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高一数学半期复习题(文科)


高一数学半期复习题(文科)
班级_____ 一、选择题: 1.已知数列 1, 3 , 5 ,… 2n ?1 ,…,则 21 是这个数列的( A.第 10 项 B.第 11 项 21 项 2.数列 1,3,7,15,…的通项公式 an 等于( ) A. 2 n B. 2 n ? 1 C. 2 n ? 1 C.第 12 项 ) D.第 姓名_____________ 成绩________

D. 2 n ?1 )

3.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于(
21 C. 28 D. 6 3 2 4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=35,则 a4=(

A. 12

B.

) D、5 ) D 、8 ) D、 ?8 ) D.a2>2b

A、8

B、 7
? ? ?2n ? 2 ? n ? 2k ,k ? N ? ,

C、6 ,则 a2 ? a3 等于( C、20

5.已知数列的通项公式 an ? ? ? A、70

?3n ? 1? n ? 2k ? 1,k ? N? ? ,

B、28

1 6.等比数列 {a n } 中, a a 3? , 9 ?8,则 a 5?a 6?a 7的值为( 2

A、64

B、 ?8

C、8

7.设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ( 1 1 1 1 A. ? B. ? C.a>b2 a b a b 8.在 ?ABC 中,若 3a ? 2b sin A ,则 B 等于( ) A. 30 ? B. 60 ? C. 30 ? 或 150?
? 2 3?

D. 60 ? 或 120? )

1 1? 9.若不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? ? x | ? ? x ? ? 则 a-b 值是(

A.-10 B.-14 C.10 D.14 10.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实 数成等比数 列,则 b2(a2-a1)等于( A.8 11.不等式
x ?1 ? 2 的解集为 x

) B.-8 C.±8 ( C. (??,?1] ) D. (??,?1] ? (0,??) ) D. 9 8

A. [?1,??)

B. [?1,0)

12.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是(

1

A.直角三角形

B.等边三角形

C.不能确定

D.等腰三角形

二、填空题: 13.在等差数列 51 、 47 、 43 ,……中,第一个负数项为第________项; 14.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。
? ? ? ?

? ? ? ? ? ? 15.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?



16.已知数列 ?an ? 满足 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ?? ? ? ?2n an ? 4n ?1 则 ?an ? 的通项公式 。

三.解答题: 17. 在等比数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列 {an } 的首 项、公比及前 n 项和. 解:设 ?an ? 的公比为 q.由已知可得
a1q ? a1 ? 2 , 4a1q ? 3a1 ? a1q 2 ,

所以 a1 (q ? 1) ? 2 , q 2 ? 4q ? 3 ? 0 ,解得 q ? 3 或 q ? 1 , 由于 a1 (q ? 1) ? 2 .因此 q ? 1 不合题意,应舍去, 故公比 q ? 3 ,首项 a1 ? 1 . 所以,数列的前 n 项和 S n ?
3n ? 1 2

18. 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x ?R). (1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值;
3 3 ?? ? (2) 若 f ? ? ? 2 sin A , 其中 A 是面积为 的锐角 ?ABC 的内角, 且 AB ? 2 , 2 ? 24 ? 求边 AC 和 BC 的长.

(1) 解: f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x
? sin 2 x ? cos 2 x

…… 2


? 2 ? 2 ? 2? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

……

4分 ∴ f ? x ? 的最小正周期为
2? ? ? , 最大值为 2 . 2
2

……

6分 (2)因为 f ( 即 f(
?
24 ) ? 2 sin A

?
24

) ? 2 sin

?
3

? 2 sin A

∴ sin A ? sin

?
3
……………8 分

∵ A 是面积为 3 3 的锐角 ?ABC 的内角,∴ A ? ?
2
? S? ?

3

1 3 3 ? AC ? 3 …………………10 分 AB ? AC ? sin A ? 2 2 由余弦定理得: BC 2 ? AC 2 ? AB2 ? 2 ? AB ? AC cos A ? 7

∴ BC ? 7

…………………………12 分

19.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC-ccos(A+C) =3acosB. (I)求 cosB 的值; (II)若 BA ? BC ? 2 ,且 a ? 6 ,求 b 的值. (I)解:由正弦定理可得: sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B,
即sin(B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0,
1 故 cos B ? . 3

…………7 分

(II)解:由 BA? BC ? 2, 可得accos B ? 2 ,
即ac ? 6, 又a ? 6 , 可得c ? 6 . 由b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B,

可得 b ? 2 2 .

…………12 分

20.设数列 { a n } 满足当 n ? 1 时, a n ? (1)求证:数列 ?
? 1 ? ? 为等差数列; ? an ?

a n?1 1 , 且a1 ? . 1 ? 4a n?1 5

(2)试问 a 1 a 2 是否是数列 { a n } 中的项?如果是,是第几项;如果不是,说明理 由. 解: ( 1 )根据题意 a 1 ?
1 5

及递推关系有 a n ? 0 ,取倒数得:

1 1 ? ? 4 ,即 a n a n?1

3

1 1 ? ? 4(n ? 1) a n a n?1

所以数列 ?

? 1 ? ? 是首项为 5,公差为 4 的等差数列 ? an ?
1 1 ? 5 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 1 , a n ? 4n ? 1 an

(2)由(1)得: 又 a1a 2 ? ? ?
1 5 1 9

1 1 ? ? n ? 11 .所以 a1 a 2 是数列 {a n } 中的项,是第 11 项 45 4n ? 1

21 、 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 有 S n ?

1 2 11 n ? n , 数 列 {bn } 满 足 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ) ,且 b3 ? 11,前 9 项和为 153;
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?
3 ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , (2an ? 11)(2bn ? 1)
1 2 11 n ? n ;故 2 2

解: (1)因为 S n ?

当 n ? 2 时; an ? S n ? S n?1 ? n ? 5 ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;满足上式; 所以 an ? n ? 5 ; 又因为 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ,所以数列 {bn } 为等差数列; 由 S9 ?
9(b3 ? b7 ) 23 ? 11 ? 3; ? 153, b3 ? 11,故 b7 ? 23 ;所以公差 d ? 7?3 2

所以: bn ? b3 ? (n ? 3)d ? 3n ? 2 ; (2)由(1)知: cn ?
3 1 ? (2a n ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1)

而 cn ?

3 1 1 1 1 ? ? ( ? ); (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? )] 所以: Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ; 2 2n ? 1 2n ? 1

1 (3n+Sn)对一切正整数 n 成立 2 (I)证明:数列{3+an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; n (II)设 bn ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn; 3

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=

4

解: (I)由已知得 Sn=2an-3n, Sn+1=2an+1-3(n+1),两式相减并整理得:an+1=2an+3 所以 3+ an+1=2 (3+an) , 又 a1=S1=2a1-3, a1=3 可知 3+ a1=6 ? 0 ,进而可知 an+3 ? 0 所以
3 ? an ?1 ? 2 ,故数列{3+an}是首相为 6,公比为 2 的等比数列, 3 ? an

所以 3+an=6 ?2n ?1 ,即 an=3( 2n ? 1 ) (II) bn ? n(2n ? 1) ? n2n ? n 设 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n
2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n ? 2 n ?1

(1) (2)

由(2)-(1)得 Tn ? ?(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? n2n ?1

??

2 ? 2n ?1 ? n 2n ?1 ? 2 ? (n ? 1)2n ?1 1? 2
n(n ? 1) 2

? Bn ? Tn ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 2 ? (n ? 1)2n ?1 ?

5


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