当前位置:首页 >> 数学 >>

2012年海淀区高三一模数学理科(1)


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(理科) 2012.04 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1、已知集合 A = {x x > 1}, B = {x x < m},且 A ? B = R ,那么 m 的值可以是 (A) - 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

/>2、在等比数列 {an } 中, a1 = 8,a4 = a3a5 ,则 a7 = (A)

1 16

(B)

1 8

(C)

1 4

(D)

1 2

3、在极坐标系中,过点 (2, (A) ? sin ? = - 2 (C) ? sin ? = 2

3? ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 2
(B) ? cos ? = - 2 (D) ? cos ? = 2

, 4、已知向量 a =(1,x),b=( - 1 x) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ?
(A) 2 (B) 3 (C)2 (D)4

5、执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

6、从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列,则甲不在排头的排法种数是 (A)12 (B)24 (C)36 (D)48

?? x2 ? ax, x ? 1, 7、已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围 x ? 1, ?ax ? 1,
是 (A) a < 2 (B) a > 2 (C) - 2 < a < 2 (D) a > 2 或 a < - 2
B A C D

8、在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中,若点 P (异于点 B )是棱上一点,则满足

BP 与 AC ' 所成的角为 45° 的点 P 的个数为
(A)0 (B)3 (C)4 (D)6
B'

A' C'

D'

高三数学(理科)试题第 1 页 (共 10 页)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. 9、复数

a + 2i 在复平面内所对应的点在虚轴上,那么实数 a = 1- i

.

10、过双曲线

x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 9 16
1 ? ,则 cos(2? + ) = 2 ?
.

.

11、若 tan ? =

12、设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ,其中 Q, P 分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性

EQ 大 EP

于 1(其中

EQ Q' =P , Q ' 是 Q 的导数) ,则商品价格 P 的取值范围是 EP Q

.

13、 如图, ?ABC 的边 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D , BC 以 交
C

于点 E ,
D E

EF ^ AB 于点 F , AF = 3BF , BE = 2 EC = 2 ,那么

?CDE =

, CD =

.
A F B

ì 1, x ? Q, ? 14、已知函数 f ( x) = ? í
(ⅰ) f ( f ( x)) =

? 0, x ? ?RQ, ? ?




(ⅱ)给出下列三个命题: ①函数 f ( x) 是偶函数; ②存在 xi ? R(i ③存在 xi ? R(i

1, 2,3) ,使得以点 ( xi , f ( xi ))(i = 1, 2,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形; 1, 2,3, 4) ,使得以点 ( xi , f ( xi ))(i = 1, 2,3, 4) 为顶点的四边形为菱形.
.

其中,所有真命题的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,且 A , B , C 成等差数列. (Ⅰ)若 b =

13 , a = 3 ,求 c 的值;

P

(Ⅱ)设 t ? sin A sin C ,求 t 的最大值.

A
高三数学(理科)试题第 2 页 (共 10 页)

D C

B

16、 (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ^ AD , AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 , PA ^ 平面

ABCD, PA = 4 . (Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ;
(Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为

PQ 3 ,求 的值. PB 3

17、 (本小题满分 13 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方

[20, 40) ,[40,60) ,[60,80) , 图 (如图) 其中, , 上学所需时间的范围是 [0,100] , 样本数据分组为 [0, 20) , [80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,请 估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的新生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学所需时间少 于 20 分钟的人数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中新 生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率) 18、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e
? kx

频率 /组距 0.025

x
0.0065 0.003

O

20

40

60

80

100

时间

1 ( x 2 ? x ? ) (k ? 0) . k

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理 由.
?2

高三数学(理科)试题第 3 页 (共 10 页)

19、 (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1 (?1,0) , P 为椭圆 G 的上顶 点,且 ?PFO ? 45? . 1 (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 : y ? kx ? m1 与椭圆 G 交于 A , B 两点,直线 l2 :
O x C y

l1 A

l2 D

y ? kx ? m2 ( m1 ? m2 )与椭圆 G 交于 C , D 两点,且 | AB |?| CD | ,
如图所示. (ⅰ)证明: m1 ? m2 ? 0 ; (ⅱ)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值. 20、 (本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ?

B

??1, x ? M , 对 于 两 个 集 合 M , N , 定 义 集 合 ?1, x ? M .

M ?N ? {x f M ( x) ? f N ( x) ? ?1} . 已知 A = {2, 4,6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} .
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A? B ; (Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小值; (Ⅲ)有多少个集合对(P,Q) ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ?

高三数学(理科)试题第 4 页 (共 10 页)

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 参考答案 一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题 号 答 案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 学(理科)

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9、 2 10、 4 x - 3 y - 20 = 0 11、 -

4 5

12、 (10, 20)

13、60° ,

3 13 13



14、 1

, ①③

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 A, B, C 成等差数列,所以 2B ? A ? C . 因为 A ? B ? C ? ? , 所以 B ? 因为 b =
2

? . 3

……………………………2 分

13 , a = 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,
………………………………………5 分 ………………………………………6 分

所以 c ? 3c ? 4 ? 0 . 所以 c ? 4 或 c ? ?1 (舍去). (Ⅱ)因为 A ? C ?

2 2? 3 1 ? ,所以 t ? sin A sin( ? A) ? sin A( cos A ? sin A) 3 3 2 2

?

1 1 ? 3 1 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ( ) ? ? sin(2 A ? ) . …………………………10 分 4 2 6 4 2 2
高三数学(理科)试题第 5 页 (共 10 页)

2? ? ? 7? ,所以 ? ? 2 A ? ? . 3 6 6 6 ? ? ? 3 所以当 2 A ? ? ,即 A ? 时, t 有最大值 .………………………13 分 4 6 2 3
因为 0 ? A ? 16、 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB . ………………………………………2 分

因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB ? 平面 PCD ? m , 所以 CD // m . ………………………………………4 分

(Ⅱ)证明:因为 AP ^ 平面 ABCD , AB ^ AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在的直线分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(4, 0, 0) , P(0, 0, 4) , D(0, 2 2,0) , C (2, 2 2,0) . …………………………………5 分 所以 BD ? (?4, 2 2,0) , AC ? (2, 2 2,0) ,

??? ?

??? ?

??? ? AP ? (0,0, 4) ,
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,

z P

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC ,
A C B x D y

PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC .
(Ⅲ)解:设

………………………………………9 分

PQ = ? (其中 0 #? PB ??? ? ??? ? 所以 PQ = ? PB .

1 ) Qxyz) , (, ,

,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .

所以 ( x, y, z - 4) = ? (4,0, - 4) .

ì x = 4? , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q(4? ,0, - 4? + 4) . ? ? z = - 4? + 4, ? ? ? ??? ? 所以 CQ = (4? - 2, - 2 2, - 4? + 4) . ……………………………11 分
由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4, 2 2,0) .………………12 分

??? ?

高三数学(理科)试题第 6 页 (共 10 页)

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CQ ×BD 因为 sin ? = cos < CQ, BD > = ??? ??? ,所以 ? ? CQ ×BD
解得 ? ?

3 ?4(4? ? 2) ? 8 . ? 3 2 6 ? (4? ? 2)2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2

7 PQ 7 ? [0,1] .所以 = . 12 PB 12

……………………………14 分

17、 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由直方图可得: 20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . ………………………………………2 分 所以 x = 0.0125 . (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , ………………4 分 因为 600 ? 0.12 ? 72 ,所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. ………6 分 (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4. ………………………………………7 分

由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为

1 , 4

81 ? 3? , P( X ? 0) ? ? ? ? ? 4 ? 256
2 2 2 4

4

? 1 ?? 3 ? 27 , P( X ? 1) ? C ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64
1 4 3

3

27 ?1? ?3? ?1? ?3? 3 , P( X ? 3) ? C3 ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64
1 ?1? . P( X ? 4) ? ? ? ? ? 4 ? 256
所以 X 的分布列为:
4

X P

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

………………………………………12 分

EX ? 0 ?

1 81 27 27 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 4 256 64 128 64 256
………………………………………13 分

所以 X 的数学期望为 1. 18、 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R .

1 f '( x) ? ?ke ? kx ( x 2 ? x ? ) ? e ? kx (2 x ? 1) ? e ? kx [?kx 2 ? (2 ? k ) x ? 2] , k
即 f '( x) ? ?e
? kx

(kx ? 2)( x ? 1) (k ? 0) .
2 . k

……………………………………2 分

令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 或 x ?

2x 2 当 k ? ?2 时, f '( x) ? 2e ( x ? 1) ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (- ? ,

) .……………3 分

当 ?2 ? k ? 0 时,
高三数学(理科)试题第 7 页 (共 10 页)

f ( x ) , f '( x) 随 x 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)

2 ( ??, ) k

2 k
0
极大值

2 ( , ?1) k
?

?1
0
极小值

( ?1, ??)

?
?

?
?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ) 和 ( ?1, ??) ,单调递减区间是 ( , ?1) .……5 分 当 k ? ?2 时,

f ( x ) , f '( x) 随 x 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)

( ??, ?1)

?1
0
极大值

2 ( ?1, ) k
?

2 k
0
极小值

2 ( , ?? ) k

?
?

?
?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?1) 和 ( , ?? ) ,单调递减区间是 ( ?1, ) . ………………………………………7 分
?2 (Ⅱ)当 k = - 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . 理由如下:

当 k ? ?2 时, f ( x ) 无极大值.

4 1 ? ), ……………8 分 k2 k 1 4 4 1 ?2 4 ?2 令 e ( 2 ? ) ? 3e ,即 2 ? ? 3, 解得 k ? ?1 或 k ? (舍).………………9 分 3 k k k k
当 ?2 ? k ? 0 时, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? e (
?2

2 k

ek 当 k ? ?2 时, f ( x ) 的极大值为 f (?1) ? ? . ………………………10 分 k
因为 e ? e , 0 ? ?
k ?2

1 1 ? , k 2

所以 ?

ek 1 ?2 ? e . k 2

因为

1 ?2 e ? 3e ?2 ,所以 f ( x ) 的极大值不可能等于 3e?2 .………………12 分 2
?2

综上所述,当 k ? ?1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . ………………………………………13 分 19、 (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设椭圆 G 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

高三数学(理科)试题第 8 页 (共 10 页)

因为 F1 (?1,0) , ?PFO ? 45? ,所以 b = c = 1.所以 a 2 = b2 + c 2 = 2 .………2 分 1 所以 椭圆 G 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………………………………3 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

? y ? kx ? m1 , ? 2 (ⅰ)证明:由 ? x 2 消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4km1x ? 2m1 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

4km1 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 , ? 2 则 ? ? 8(2k 2 ? m1 ? 1) ? 0 , ? 2 ? x x ? 2m1 ? 2 . ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 | AB |?

……………………5 分

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1 ? k 2 (?

4km1 2 2m2 ? 2 ) ? 4 ? 1 2 ? 2 2 1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k
2 2 2k 2 ? m2 ? 1 . 1 ? 2k 2

2k 2 ? m12 ? 1 . 1 ? 2k 2

同理 | CD |? 2 2 1 ? k

………………………………………7 分
2 2k 2 ? m2 ? 1 . 1 ? 2k 2

因为 | AB |?| CD | ,所以 2 2 1 ? k

2

2k 2 ? m12 ? 1 ? 2 2 1? k 2 2 1 ? 2k

因为 m1 ? m2 ,所以 m1 ? m2 ? 0 .

………………………………………9 分

( ⅱ ) 解 : 由 题 意 得 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 设 两 平 行 线 AB, CD 间 的 距 离 为 d , 则

d=

m1 - m2 1+ k 2

.

因为 m1 ? m2 ? 0 ,所以 d =

2m1 1+ k 2

.…………………………10 分

所以 S ?| AB | ?d ? 2 2 1 ? k 2

2k 2 ? m12 ? 1 2m1 ? 1 ? 2k 2 1? k2

2k 2 ? m12 ? 1 ? m12 (2k ? m ? 1)m 2 ?4 2 ?4 2 ?2 2 . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2 2 1 2 1

(或 S ? 4 2

(2k 2 ? 1) m12 ? m14 m12 1 1 ? 4 2 ?( ? )2 ? ? 2 2 ) 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 4
高三数学(理科)试题第 9 页 (共 10 页)

所以 当 2k 2 ? 1 ? 2m12 时, 四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为 2 2 . ………………………………………13 分 20、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= -1 , A?B ? {1,6,10,16} .……………………………3 分 (Ⅱ)根据题意可知:对于集合 C , X ,①若 a ? C 且 a ? X ,则 Card ( ?( ?{ }) ? C X a Card C X ) ? ; ( ? 1 ②若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ? {a}) ? Card (C?X ) ? 1. 所以 要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16 是否属于 X 不 影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素. 所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到最小值 4.………………8 分 (Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} ,所以 A?B ? B?A . 由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) . 所以 对任意元素 x , f( A?B) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) ,

f A?( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .
所以 f( A?B) ?C ( x) ? f A?( B?C ) ( x) .所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) .所以 P?Q?? ? ? . 所以 P?Q ? ? ,即 P = Q .因为 P, Q ? A ? B ,
7 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 2 ? 128 .……………………14 分

高三数学(理科)试题第 10 页 (共 10 页)


相关文章:
2012年北京海淀区高三一模数学理科试卷及答案
2012年北京海淀区高三一模数学理科试卷及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...题号 答案 (1) D (2) B (3) A (4) C (5) B 二.填空题:本大题...
2012年1月海淀区高三数学期末试题理科及答案
2012年1海淀区高三数学期末试题理科及答案_数学_高中教育_教育专区。2012届第一学期海淀期末数学理卷及答案海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科) 2012.01 ...
2012年北京市海淀区高三一模数学(理)试题Word版带答案
2012年北京市海淀区高三一模数学(理)试题Word版带答案_高三数学_数学_高中教育_...B = R ,那么 m 的值可以是 (A ) - 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2...
2012年海淀区高三一模数学理科(1)
2012年海淀区高三一模数学理科(1) 隐藏>> 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理科) 2012.04 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在...
2012年北京市海淀区高三数学(理科)一模试题及答案
教学质量有保证 www.szjjedu.com 2012 年北京市海淀区高三数学(理科)一模试题及答案本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, I 卷 1 至 2 页...
2012年北京市海淀区高三年级文科数学一模试题及参考答案
关键词:一模海淀数学文科高考 同系列文档 高一上学期数学知识点总结... 人教版...2012年北京市海淀区高三二... 7页 1财富值 北京市海淀区2012年高考二... ...
2012年海淀区高三一模数学理科
2012年海淀区高三一模数学理科2012年海淀区高三一模数学理科隐藏>> 理科) 北京海淀...(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ) 如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可...
2012北京海淀高考一模数学文(含解析)
2012北京海淀区高考一模... 12页 1下载券 2012年北京市海淀区高考... 4页 ...海淀区第二学期期中练习 高三数学试卷(文科)2012.04 一、选择题:本大题共 8...
2013届北京海淀区高三数学理科一模试题及答案 (1)
2013届北京海淀区高三数学理科一模试题及答案 (1)_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区 2013 届高三第一学期期末考试数学(理)试题 本试卷共 4 页,150 分。考...
更多相关标签:
2012海淀高三一模数学 | 2012海淀高三一模英语 | 2016海淀高三一模英语 | 2016海淀高三一模语文 | 2015海淀高三一模英语 | 2016海淀区高三一模 | 2013海淀高三一模英语 | 2016海淀高三一模数学 |