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直线与椭圆位置关系2


直线与椭圆综合问题
2013 年 12 月 13 日 星期五

x2 y 2 例 1:已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F 1 ?c, 0 , F 2 c, 0 ,在椭 a b ???? ???? 圆上存在一点 P ,使得 PF1 ? PF2 ? 0

?

?

?

?

例 2:椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,斜率为 1 的直线过椭圆的右焦点 F2 与椭圆交于

??? ? ??? ? ? A, B 两点, OA ? OB 与向量 a ? 3, ?1 共线。

?

?

(1)求椭圆的离心率 e

(1)求椭圆离心率 e 的取值范围 (2)当离心率 e 取最小值时, ? PF1F2 的面积为16 ,设 A, B 是椭圆上两动点,若线段 AB 的垂直平分线恒过定点 Q(0, ? 3) 。 ①求椭圆的方程; ②求直线 AB 的斜率 k 的取值 范围。

(2)设 M 为椭圆上任一点,若 OM ? ?OA ? ?OB

???? ?

??? ?

??? ?

??, ? ? R? ,求证: ?

2

? ? 2 为定值

例 3:在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 有两个不同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围;

x2 ? y2 ? 1 2

例 4:已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F (0, 2) ,且长轴长与短轴长的比是 2 :1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1 ,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线

PA , PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A , B ,求证:直线 AB 的斜率为定值;
(Ⅲ)求 ?PAB 面积的最大值.

(II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k , ??? ? ???? ??? ? 使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.


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