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数列小结与复习(2)


数列综合应用(2)

两课时

练习 1: (1)课本
n

P61 练习 4(1)(2); 、
n

-----数列求和的常用方法 1、 公式法: (直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解) 等差数列:S
? n (a1 ? a n ) 2 ? na 1 ? n (

n ? 1) d 2

(2)已知数列 ? a ? 满足 a

?

n

3

+n

,求数列 ? a ? 的前 n 项和 s
n

n

n

;等比数列:S

n

? na 1 ? ? q ? 1 ? ? ? a 1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ?? q ? 1 ? 1? q ? 1? q



例 1:求下列各式的和:(注意项数) ⑴1+3+5+…+(2n-1) ⑵1+2+4+8+…+2n (重点)3、错位相减法:这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an〃bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列 和等比数列。 2、分组求和法:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适 当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。 例 2:求和(1) ( x ?
1 y ) ? (x ?
2

方法: S 的左、 在 右两端同乘以等比数列的公比后, S 错位相减 与 (同次项对应相减)
n n

例 3 求值: S n ? 1 ? 2 x ? 3 x 2 ? 4 x 3 ? ?? ? nx n ?1 ( x ? 1 )

1 y
2

) ? ? ? (x ?
n

1 y
n

)( x ? 0 , x ? 1, y ? 1)

练习: (1)求和: S (2)求数列 1
1 2 ,3 1 4 ,5 1 1 ? ? , ? , ( 2 n ? 1) ? n ? 8 2 ? ? ?

n

? 1?

1 2

? 2?

1 4

? 3?

1 8

?? ? n?

1 2
n

的前 n 项和。

1

(2) (2010 课标全国卷 12 分)设数列 ? a ? 满足 a
n

1

? 2, a n ? 1 ? a n ? 3 ? 2

2 n ?1

.
n

练习 3: (1)课本 (2)求数列 a
n

;赢在课堂 P51 2-1
1

(1)求数列 ? a ? 的通项公式; (2)令 b
n

n

? n a n ,求数列 ? b n ? 的前

n 项和 S .

?

n ( n ? 1)

的前 n 项和

(3)数列 ? a ? 的通项公式 a
n

n

?

1 n ?1 ? n

,求 S .
n

(重点)4、裂项相消法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的 实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到 求和的目的通项分解(裂项)常用的裂项
1 n ? n ?1 1 n ( n ? 1 )( n ? 2 )

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1



1 n(n ? 2)

?

1 1 1 ( ? ) 2 n n ? 2



5、倒序相加法:这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列 倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 。 等差数列的求和公

?

n ?1 ?

n


1 ( n ? 1 )( n ? 2 )

式就是用这种方法推导出来的。
? ]

?

1

2 n ( n ? 1)
1 1? 3 ? 1

[

1

例 5 求和 :

1
2

2 2

1 ? 10

?

2
2

2 2

2 ?9

?

3
2

2 2

3 ?8

?? ?

10
2

2 2

10 ? 1

例 4、 求 和 : Sn ?

1 ?? ? 3? 5 ( 2 n ? 1) ( 2 n ? 1)

小结: 几种常见求和方法的适用范围及思路——赢在课堂 P50 专题 2 前 n 项和的方法

2


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