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2014-年福建省高一数学竞赛二次函数材料


高一年数学竞赛材料——二次函数培训题
类型一:二次函数根的分布问题
1. 若关于 x 的方程 3x ? 5 x ? a ? 0 的一根大于-2 而小于 0,另一根大于 1 小于 3,求 a 的取值范围。
2

2.已知 x ? ? , 2? , 求函数 y ? 2
2

?1 ?

>? ?

5x ? 2 的最小值。 (根的分布)P44 x

3.方程 x ? ax ? 2 ? 0 在区间 [1,5] 上有解,求 a 的取值范围。 4.已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ??1,1? 上有零点,求 a 的取 值范围。 5.设二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 (1)求实数 a 的取值范围; (2)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与 6. 已 知 函 数 f

1 的大小,并说明理由。 16

? x? ? log 3 ? 3x? a? , 当 点 P ? x, y? 在 函 数 y ? f ? x? 图 象 上 时 , 点 Q ? ? 3 x,
?

y? ? 在函数 2?

y ? g? x? 图象上
(1)求 y ? g ? x ? 的表达式; (2)若 A?x ?a ,y 1 ?,B x ? ,y
2

C , 3 ? ?

a ?, y

3

? 为 y ? g ? x? 图象上的三点,且满足 2 y2 ? y1 ? y3 的实数 x 有

且只有两个不同的值,求实数的 a 的取值范围.(根的分布)P42

类型二:二次函数最值问题
7.设 a ? R, f ? x ? ? a 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值记为 g ? a ? ,
2

(1)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并 f ? x ? 把表示成 t 的函数 m ? t ? ; (2)求 g ? a ? ; (3)试求满足 g ? a ? ? g ?
2

?1? ? 的所有实数 a 。(函数的最值)P44 ?a?

8.(2002 全国卷)设 a ? R, f ? x ? ? x ? x ? a ? 1, x ? R . (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值。(函数的最值)P53 9.若函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) ? x ? a ?1 的最小值大于 5,试求实数 a 的取值范围。(函数的最值)
2 2

1

类型三:与最值有关的恒成立,能成立问题
a ? f ? x ? 有解 ? a ? fmin ? x ? ; a ? f ? x ? 有解 ? a ? fmax ? x ? a ? f ? x ? 无解 ? a ? fmax ? x ? ; a ? f ? x ? 无解 ? a ? fmin ? x ? a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? fmax ? x ? ; a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? fmin ? x ?
10.当 x ? (1, 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,求则 m 的取值范围。
2

11.若不等式 x2 ? px ? 4x ? p ? 3 对一切 0 ? p ? 4 均成立,求实数 p 的取值范围.( 恒成立转换主元)P7 12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象经过点 (?2,0) ,且不等式 2 x ? f ( x) ?

1 2 x ? 2 对一切实数 2

x 都成立.
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若对一切 x ? [?1,1] ,不等式 f ( x ? t ) ? f ( ) 恒成立,求实数 t 的取值范围. 13.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R, a ? 0) 满足条件: (1)当 x ? R 时, f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ,且 f ( x) ? x ; (2)当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? ?

x 2

? x ?1 ? (3) f ( x ) 在 R 上的最小值为 0. ? ; ? 2 ?

2

求最大的 m ? m ? 1? ,使得存在 t ? R ,只要 x ??1, m ? ,就有 f ? x ? t ? ? x 。 14.设函数 f ( x) ? x x ? a ? b ,常数 b ? 2 2 ? 3 ,且对任意 x ? [0,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范 围。

类型四:与二次函数有关的不等式的证明问题
15.设 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0?
2

(1)若 f ? 0 ? ? 1, f ?1? ? 1, f ? ?1 ? ? 1 ,求证对于任意 x ? 1, 有 f ? x ? ?

5 4

(2)若 x ? 1时,有 f ? x ? ? 1 ,求证:当 x ? 1时, 2ax ? b ? 4 (P94 不等式的证明)
2 16.已知函数 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c(a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1,试求 a 的最大值。

17.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 [0,1] 上的函数值的绝对值不超过 1,求 a ? b ? c 的最大值。
2

类型五:综合题
2

18.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

? 0, 且 19. 设 二 次 函 数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b、c ? R) 与 x 轴 有 交 点 . 若 对 一 切 x ? R , 有 f ( x ? )

1 x

f(

2x2 ? 3 ) ? 1, 求 b、c 的值. x2 ? 1

2 2 20.已知 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? kx

(1)若 k ? 2 ,求方程 f ? x ? ? 0 的解; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? 0 在 ? 0, 2 ? 上有两个解 x1 , x2 ,求 k 的取值范围,并证明 函数综合题图像法) 课后练习 1.设 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 f ( x ) 在闭区间 [?2, 2] 上恒为非负数,求实数 a 的取值范围。 (根的分布, 图象法,最值法)
2 2.设不等式 2 x ? 1 ? m x ? 1 对一切 m ? 2 均成立,求实数 m 的取值范围.( 恒成立转换主元)P73

1 1 ? ? 4 (P95 x1 x2

?

?

3 .设函数 f ( x) ? ax2 ? 8 x ? 3( a ? 0),对于给定的负数 a ,有一个最大的正数 l (a) ,使得在整个区间

[0, l (a)] 上,不等式 f ( x) ? 5 都成立,问: a 为何值时, l (a) 最大?求出这个最大的 l (a) 。
4.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:如果对任意 x1 , x2 ? R ,都有 f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称函数 ?? 2 ? 2 ?

f ? x ? 是 R 上的下凸函数.已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? x ? a ? R, a ? 0? .
(1)求证:当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 是下凸函数; (2)如果 x ? ? 0,1? , f ? x ? ? 1 ,求实数 a 的范围.(恒成立)P23

3


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