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直线与圆的位置关系(1)


一、回忆旧知
1、点和圆的位置关系有几种?
(1)d<r (2)d=r (3)d>r 点在圆内 点在圆上 点 在圆外

2、“大漠孤烟直,长河落日圆” 是唐朝诗人王 维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景 象。如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一 条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象 一下,直线和圆的位置关系有几种?

你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?

a(地平线)
(1) (2) (3)

观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关 系是怎样的?

动手试一试
1.在纸上画一个圆,把笔看作直线, 移动笔。

你能发现直线与圆的公共点个数的变化 情况吗?公共点最少时有几个?最多时 又有几个?

新知探究一、 : 直线 与圆的位置关系
两个 公共点 1、如图1,直线与圆有_______ .O .c . 时,那么直线与圆________ 相交 。此时, F E 这条直线叫做________, 割线 这两个公共点 图1 叫做_______ 交点。 2、如图2,直线与圆只有______ .O 一个 公共 点时,那么直线与圆________ 相切 。此时, b . A 图2 这条直线叫做圆的_______ ,这个公共 切线 切点 点叫做_______ 。
没有 公共点,那 3、如图3,直线与圆_______ 么这条直线与圆_________ 相离 。
.O
a 图3

1、直线与圆相离、相切、相交的定义。

切点

切线

交点

交点

割线

相离

相切

相交

直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数 来定义的,即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、 有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。 思考:一条直线和一个圆,如果有公共点,那么公共 点能不能多于两个呢?

请你判断
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
(1) (2)
· O

(3) l
· O

l
· O

l 相离 (4) 相交 相切

· O

相交

l

1.直线外一点到这条直线 的 垂线段的长度叫点到直线 的距离。 .A
D

2、连结直线外一点与直线上所 有点的线段中,最短的是垂线段 ______.

a

2、用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系,

来揭示圆和直线的位置关系。
r o d l r o d l r o d l

(1)直线l 和⊙O相离 (2)直线l 和⊙O相切 (3)直线l 和⊙O相交

d>r d=r d<r

总结:
判定直线 与圆的位置关系的方法有____ 两 种:
直线与圆的公共点 (1)根据定义,由________________

的个数来判断; d与半径r (2)根据性质,由圆心到直线的距离 _________________ 的关系来判断。

在实际应用中,常采用第二种方法判定。

快速抢答
1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d : 2 个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____ 1 个公共点. 相切 , 直线与圆有____ 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 相离 , 直线与圆有____ 0 个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 ;

d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . 相交 3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 相离 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;

解决问题1: 设⊙O的半径为r,直线a上一点到圆心的
距离为d,若d=r,则直线a与⊙O的位置关系是( D ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相切或相交

解决问题2:已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交 点,则圆心到直线的距离d的取值范围是 d>5 . 解决问题3:直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到 直线l的距离为8,则r的取值范围是 r>8 .

解决问题4: 已知⊙A的直径为6,点A的坐标为
相离 Y (-3,-4),则X轴与⊙A的位置关系是_____, 相切 。 轴与⊙A的位置关系是______

思考:求圆心A到X轴、
Y轴的距离各是多少?
B

Y

O C

X

4
A.(-3,-4) 3

解决问题5: 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,
BC=4cm。以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位 置关系?为什么?(1)r=2cm (2)r=2.4cm (3)r=3cm
思考:图中线段AB的长度为多少? 怎样求圆心C到直线AB的距离? 解:圆心C到AB的距离d=2.4cm

(1)当r=2cm时有 , d>r, (2)当r=2.4cm 时有 , d=r, (3)当r=3cm 时, 有d<r, 因此⊙C和AB相离。 因此⊙C和AB相切。 因此⊙C和AB相交。 B B B 5 D D 4 2.4 2.4 2.4 D C A C A . C 3 A

方程 几何综合练习题
综合:设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是 方程(m+9)x2- (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切 时,求m的值? 析:直线与⊙O相切 解:由题意可得 b2-4ac= [-(m+6)]2-4(m+9)=0 d=r 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) b2-4ac=0 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 1 x1=x2= 3 [-(m+6)]2-4(m+9)=0 ∴ m=0

直线与圆的位置关系判定方法: 小结:
图形 直线与圆的 位置关系
.O r d ┐ l .o d r ┐ l .
A

. B

.O d r ┐ . lC

相离
0 d>r

相切
1 d=r

相交
2 d<r

公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系

公共点的名称 直线名称

切点
切线

交点
割线


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