 ? 8? m2 ? 3? ? 0 ,
4m ?2 , ,y1 y2 ? 2 2 m ?3 m ?3 ?12 . x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 2 m ?3 因为四边形 OPTQ 是平行四边形,

所以 y1 ? y2 ?

所以 OP ? QT ,即 ? x1 ,y1 ? ? ? ?3 ? x2 , m ? y2 ? .
?12 ? x ? x2 ? 2 ? ?3 , ? ? 1 m ?3 所以 ? 解得 m ? ?1 . ? y ? y ? 4m ? m , 1 2 ? m2 ? 3 ? 1 此时, S四边形OPTQ ? 2S△OPQ ? 2× ? OF ? y1 ? y2 2
?2 ? ? 4m ?2 ? 2 ? 4? 2 ? ?2 3. m ? 3? ?m ?3

17. (2014 天津理 5 文 6) x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0 ,> b 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y ? 2 x ? 10 ,双曲线的一个焦 a b 点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ) A. 【解析】 A 由题意知, 双曲线

x2 y 2 ? ?1 5 20

B.

x2 y 2 ? ?1 20 5

C.

3x 2 3 y 2 ? ?1 25 100

D.

3x 2 3 y 2 ? ?1 100 25

x2 y 2 b 所以 ? 2 , 即 b2 ? 4a2 , ? ? 1? a ? 0 ,b ? 0? 的一条渐近线为 y ? 2 x , a a 2 b2

因此 c ? 5a ,又双曲线的一个焦点是直线 l 与 x 轴的交点,所以该焦点的坐标为(-5,0) ,

?b 2 ? 4a 2 , ? 所以 c ? 5 ,即 a 2 ? b2 ? 25 ,联立得 ? 2 解得 a2 ? 5 ,b2 ? 20 ,故双曲线的方程为 2 a ? b ? 25 , ? ?

x2 y 2 ? ? 1. 5 20 18. (2014 天津理 18) x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点为 A ,上顶点为 B .已知 a b
AB ? 3 F1 F2 . 2

⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 F1 , 经过原点 O 的直线
l 与该圆相切.求直线 l 的斜率.

0) .由 AB ? 【解析】 ⑴ 设椭圆右焦点 F2 的坐标为 (c , b2 ? a 2 ? c 2 ,

3 F1 F2 ,可得 a 2 ? b2 ? 3c2 ,又 2



2 c2 1 . ? .所以,椭圆的离心率 e ? 2 a2 2

⑵ 由⑴知 a2 ? 2c2 , b2 ? c 2 .故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 2c2 c2


c) ,有 F1P ? ( x0 ? c ,y0 ) , F1B ? (c , 设 P( x0 ,y0 ) ,由 F1 (?c ,0) , B(0 , c) .

由已知,有 F1P ? F1B ? 0 ,即 ( x0 ? c)c ? y0 c ? 0 .又 c ? 0 ,故有 x0 ? y0 ? c ? 0 . 又因为点 P 在椭圆上,故
2 2 x0 y0 ? ?1. 2c 2 c 2



2 ? 4cx0 ? 0 ,而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0 ? ? c ,代入①得 y0 ? 由①和②可得 3x0

4 3

c ,即 3

? 4c c ? 点 P 的坐标为 ? ? , ? . ? 3 3?

4 c ? c?0 ?c 2 2 ? ? c , y1 ? 3 ? c, 设圆的圆心为 T ( x1 ,y1 ) ,则 x1 ? 3 2 3 2 3

进而圆的半径 r ? ( x1 ? 0) 2 ? ( y1 ? c) 2 ?

5 c. 3

设直线 l 的斜率为 k ,依题意,直线 l 的方程为 y ? kx .由 l 与圆相切,可得

kx1 ? y1 k2 ?1

? r,



? 2c ? 2c k?? ? ? ? 3 ? 3 k ?1
2

?

5 c ,整理得 k 2 ? 8k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 4 ? 15 . 3

所以,直线 l 的斜率为 4 ? 15 或 4 ? 15 . 19. (2014 天津文 18) x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2 , ,右顶点为 A ,上顶点为 B .已知 a b

AB ?

3 F1 F2 . 2

⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 F1 , 经过点 F2 的直线 l 与该圆相切与点 M , MF ? 2 2 .求椭圆的方程. 【解析】 ⑴ 设椭圆右焦点 F2 的坐标为( c ,0) . 由 AB ?
3 F1 F2 ,可得 a 2 ? b2 ? 3c2 , 2

又 b2 ? a 2 ? c 2 ,则

c2 1 ? . a2 2
2 . 2

所以,椭圆的离心率 e ?

⑵ 由⑴知 a2 ? 2c2 ,b2 ? c2 .故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 2c2 c2

设 P ? x0 ,y0 ? .由 F1 ? ?c ,0? ,B ? 0 ,c ? ,有 F1P ? ? x0 ? c ,y0 ? ,F1B ? ? c , c? . 由已知,有 F1P ? F1B ? 0 ,即 ? x0 ? c ? c ? y0c ? 0 .又 c ? 0 ,故有 x0 ? y0 ? c ? 0 .① 因为点 P 在椭圆上,故
2 x0 y2 ? 0 ?1. 2 2c c2



4 c 2 由①和②可得 3x0 ? 4cx0 ? 0 .而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0 ? ? c ,代入①得 y0 ? ,即 3 3
? 4c c ? 点 P 的坐标为 ? ? , ? . ? 3 3?

4 c ? c?0 ?c 2 2 3 3 ? ? c ,y1 ? ? c, 设圆的圆心为 T ? x1 ,y1 ? ,则 x1 ? 2 3 2 3

进而圆的半径 r ?

? x1 ? 0 ?

2

? ? y1 ? c ? ?
2

5 c. 3
2 2

2 ? ? 2 ? 5 2 2 ? 由已知,有 TF2 ? MF2 ? r 2 ,又 MF2 ? 2 2 ,故有 ? c ? c ? ? ? 0 ? c ? ? 8 ? c 2 ,解 3 ? ? 3 ? 9 ?

得 c2 ? 3 . 所以,所求椭圆的方程为 评析

x2 y 2 ? ?1. 6 3

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查

用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 20. (2014 新课标 1 理 4) 已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离
2 2

为( A. 3

) B .3 C. 3m D. 3m

【解析】 A 21. (2014 新课标 1 理 10) 已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个焦
2

点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =( A.

) C.
5 2

7 2

B. 3

D.2

【解析】 B 22. (2014 新课标 1 理 20) 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E : 直线 AF 的斜率为 ⑴求 E 的方程; ⑵设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 △OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【解析】 ⑴设 F ? c, 0 ? ,由条件知, 又
2 2 3 ? ,得 c ? 3 c 3

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点, 2 a b 2

2 3 , O 为坐标原点. 3

c 3 ? ,所以 a ? 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 a 2 x2 故 E 的方程为 ? y 2 ? 1 . 4 ⑵依题意设直线 l : y ? kx ? 2

将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 得 ?1 ? 4k 2 ? x2 ? 16kx ? 12 ? 0 4
8k ? 2 4k 2 ? 3 3 时, x1, 2 ? 4k 2 ? 1 4

当 ? ? 16 ? 4k 2 ? 3? ? 0 ,即 k 2 ? 从而 PQ ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 1
2

1 4 4k 2 ? 3 ,所以 △OPQ 的面积 S△OPQ ? d ? PQ ? 2 4k 2 ? 1 k2 ?1 4t 4 ? 设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S△OPQ ? 2 t ?4 t? 4 t 7 4 因为 t ? ≥ 4 ,当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ? 时等号成立,且满足 ? ? 0 2 t

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

所以当 △OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y ? ?

7 x?2. 2

23. (2014 新课标 1 文 4) x2 y 2 已知双曲线 2 ? ? 1(a>0) 的离心率为 2,则 a ? ( a 3 A.2 【解析】 D 由双曲线方程知 b 2 ? 3 , 从而 c2 ? a 2 ? 3 , 又e ? 2 , 因此 故选 D. 24. (2014 新课标 1 文 10) B.
6 2

) D.1

C.

5 2

c2 a2 ? 3 又a ? 0, 所以 a ? 1 , ? 2 ? 4, a2 a

已知抛物线 C:y 2 ? x 的焦点为 F,A( x0,y0 ) 是 C 上一点, AF ? A.1 B.2 C.4

5 x0 ,则 x0 ? ( 4 D.8



【解析】 A 由 y 2 ? x 得 2 p ? 1 ,即 p ?
1 1 ?1 ? ,因此焦点 F ? , 0 ? ,准线方程为 l : x ? ? ,设 A 点到准线的 2 4 ?4 ?
1 5 ? x0 ,解得 x0 ? 1 ,故选 A. 4 4

距离为 d ,由抛物线的定义可知 d ?| AF | ,从而 x0 ?

25. (2014 新课标 1 文 20) 已知点 P (2,2) ,圆 C : x2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A ,B 两点,线 段 AB 的中点为 M ,O 为坐标原点. ⑴求 M 的轨迹方程;
|OM |时,求 l 的方程及△ POM 的面积. ⑵当|OP|?

【解析】 ⑴ 圆 C 的方程可化为 x2 ? ? y ? 4? ? 16 ,所以圆心为 C ? 0 , 4? ,半径为 4.
2

设 M ? x , y ? ,则 CM ? ? x , y ? 4? , MP ? ? 2 ? x , 2 ? y ? .由题设知 CM ? MP ? 0 , 故 x ? 2 ? x ? ? ? y ? 4?? 2 ? y ? ? 0 ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 .
2 2

由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 .
2 2

⑵ 由⑴可知 M 的轨迹是以点 N ?1, 3? 为圆心, 2 为半径的圆. 由于 | OP |?| OM | ,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上
1 1 8 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为 ? ,故 l 的方程为 y ? ? x ? . 3 3 3

,从面 ON ? PM .

又 | OM |?| OP |? 2 2 , O 到 l 的距离为 所以 △POM 的面积为
16 . 5

4 10 4 10 , | PM |? , 5 5

26. (2014 新课标 2 理 10) 设 F 为抛物线 C∶y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A, B 两点, O 为坐标原 点,则△OAB 的面积为( ) A.
3 3 4 9 3 8

B.

C.

63 32

D.

9 4

【解析】 D 27. (2014 新课标 2 理 16) 设点 M(x0, ,若在圆 O∶ x2 ? y 2 ? 1 上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的取值范围 1) 是_____. 【解析】 ? ?1 ? 1? 28. (2014 新课标 2 理 20 文 20)

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左,右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂 a 2 b2 直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N .
设 F1,F2 分别是椭圆 C :
3 ,求 C 的离心率; 4 ⑵若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1 N ,求 a,b .

⑴若直线 MN 的斜率为

? b2 ? 【解析】 ⑴根据 c ? a2 ? b2 及题设知 M ? c, ? , ? a ? 2 b ?0 3 直线 MN 的斜率为 a ? ? 2b2 ? 3ac . c ? ? ?c ? 4

将 b2 ? a 2 ? c 2 代入 2b 2 ? 3ac ,解得 故 C 的离心率为

c 1 c . ? , ? ?2 (舍去) a 2 a

1 . 2 ⑵由题意, 原点 O 为 F1 F2 的中点, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D ? 0 ? 2? 是线段 MF1 MF2 ∥ y 轴,

b2 ? 4 ,即 b 2 ? 4a . a 由 MN ? 5 F1 N 得 DF1 ? 2 F1 N .
的中点,故



3 ? ?2(?c ? x1 ) ? c ? ? x1 ? ? c 设 N ( x1,y1 ) ,由题意知 y1 ? 0 ,则 ? 即? 2 , ??2 y1 ? 2 ? ? y ? ? 1 ? 1

9c2 1 ? ?1. 4a2 b2 9(a2 ? 4a) 1 将① 及 c ? a2 ? b2 代入② 得 ? ? 1. 4a2 4a
代入 C 的方程,得 解得 a ? 7 , b2 ? 4a ? 28 ,故 a ? 7,b ? 2 7 .



29. (2014 新课标 2 文 10) 设 F 为抛物线 C∶y 2 ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A, B 两点, 则 AB ?( A. 【解析】 C
3 3? 3? ?3 ? 焦点 F 的坐标为 ? , 0 ? ,直线 AB 的斜率为 ,所以直线 AB 的方程为 y ? x? ?, ? 3 3 ? 4? ?4 ?



30 3

B. 6

C. 12

D. 7 3

即 y?

3 3 x? , 代 入 y 2 ? 3x , 得 3 4

y

B

1 2 7 x ? x? 3 2

3 ?0, 1 6 21 , 2

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 所以 | AB |? x1 ? x2 ?

O AF

x

3 21 3 ? ? ? 12 ,故选 C. 2 2 2

30. (2014 新课标 2 文 12) 设点 M ? x0 ? 1? , 若在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N , 使得 ?OMN ? 45 , 则 x0 的取值范围是 ( A. ? ?1 ? 1?
? 1 1? B. ? ? ? ? ? 2 2?



C. ? ?? 2 ?

2? ?

? 2 2? D. ? ? ? ? 2 ? ? 2

【解析】 A 解法一: 过 M 作圆 O 的两条切线 MA、 MB , 切点分别为 A、 B , 若在圆 O 上存在点 N , 使 ?OMN ? 45? , 则 ?OMB ≥ ?OMN ? 45? ,所以 ?AMB ≥ 90? ,所以 ?1 ≤ x0 ≤ 1 ,故选 A.

y

y

A

M B O N x
N P O

M

x

解法二:过 O 作 OP ? MN 于 P ,则 | OP |?| OM | sin 45? ≤1 ,
2 ∴ | OM |≤ 2 ,即 x0 ?1 ≤ 2 ,
2 ∴ x0 ≤1 ,即 ?1 ≤ x0 ≤ 1 ,故选 A.

31. (2014 浙江理 16 文 17) 设直线 x ? 3 y ? m ? 0( m ? 0)与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 ? b> 0) 的两条渐近线分别交于点 a2 b2 A, B ,若点 P(m, 0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是__________.

【解析】

5 2 ?x ? 3y ? m ? 0, bm ? ? am ? , 得 A? b ? ?, 3 b ? a 3 b ?a? y? x ? ? a ?

?x ? 3y ? m ? 0, ? a2 m 3b2 m ? am bm ? ? ? B ? , , M , 由? 得 则线段 的中点为 AB b ? 2 ?. ? ? 2 9b2 ? a 2 ? y?? x ? 3b ? a 3b ? a ? ? 9b ? a ? a ?
5 5 ?e ? 由题意得 PM ? AB , . ? kPM ? ?3, 得 a2 ? 4b2 ? 4c2 ? 4a2 , 故 e 2 ? , 4 2 32. (2014 浙江理 21) x2 y 2 如图,设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a>b> 0) ,动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ,且点 P 在第一 a b 象限. b k 表示点 P 的坐标; ⑴已知直线 l 的斜率为 k ,用 a,,

⑵若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .
y l1

P

O

l

x

【解析】 ⑴设直线 l(第21题图) 的方程为 y ? kx ? m ? k ? 0? ,
? y ? kx ? m , ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 b2 ? a2 k 2 x2 ? 2a2 kmx ? a2m2 ? a2b2 ? 0 . ? ? 1 ? 2 b2 ?a

?

?

由于 l 与 C 只有一个公共点,故 ? ? 0 ,即 b2 ? m2 ? a 2 k 2 ? 0 ,

? a 2 km b2 m ? 解得点 P 的坐标为 ? ? 2 , ?. 2 2 b2 ? a 2 k 2 ? ? b ?a k
? ?a 2 k ? b2 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 P ? , ?. 2 2 2 2 2 2 b ?a k ? ? b ?a k

⑵由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x ? ky ? 0 ,
?a 2 k b2 ? a 2 k 2 ? b2 k b2 ? a 2 k 2

所以点 P 到直线 l1 的距离 d ? 整理得 d ? ?
a 2 ? b2

1? k2



b2 b ?a ?a k ? 2 k
2 2 2 2



因为 a2 k 2 ?

b2 ≥ 2ab ,所以 k2

a 2 ? b2 b2 b ?a ?a k ? 2 k
2 2 2 2



a 2 ? b2 b2 ? a 2 ? 2ab

? a ?b ,

b 时等号成立. a 所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .

当且仅当 k 2 ?

评析 本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力. 33. (2014 浙江文 5) 已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦的长度为 4, 则实数 a 的值是 ( ) A. ?2 【解析】 B B. ?4
2 2

C. ? 6

D. ?8

将圆的方程化为标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ? a ,所以圆心为 ? ?1 , 1? ,半径 r ? 2 ? a , 圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?
a ? ?4 ,故选 B.

| ?1 ? 1 ? 2 | 2

? 2 ,故 r 2 ? d 2 ? 4 ,即 2 ? a ? 2 ? 4 ,所以

34. (2014 浙江文 22) 已知 △ ABP 的三个顶点都在抛物线 C : x 2 ? 4 y 上, F 为抛物线 C 的 uuu r uuur 焦点,点 M 为 AB 的中点, PF ? 3FM . uuu r ⑴若 PF ? 3 ,求点 M 的坐标; ⑵求 △ ABP 的面积的最大值. 【解析】 ⑴由题意知焦点 F ? 0 , 1? ,准线方程为 y ? ?1 . 设 P ? x0 , y0 ? ,由抛物线定义知 | PF |? y0 ? 1 ,得 y0 ? 2 , 所以 P 2 2 , 2 或 P ?2 2 , 2 .
? 2 2 2? ?2 2 2? 同 PF ? 3FM 上,分别得 M ? ? ,或 M ? . , ? ? ? ? 3 , 3? ? 3 3? ? ? ? ⑵ 设 直线 AB 的 方 程为 y ? kx ? m , 点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
P ? x0 , y0 ? .
B M F

y

P

O

A

x

?

?

?

?

(第22题图)

y P B M F x

O A

? y ? kx ? m, 由? 2 得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 , x ? 4 y ?

于是 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4m , 所以 AB 中点 M 的坐标为 ? 2k , 2k 2 ? m? . 由 PF ? 3FM ,得 ? ?x0 , 1 ? y0 ? ? 3? 2k , 2k 2 ? m ? 1? ,
? 1 4 ? x0 ? ?6k , 2 所以 ? 由 x0 ? 4 y0 得 k 2 ? ? m ? . 2 5 15 ? ? y0 ? 4 ? 6k ? 3m, 1 4 由 ? ? 0 , k 2 ≥ 0 ,得 ? ? m ≤ . 3 3

又因为 | AB |? 4 1 ? k 2 ? k 2 ? m , 点 F ? 0 , 1? 到直线 AB 的距离为 d ?
| m ? 1| 1? k2


3m3 ? 5m 2 ? m ? 1

所以 S△ ABP ? 4S△ ABF ? 8 | m ? 1| k 2 ? m ?

16 15

4? ? 1 记 f ? m ? ? 3m3 ? 5m 2 ? m ? 1? ? ? m ≤ ? . 3 3? ?

1 , m2 ? 1 . 9 4? ? 1 1? ?1 ? ? 可得 f ? m ? 在 ? ? , ? 上是增函数,在 ? , 1? 上是减函数,在 ? 1 , ? 上是增函数. 3? ? 3 9? ?9 ? ?

令 f ? ? m? ? 9m2 ? 10m ? 1 ? 0 ,解得 m1 ?

? 1 ? 256 ?4? ? f ? ?, 又 f ? ?? ? 9 ? 243 ?3?

所以,当 m ?

55 1 256 时, f ? m ? 取到最大值 ,此时 k ? ? . 15 9 243

所以, △ABP 面积的最大值为 35. (2014 重庆理 8)

256 5 . 135

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 a 2 b2 9 ) PF1 ? PF2 ? 3b , PF1 ? PF2 ? ab ,则该双曲线的离心率为( 4 4 5 9 A. B. C. D. 3 3 4 3 【解析】 B 36. (2014 重庆理 13) 2 2 B 两点,且 △ ABC 已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 4 相交于 A,
设 F1, F2 分别为双曲线 为等边三角形,则实数 a ? _________. 【解析】 4 ? 15 37. (2014 重庆理 21) x2 y 2 如图,设椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1, 点 D 在椭圆上, DF1 ? F1 F2 , F2, a b F1 F2 2 ? 2 2 , △DF1F2 的面积为 . 2 DF1 ⑴求该椭圆的标准方程; ⑵设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互 垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.

y

F1 D

O

F2

x

【解析】 ⑴设 F1 ? ?c ? 0? ? F2 ? c ? 0? ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 . 由
F1 F2 DF1 ? 2 2 得 DF1 ?
F1 F2 2 2 ? 2 c. 2

从而 S△ DF1F2 ? 从而 DF1 ?

1 2 2 2 DF1 F1 F2 ? c ? ,故 c ? 1 . 2 2 2

3 2 2 9 2 2 2 ,由 DF1 ? F1 F2 得 DF2 ? DF1 ? F1 F2 ? ,因此 DF2 ? . 2 2 2

所以 2a ? DF1 ? DF2 ? 2 2 ,故 a ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 1 . 因此,所求椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

⑵如答(21)图.设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

x2 y1 ?, P2 ? x2, y2 ? 是两个 ? y 2 ? 1 相交, P 1 ? x1, 2 交点, y1 ? 0 , y2 ? 0 , F1 P F2 P2 是圆 C 的切线,且 F1 P 1 ? F2 P 2. 1,
由圆和椭圆的对称性,易知 x2 ? ? x1, y1 ? y2, PP 1 2 ? 2 x1 .
y

C

P1 F1 D

O F2

P2 x

答(21)图

由⑴ 知 F1 ? ?1 , 0?, F2 ?1 , 0? ,所以 F1P , y1 ?, F2 P , y1 ? . 1 ? ? x1 ? 1 2 ? ? ? x1 ? 1
2 再由 F1 P 1 ? F2 P 2 得 ? ? x1 ? 1? ? y1 ? 0 . 2

由椭圆方程得 1 ?

x12 2 4 ? ? x1 ? 1? ,即 3x12 ? 4 x1 ? 0 .解得 x1 ? ? 或 x1 ? 0 . 2 3

当 x1 ? 0 时, P P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 1,
4 当 x1 ? ? 时,过 P F2 P2 垂直的直线的交点即为圆心 C . P2 分别与 F1 P 1, 1, 3 F2 P2 是圆心 C 的切线,且 F1 P 由 F1 P 1, 1 ? F2 P 2 ,知 CP 1 ? CP 2.
C 的半径 CP 又 CP 1 ? 1 ? CP 2 ,故圆

2 4 2 P 2 x1 ? . 1P 2 ? 2 3

38. (2014 重庆文 8)

设 F1,F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 ? b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 a 2 b2 (| PF1 | ? | PF2 |)2 ? b2 ? 3ab ,则该双曲线的离心率为()

A. 2 B. 15 C.4 D. 17 【解析】 D 39. (2014 重庆文 14) B 两点,且 已 知 直 线 x ? y ? a ? 0 与 圆 心 为 C 的 圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相 交 于 A,
AC ? BC ,则实数 a 的值为_________.

【解析】 0或6 40. (2014 重庆文 21) x2 y 2 如图,设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1, F2 ,点 D 在椭圆上, DF1 ? F1 F2 , a b
| F1 F2 | 2 ? 2 2 , △DF1F2 的面积为 . | DF1 | 2

⑴求该椭圆的标准方程; ⑵是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处 的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理 由.
y

F1 D

O

F2

x

【解析】 ⑴设 F1 ? ?c, 其中 c 2 ? a 2 ? b 2 . 0?, F2 ? c, 0?, 由
F1 F2 DF1 ? 2 2 得 DF1 ?
F1 F2 2 2 ? 2 c. 2

从而 S△ DF1F2 ? 从而 DF1 ?

1 2 2 2 DF1 F1 F2 ? c ? , 故 c ?1. 2 2 2

2 , 2

3 2 9 2 2 2 由 DF1 ? F1 F2 得 DF2 ? DF1 ? F1F2 ? , 因此 DF2 ? . 2 2

所以 2a ? DF1 ? DF2 ? 2 2 ,故 a ? 2 ? b2 ? a2 ? c2 ? 1.

x2 ? y2 ? 1 . 2 x2 ⑵如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 ? y 2 ? 1 相交. 2 y2 ? 0 . P y1 ?, P2 ? x2, y2 ? 是两个交点, y1 ? 0, 1 ? x1,
因此,所求椭圆的标准方程为
F1 P F2 P2 是圆 C 的切线,且 F1 P y1 ? y2 . 1, 1 ? F2 P 2 ,由圆和椭圆的对称性, x2 ? ? x1,

y

C

P1 F1 D

O F2

P2 x

答(21)图

由⑴ 知 F1 ? ?1 所以 F1P , 0?, F2 ?1 , 0?, , y1 ?, F2 P , y1 ? . 1 ? ? x1 ? 1 2 ? ? ? x1 ? 1
2 再由 F1 P 1 ? F2 P 2 得 ?? x 1 ? 1? ? y1 ? 0 . 2

由椭圆方程得 1 ?

x12 2 4 ? ? x1 ? 1? , 即 3x12 ? 4 x1 ? 0 .解得 x1 ? ? 或x1 ? 0 . 2 3

当 x1 ? 0 时. P P2 重合,题设要求的圆不存在. 1,
4 当 x1 ? ? 时,过 P F2 P2 垂直的直线的交点即为圆心 C . P2 分别与 F1 P 1, 1, 3 y1 ? y0 y 1 5 ? 1 ? ?1 .而 y1 ? x1 ? 1 ? ,故 y0 ? . 设 C ? 0, y0 ? .由 CP 1 ? F 1P 1 ,得 x1 x1 ? 1 3 3

? ? ? 圆 C 的半径 CP 1 ? ?? ? ? ?

? 4? ? 3?

2

?1 5? ? 3 3?

2

4 2 . 3
2

5 ? 32 ? 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x 2 ? ? y ? ? ? . 3? 9 ?


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