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浙江省杭州市2015年高考数学模拟命题比赛28数学(文科)卷


2015 年高考模拟试卷

数学(文科)卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式: 球的表面积公式 柱体的体积公式 V= Sh 2 S=4 ?R 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱 球的体积公式 体的高 4 3 台体的体积公式 V=

?R 1 3 V= h(S 1 + S 1S 2 + S 2 ) 3 其中 R 表示球的半径 其中 S 1, S 2 分别表示台体的上、下底 锥体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h表 示锥体的高
1 3

面积, h 表示台体的高 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

选择题部分 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {0,2,4} ,则 A 的子集中含有元素 2 的子集共有 [原创] (A)2 个
2

(B)6 个

(C)4 个

(D)8 个

2.已知 a ? R ,则“ a ? 2a ”是“ a ? 2 ”成立的 [原创] (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要 3.已知 m, n 是不同的两条直线, ? , ? 是不同的两个平面,则下列命题中不正确 的 ... 是 [原创] (A)若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? (C)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? (B)若 m ∥? , ? ? ? n ,则 m∥n (D)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ?

4.若函数 f (x) (x∈R)是偶函数,函数 g (x) (x∈R)是奇函数,则 [根据浙江省考试院 2013 年 高考测试文科数学试卷第 4 题改编] (A)函数 f [g(x)]是奇函数 (C)函数 f (x)+g(x)是奇函数 5.函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 解析式是 [原创] (A) f (B)函数 g [f (x)]是奇函数 (D)函数 f (x) g(x)是奇函数

?
3

单位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合,则 y ? f ( x) 的

? x?

? cos(2 x ?

?
3

)

(B) f

? x?

? cos(2 x ?

?
6

)

1

(C) f

? x?

? cos(2 x ?

?
6

)
1 4

(D) f

? x?

? cos(2 x ?

?
3

)

6.若不等式 4 x 2 ? loga x ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则实数 a 的取值范围为 [根据 2014 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试(文史类)第 11 题改编] (A) [

1 ,1) 256

(B) (

1 ,1) 256

(C) (0,

1 ) 256

(D) (0,

1 ] 256

7.在 ?ABC 中,点 M 是 BC 的中点,若 ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ? 是 [原创] (A) 2 (B)

1 ,则 AM 的最小值 2
1 2

2 2

(C)

3 2

(D)

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, A(1,4) 是双曲线外一点, P 是双曲线右 8.已知 F 是双曲线 4 12 支上的动点,则 | PF | ? | PA | 的最小值为 [原创] (A) 8 (B) 9 (C) 13 (D) 4

非选择题部分 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 题每空 2 分,第 10,11,12 题每空 3 分,第 13,14, 15 题每空 4 分,共 36 分。 9.函数 y ? 3 sin x ? cos x 的最大值为 上的值域为 [原创] , 最小正周期为
3 3

, 在 x ? ?0,
3 2 2

? ?? ? 3? ?

10.已知某个几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则这个几
正视图

侧视图

何体的表面积为________ cm ,它的体积是 11.函数 f ( x) ? ( ) 为 为

2

cm [原创]
4
俯视图

3

;当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调递减区间 。[2015 届杭州地区七校高三期末模拟联考改编]

1 3

x ? 2 ? a x ?1

。当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间

(第 10 题)

12. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ?

则数列 ?bn ? 的前 50 项和为______|— [——原创]

n an ,则 an 的通项公式为______,若 bn ? 2an an ?1 , n ?1
2 2

13. 设 m, n ? R ? ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 相切,则 mn 的取值范围是_____________[根据 2012 高考天津卷改编]

? x ? 4 y ? ?3 14. 设不等式组 ? ?3x ? 5 y ? 25 表示的平面区域为 M ,若直线 l : y ? k ( x ? 2) 上存在区域 ?x ? 1 ? 内的点,则 k 的取值范围是______。[根据长沙实验中学高三 2014 年上学期第一次模拟 M
考第 11 题改编] 15.已知函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的零点为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? , f ? x ? 的最小值

y0 ?? x1, x2 ? ,则函数 y ? f ? f ? x ?? 的零点个数是

。[根据杭高 2013 届高考模

拟测试数学(文科)试题卷第 10 题改编] 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题 15 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的解析式,最小值和最小正周期; (Ⅱ)已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,若向量

1 ,x?R 。 2

m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值。
[根据 2014 届高三年级漳州七校第二次联考数学(文)第 20 题改编]

17.(本题 15 分)单调递增数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 Sn ? (Ⅰ)求 a1 , a2 ,并求数列 {an } 的通项公式;

1 2 (an ? n) , 2

? 1 , ? 2 a ? 1 (Ⅱ)设 cn ? ? n?1 ? a ?3 ? 2 n?1 ? 1

n为奇数 n为偶数

,求数列 {cn } 的前 20 项和 T20 。

[根据江西省红色六校 2014 届 高 三 第 二 次 联 考 文 数 试 题 第 20 题 改编]

18.(本题 15 分)如图所示, ABCD 是边长为 a 的正方形, ?PBA 是以角 B 为直角的等 腰三角形, H 为 BD 上一点,且 AH ? 平面 PDB 。 (Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 APB ; C (Ⅱ)求直线 PC 与平面 PDB 所成角的余弦值。 [根据 2013 届浙江温州 22 中文科一模预测试题一第 20 题改编]

D H
B

P

A
第 20 题

19.(本题 15 分)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,且抛 物线 C1 上点 P 处的切线与圆 C2: x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q。 (Ⅰ)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)当正数 p 变化时,记 S1 ,S2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求 [2013 年 2 月海宁市高三期初测试试题卷(文科)第 22 题]
S1 的最小值。 S2 y

F

P

O Q 20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 1,其中 a ? R ,且 a ? 0 .
2

x

? ? ? 若 f ? x ? 的最小值为 ?1 ,求 a 的值; 第 21 题 ? ?? ? 求 y ? f ? x ? 在区间 ? ? 0, a ? ? 上的最大值; ? ??? ? 若方程 f ? x ? ? x ? 1 在区间 ? 0, ?? ? 有两个不相等实根,求 a 的取值范围.
[绍兴市 2014-2015 学年高三第一学期期末教学质量调测(文科)第 20 题]

2015 年高考模拟试卷

数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 题号 选项 1 2 3 4 5 6 7 8

C

B

B

D

C

A

D

B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 9.__2__ 11. ?2,??? __ 2? __ __ ?1,2? __ 12. 10. 100? 8 13 72

??1,2?
15. 2 或 3

100 51

13.

3? 2 2

2 22 [ , ] 14. 7 15

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题 15 分)本题主要考查正、余弦定理及三角函数的性质等基础知识,同时考查运算 求解能力。 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2
??????????????4 分 ????????????7 分 即 sin(2C ?

? sin(2 x ? ) ? 1 6 ∴ f ( x) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ?
(Ⅱ)∵ ∵ ∵

?

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , 6

?

?
6

) ?1
??9 分

0?C ?? ,?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? ? ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? 6 6 2 3

m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0

由正弦定理

a b , 得 b ? 2a, ? sin A sin B

①??????????? ??11 分

∵ c ? 3 ,由余弦定理 ,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 解方程组①②,得 ?

?
3

, ②????????13 分

?a ? 3 。 ?b ? 2 3

????????????????15 分

17. (本题 15 分)本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式 等基础知识,同时考查运算求解能力。 解: (Ⅰ) n ? 1 时, a1 ?

1 2 (a1 ? 1) 2

得 a1 ? 1 ?????????? ??2 分 得 a2

n ? 2 时, s2 ?

1 2 ( a 2 ? 2) 2
1 2 (an ?1 ? n ? 1) 2

?2

当 n ? 2 时, Sn ?1 ?

得 an ?

1 2 2 (an ? an?1 ? 1) 2

2 化为 (an ?1)2 ? an ?1 ? 0

又因为 ?an ? 单调递增数列,故 an ? an?1 ? 1

an ? an?1 ? 1 或 an ? an?1 ? 1 ( n ? 2 ) ????????? ??5 分
???????? ??7 分

所以 ?an ? 是首项是 1,公差为 1 的等差数列, an ? n

? 1 , n为奇数, ? 2 (Ⅱ) cn ? ? an?1 ? 1 ? a ?3 ? 2 n?1 ? 1 n为偶数

T2n ? [

1
2

2 ?1 4 ?1
?

?

1
2

?

?

] ? 3(21 ? 23 ? (20) ? 1
2

1

? 219 ) ? 10 ??? ??9 分



1 1 ? ? 1? 3 3 ? 5

1 2(1 ? 410 ) ? 3? ? 10 19 ? 21 1? 4

??? ??11 分

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ) ? 2(410 ? 1) ? 10 ??? ??13 分 2 1 3 3 5 19 21 10 21 178 = ????????15 分 ? 2 ? 8 ? 221 ? 21 21
= 18. (本题 15 分)本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考 查空间想象能力和推理论证能力。 解:(Ⅰ)

AH ? 平面 PBD, PB ? 平面 PBD , ? AH ? PB ,

????3 分

又 PB ? AB, AH

AB ? A ,

C

? PB ? 平面 ABCD ???????6 分 而 PB ? 平面 ABCD ,? 平面 ABCD ? 平面 APB . ????? 7
分 (Ⅱ)连结 CH

D H B
A
第 20 题

ABCD 是正方形且 AH ? BD ,

P

?C, H , A 三点共线,且 H 为 AC , BD 的中点,
由 AH ? 平面 PBD 知 CH ? 平面 PBD ,??????10 分 ?PH 就是 PC 在平面 PBD 内的射影 ??CPH 就是直线 PC 与平面 PBD 所成的角。 ?????11 分

2 6 a, PH ? a ,?????13 分 2 2 CH 3 ??CPH ? 300 ???????14 分 ? tan ?CPH ? ? PH 3
在 Rt ?CHP 中, CH ?

? cos ?CPH ?

3 3 即直线 PC 与平面 PDB 所成角的余弦值为 ???15 分 2 2

19. (本题 15 分)本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系,同时考查解析 几何的基本思想方法和运算求解能力。 解: (Ⅰ)设点 P ( x 0 ,
2 x0 x2 x ) ,由 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 得, y ? ,求导 y ' ? , ?????2 分 2p 2p p

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以

x0 x2 ? 1 且 x 0 ? 0 ? 2 ? 0 ,解得 p ? 2 2 , p 2p

所以抛物线 C1 的方程为 x 2 ? 4 2 y 。 (Ⅱ)因为点 P 处的切线方程为: y ?

????? 5 分
2 x0 x 2 ? 0 ( x ? x 0 ) ,即 2 x0 x ? 2 py ? x0 ? 0 ,?? 6 分 2p p

根据切线又与圆切,得 d ? r ,即

2 ? x0 2 4 x0

? 4p

2

4 2 ? 1 ,化简得 x0 ? 4 x0 ? 4p2 ,

??7 分

2 ?2 x 0 x ? 2 py ? x 0 ?0 2 ? 2 4 ? x0 ), 由方程组 ? x 2 ? y 2 ? 1 ,解得 Q( , x0 2p ? x 4 ?4 x 2 ? 4 p 2 ? 0 0 ? 0
2 x0

?????9 分

所以 PQ ? 1 ? k 2 x P ? x Q ? 1 ?

p2

x0 ?

2 ? x0

2 2 p 2 ? x0 x0 ?2 , p x0

2 ? p 2 ? x0 1 p 2 ? x0 ? p2 , 点 F (0, ) 到切线 PQ 的距离是 d ? 2 2 2 2 4 x0 ? 4 p

1 1 所以 S1 ? PQ ? d ? ? 2 2
S2 ? 1 p OF xQ ? , 2 2 x0

2 2 2 p 2 ? x0 x0 ?2 1 x 2 ? p 2 x0 ?2 2 ? x0 ? p2 ? 0 , p x0 2 4p x0

?????11 分

4 2 4 2 而由 x0 ? 4 x0 ? 4 p 2 知, 4 p 2 ? x0 ? 4 x0 ? 0 ,得 x0 ? 2 ,

所以

2 2 2 2 2 4 2 2 ? p 2 x0 ? 2 2 x0 ( x0 ? p 2 )( x0 ? 2) (4 x0 ? x0 ? 4 x0 )( x0 ? 2) S1 x0 ? ? ? ? 2 4 2 S2 4p x0 p 2p 2( x0 ? 4 x0 )

?

2 2 2 x2 ? 4 x0 ( x0 ? 2) x0 ?4 4 4 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 3 ,当且仅当 0 时取“=”号,即 2 2 2 2( x0 ? 4) x0 ? 4 x0 ? 4

2 x0 ? 4 ? 2 2 ,此时, p ? 2 ? 2 2 ,所以

S1 的最小值为 3 ? 2 2 。?????15 分[ S2


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