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第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案ABC卷


第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.下列四个结论: ⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.下面列举

的图形一定是平面图形的是( ) A.有一个角是直角的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 3.垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 4.如右图所示,正三棱锥 V ? ABC (顶点在底面的射影 是底面正三角形的中心) 中,D, E, F 分别是 VC,VA, AC 的中点, P 为 VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的 角的大小是( ) A. 30 0 B. 90 0 C. 60 0 D.随 P 点的变化而变化。 )个
A P B E F C D V

5.互不重合的三个平面最多可以把空间分成( 部分 A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

6. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最 大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 二、填空题
c // a , 1.已知 a , b 是两条异面直线, 那么 c 与 b 的位置关系__________________。



2.直线 l 与平面 ? 所成角为 30 0 ,l ? ? ? A, m ? ? , A ? m ,则 m 与 l 所成角的取值 范围是 _________

3.棱长为 1 的正四面体内有一点 P ,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为

d1 , d2 , d3 , d4 ,则 d1 ? d2 ? d3 ? d4 的值为



4.直二面角 ? - l - ? 的棱 l 上有一点 A ,在平面 ? , ? 内各有一条射线 AB , AC
1

与 l 成 450 , AB ? ? , AC ? ? ,则 ?BAC ?



5.下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; (2) 、平行于同一平面的两个平面平行; (3) 、垂直于同一直线的两直线平行; (4) 、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有_____________。 三、解答题 1.已知 E , F , G, H 为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 上 且 EH // FG .求证: EH // BD .
B F E A H D G C

的点,

2.自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的 平面角互补。

2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底 面)高为 4 ,体积为 16 ,则这个球的表面积是( ) A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 2. 已知在四面体 ABCD 中,E , F 分别是 AC , BD 的中点, 若 AB ? 2, CD ? 4, EF ? AB , 则 EF 与 CD 所成的角的度数为( ) A. 90 B. 45 C. 60 D. 30 7 3.三个平面把空间分成 部分时,它们的交线有( ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 1 条或 2 条 4.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,底面是边长为 2 的正方形,高为 4 ,则点 A1 到截 面 AB1D1 的距离为( A.
8 3

) B.
3 8

C.

4 3

D.

3 4

5.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a ,点 D 是 CC1 上任意一 点,连接 A1B, BD, A1D, AD ,则三棱锥 A ? A1BD 的体积为(
1 A. a 3 6



B.

3 3 a 12

C. )

3 3 a 6

D.

1 3 a 12

6.下列说法不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平 面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 二、填空题 1.正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。 2. 空间四边形 ABCD 中,E , F , G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 的中点, 则 BC 与 AD 的位置关系是 _____________ ;四边形 EFGH 是 __________ 形;当 ___________ 时 , 四 边 形 EFGH 是 菱 形 ; 当 ___________ 时 , 四 边 形 EFGH 是 矩 形 ; 当 ___________时,四边形 EFGH 是正方形 3.四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧 棱长为 5 的等腰三角形,则二面角 V ? AB ? C 的平面角为_____________。 4.三棱锥 P ? ABC, PA ? PB ? PC ? 73, AB ? 10, BC ? 8, CA ? 6, 则二面角
P ? AC ? B 的大小为____
3

5. P 为边长为 a 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA ? PB ? PC ? a ,则 P 到 AB 的距离为______。 三、解答题 1.已知直线 b // c ,且直线 a 与 b, c 都相交,求证:直线 a, b, c 共面。

2.求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直;

3. 如图: S 是平行四边形 ABCD 平面外一
, BD 点 , M,N 分 别 是 S A 上的点,且
AM BN = , SM ND

求证: MN // 平面 SBC

4

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ?, n//?,则 m ? n ③若 m , n// //n // ? ?,则 m ②若 ? / /?, ? / /? , m ? ?,则 m ? ? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 2.若长方体的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体体对角线长为( A. a2 ? b2 ? c2
1 B. a 2 ? b 2 ? c 2 2



C.

2 a 2 ? b2 ? c2 2

D.

3 2 a ? b2 ? c2 2

3. 在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? 底面 BCD, BD ? DC, BD ? DC, AC ? a, ?ABC ? 300 , 则点 C 到平面 ABD 的距离是( A.
5 a 5

) C.
3 a 5

B.

15 a 5

D.

15 a 3

4.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,若 E 是 AC 1 1 的中点,则直线 CE 垂直于( A. AC B. BD C. A1D D. A1D1



5.三棱锥 P ? ABC 的高为 PH ,若三个侧面两两垂直,则 H 为△ ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 6.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2 ,其余各棱长都为 1 ,则二面角
A ? CD ? B 的余弦值为(




3 3

A.

1 2

B.

1 3

C.

D.

2 3

7. 四面体 S ? ABC 中, 各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( A. 90 0 二、填空题 1.点 A, B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm ,则线段 AB 的中点 M 到 ? 平面的 距离为_________________. B. 60 0 C. 450 D. 30 0 )

5

2.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数 为_______。 3. 一条直线和一个平面所成的角为 60 0 , 则此直线和平面内不经过斜足的所有直 线所成的角中最大的角是____________. 4.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12 ,底面对角 线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于_____。 5 .在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, AB ? 4, PA? 8,过 A 作与 PB, PC 分别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长 的最小值是________ 三、解答题 1.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点.求证:平面 MBD ? 平面 BDC . 2.求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 3.在三棱锥 S ? ABC 中, △ ABC 是边长为 4 的正三 角形,平面 SAC ? 平面 ABC, SA ? SC ? 2 3 , M 、
N 分别为 AB, SB 的中点。

(Ⅰ)证明: AC ⊥ SB ; (Ⅱ)求二面角 N - CM - B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离。

6

第二章

点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组]

一、选择题 1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 则这条直线也可在这个 平面内 2. D 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对 角线翻折; 对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻 折的过程中,某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形 3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系 4.B 连 接 VF, BF , 则 AC 垂 直 于 平 面 VBF , 即 A C ? P F, 而 DE // AC ,

? DE ? PF 5.D 八卦图 可以想象为两个平面垂直相交, 第三个平面与它们的交线再垂直 相交 6.C 当三棱锥 D ? ABC 体积最大时,平面 DAC ? ABC ,取 AC 的中点 O ,

则△ DBO 是等要直角三角形,即 ?DBO ? 450 二、填空题 1.异面或相交
0 0 2. ? ?30 ,90 ? ?

就是不可能平行 直线 l 与平面 ? 所成的 30 0 的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在

? 内适当旋转就可以得到 l ? m ,即 m 与 l 所成角的的最大值为
90 0

3.

6 3

6 1 3 1 3 ? (d1 ? d2 ? d3 ? d4 ) ? ? ? h, 而 h ? 作等积变换: ? 3 3 4 3 4

4. 60 0 或 1200

不妨固定 AB ,则 AC 有两种可能

5. 2 对于(1) 、平行于同一直线的两个平面平行,反例为:把一支笔放在打开 的课本之间; (2)是对的; (3)是错的; (4)是对的 三、解答题
EH ? BCD ? ? 1.证明: FG ? BCD ? ? EH // BCD, BD ? BCD ? EH // BD EH // FG ? ?

2.略 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.C 正四棱柱的底面积为 4 ,正四棱柱的底面的边长为 2 ,正四棱柱的底面的
7

对角线为 2 2 ,正四棱柱的对角线为 2 6 ,而球的直径等于正四棱柱的 对角线,即 2R ? 2 6 , R ? 6, S球 ? 4? R2 ? 24? 2.D
? FG , EF 与 CD 所 成 的 角 取 BC 的 中 点 G , 则 E G ? 1, F G? 2 , E F 则

?EFG ? 300

3.C 此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线
1 1 4.C 利用三棱锥 A1 ? AB1D1 的体积变换:VA1 ? AB1D1 ? VA? A1B1D1 ,则 ? 2 ? 4 ? ? 6 ? h 3 3

5.B

VA? A1BD ? VD ? A1BA

1 1 a2 3a 3a 2 ? Sh ? ? ? ? 3 3 2 2 12

6. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就 明确了 二、填空题 1. 27 分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分 2.异面直线;平行四边形; BD ? AC ; BD ? AC ; BD ? AC 且 BD ? AC 3. 60 0 4. 60 0 5.
3a 2

注意 P 在底面的射影是斜边的中点

三、解答题 1.证明:? b // c ,? 不妨设 b, c 共面于平面 ? ,设 a ? b ? A, a ? c ? B
? A ? a, B ? a, A ?? , B ?? ,即 a ? ? ,所以三线共面

2.提示:反证法 3.略 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练 C 组] 一、选择题 // ? ?,则 m 1. A ③若 m , n// ,而同平行同一个平面的两条直线有三种 //n 位置关系 ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ,而同垂直于同一个平面的两个平面也可以 相交 2.C
2 设同一顶点的三条棱分别为 x, y , z ,则 x2 ? y2 ? a2 , y2 ? z2 ? b2 , x2 ? z2 ? c

8

1 1 2 2 2 2 2 2 2 得 x 2 ? y 2 ? z 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ,则对角线长为 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 2 2

3.B 4.B 5.C 6.C

作等积变换 VA?BCD ? VC ? ABD
BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影 BC ? PA ? BC ? AH

1 2 3 取 AC 的中点 E ,取 CD 的中点 F , EF ? , BE ? , BF ? 2 2 2
cos ? ? EF 3 ? BF 3
a 2 ,在△ SFC 中,EF ? a ,?EFG ? 450 2 2

7.C

取 SB 的中点 G ,则 GE ?GF ?

二、填空题 1. 5cm 或 1cm 2. 48 3. 90 0 5. 11 分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况

每个表面有 4 个,共 6 ? 4 个;每个对角面有 4 个,共 6 ? 4 个 垂直时最大 4. 30 0 底面边长为 2 3 ,高为 1 , tan ? ?
1 3

沿着 PA 将正三棱锥 P ? ABC 侧面展开,则 A, D, E, A' 共线,且 AA' // BC

三、解答题:略 xkb1.com 新课标第一网

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