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【2013茂名二模】数学文试题 Word版含答案


茂名市 2013 年第二次高考模拟考试

数学试卷(文科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式: 锥体的体积公式是 V ?
1 3 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、选择题。 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的

四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1,已知集合 A ? {x x 2 ? 1}, B ? {x log 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? ?1} B. {x x ? 0} )
x ? 1?

C. {x x ? 1} D. ?x x ? ?1
x? y

2, 已知 x, y ? R ,i 是虚数单位,且 xi ? y ? ?1 ? i 则 (1 ? i ) A.2 3.函数 f ( x) ? A. [2, ??)
x a
2 2

的值是(



B. ?2i
x?2 ? 1 x ?3

C. ?4 的定义域是 C. (??, 3) ? (3, ??)

D. 2i

B. [2, 3)
y b
2 2

D. [2, 3) ? ? 3, ?? ?

4,设双曲线

?

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的虚轴长为 2 ,焦距为 2 3 , 则双曲线的渐近线方程为

A、 y ? ?

1 2

x ,B、 y ? ?

2 2

x , C、 y ? ? 2 x , D、 y ? ?2 x

5,将函数 y ? sin(6 x ? A, y ? sin(6 x ?
? ? ?

?
4

) 的图像上各点向右平移 y ? sin(6 x ?

?
8

个单位,则得到新函数的解析式为
5? 8 )

?
2

),

B
? ?

?
4

)

C, y ? sin(6 x ?
? ?
? ?

D,

y ? sin(6 x ?

?
8

)

?

?

6,若向量 a , b , c 满足 a // b ,且 b ? c ? 0 ,则 ? 2 a ? b ? ? c ?
?

?

?

A.4

B.3

C.2

D.0

7,已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为 1,则该几何体的体积为 A, 24 ?
3? 2

,

B,

24 ?

?
3

C, 24 ? ?

D, 24 ?

?
2

8,为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两点的距离,测量人员 在岸边定出基线 BC,测得 BC=50m, ?ABC ? 105? , ?BCA ? 45? 就可以计算出 A,B 两点的距离为 A , 50 2m B, 50 3m
25 2 2

C, 25 2m

D,

m ks5u

9, 已 知 椭 圆

x

2

?

y

2

? 1 及 以 下 3 个 函 数 : ① f ( x) ? x ②

f ( x ) ? sin x

16

9

③ f ( x) ? cos x ; 其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( A, 1 个 B ,2 个 C, 3 个 )ks5u D,0 个

10 , 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 均 为 D , 若 存 在 非 零 实 数 使 得 对 于 任 意 x ? M ( M ? D ), 有 x ? l ? D , 且
f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为 M 上的高调函数。现给出下列命题:①函数 f ( x ) ? log 1 x 为 (0, ??) 上的高调函
2

数;②函数 f ( x) ? sin x 为 R 上的 2π 高调函数;③如果定义域为 [?1, ??) 的函数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上 m 高
2

调函数,那么实数 m 的取值范围是 [2, ??) ;其中正确的命题的个数是( A,0 个 B, 1 个 C ,2 个 D, 3 个 二、填空题。 (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满 分 20 分)ks5u (一)必做题(11~13 题)
?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 11,若在区域 ? y ? 0 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 ?x ? 0 ?
x ? y ? 1 内的概率是_______
2 2



12,某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三

分球个数如下表所示:

右图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的 三分球总数 s 的程序框图,则图中判断框应填 13,已知 y ? f ( x ? 2) 为定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 8 x ? 10 ,则当 x ? 2 时,
2

f ( x ) 的解析式为______________________________

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14 . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中 , 曲 线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 与 (
? (cos ? ? sin ? ) ? ?1 的交点的极坐标为



15. (几何证明选做题)如图所示,AB 是半径等 于 3 的圆 O 的直径, C D 是圆 O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P 若 PA=4,PC=5,则 ?DBC ? 三、解答题。 (本大题共6小题,满分80分.解答须写出 文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 如图,A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B,P在 单位圆上,且B( ( ? , ) , ?AOB ? ? ,
5 5
??? ? ??? ??? ? ? ?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP .

3 4

设四边形OAQP的面积为S, (1) 求 tan ? ? ?
?
??? ? ??? ?

?

? ?

?; 4?

(2) 求 OQ ? OA ? S 的最大值及此时 ? 的值。

17. (本小题满分12分) 某校高一级数学必修一模块考试的成绩分为四个等级,85 分-100 分为 A 等,70 分-84 分为 B 等,55 分-69 分为 C 等,54 分以下为 D 边的茎叶图 (十位为茎,个位为叶)记录了某班某小组 6 名学生的数学必修一

等.右 模 块

考试成绩。 (1) 求出茎叶图中这 6 个数据的中位数和平均数; (2) 若从这 6 名学生中随机抽出 2 名,分别求恰好有一名学生的成绩达到 A 等的概率和至多有一名学生的成 绩达到 A 等的概率,

18. (本小题满分14分)如图,在边长为4的菱形ABCD中, ?DAB ? 60? ,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C, 点D不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O , 沿EF将 ?CEF 折起到 ?PEF 的位置, 使得平面 PEF ? 平面 ABFED (1)求证: BD ? 平面 POA (2)当点O 在何位置时,PB取得最小值? (3)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BDEF的体积

19. (本小题满分14分)数列 {an } 的前n项和 S n , a1 ? t ,点( S n , an ?1 )在直线y=2x+1上, n ? 1,2, ? ) ( (1) 若数列 {an } 是等比数列,求实数t的值;
log (2) 设 bn = (n ? 1)? 3 an ?1 ,数列{
1 bn } 前n项和 Tn 。在(1)的条件下,证明不等式 Tn <1;

c (3) 设各项均不为0的数列 {cn } 中,所有满足 ci ? i ?1 ? 0 的整数i的个数称为这个数列 {cn } 的“积异号数” 在 ,

(1)的条件下,令 cn =

nan ? 4 nan

( n ? 1,2, ? ) ,求数列 {cn } 的“积异号数”

20. (本小题满分14分)已知椭圆C:

x a

2 2

?

y b
1 2

2 2

,一条直线 ? x ? y ? 2? ? 0(? ? R ) 。所经过的定点恰 ? 1(a>b>0)

好是椭圆的一个定点,且椭圆的离心率为 (1) 求椭圆C的标准方程;

(2) 已知圆O: x ? y ? r (b<r<a),若另一条直线与椭圆C只有一个公共点M,
2 2 2

且直线与圆O相切于点N,求 MN 的最大值。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? bx, g ( x ) ? a ln x, (a ? 0) 。
3 2

(1)当 a=x 时,求函数 g ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 存在极值点,求实数 b 的取值范围;
? f ( x ), x ? 1 ? g ( x ), x ? 1

(3)当 b=0 时,令 F ( x) ? ?

。P( x1 , F ( x1 ) ),Q( x2 , F ( x2 ) )为曲线 y= F ( x) 上的两动点,O 为坐标原

点,能否使得 ? POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上?请说明理由。

ks5u


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